И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 52
Текст из файла (страница 52)
65?. Указание. Положить й,=аз — аз, .~у,=аз — аь йг=а,— аз. 656. Указание. Применить тождество задачи 5И. 666. Определнтель равен удвоенной площади треугольника М,МгМь если направление наименьшего поворота луча МзМ, до совпадения с М,Мг совпадает с направленнем наименьшего поворота от положительного направления Ох до положительного направления Оу.
В противном случае он ранен удвоенной площздн треугольника М,М,М, со знаком минус. Р е ш е н н е. Указанные преобразования координат вырюкаются фор- муламн отвиты (522 — 529 аЬс 666; гг = †. У к а з а н и е. 1(ентр описанного круга принять за начало 4» ' координат, воспользоваться соотношениями 1 )Р— »1»1 — угу)= — ((хг — х))з+(у1 — уг)') (й /= 1, 2 3), 2 а также результатом задачи 5Ю. 663. Указание. Показать, что квадрат определителя равен 1.
Лля определения знака, пользуясь непрерывностью определителя по совокупности всех переменных аь бь у,(1=1„2, 3), показать, что при вращении фигуры ОАВС ои не изменяется. 624. Определитель равен объему параллелепипеда, построенного на отрезках, соединяющих начало координат О с точками М„Мь Мь или шести объемам тетраздра ОМ,М,Мь взятым со знаком плюс, если ориентации триздров ОМ,М,Мт и Оху» одинаковы, и со знаком минус, если зги ориентации противоположны (при атом ориентации считаются одинаковыми, если после совмещения путем вращения триэдра Оху» оси Ох с ОМ, и плоскости хОу с ОМ,М, так, чтобы Оуи ОМ»лежали по одну сторону от Ох, лучи О» и ОМ, окажутся по одну сторону от плоскости хОу, и противоположными, если по разные стороны). Указание.
Если аь аг, аь )ч Рь бь Ть уь уз — соответственно косинусы новых осей Ох, Оу', О» со старыми, то старые и новые координаты связаны соотношениями: х = а х' + ()у'+ у»', у = азх'+ бту'+ чз»', » = аз г'+ бгу'+ уз»'. Пользуясь зтим и результатами предыдущей задачи, доказать неизменность определителя настоящей задачи. Лля выяснения геометрического смысла определителя повернуть систему координат Оху» так, как указано выше при определении одинаковой и противоположной ориентации триздров.
666. У=аз» )'1 — соз'а — созгб — соз'у+2соза сов 5 сов у. Указаниее. Вычислить Уз, пользуясь результатом предыдущей задачи. 1166. У к а з а н и е. Взять на лучах ОА, ОВ, ОС точки ив ть тз на расстоянии 1 от начала координат и применить результат задачи 524. 662. Определитель равен шести объемам тетраздра с вершинами Мь Мь Мь Мь взятым со знаком плюс, если триздр лучей из Мг в каждую из точек Мь Мь М, имеет одинаковую ориентацию с триздром Оху» и со знаком минус — в противном случае. Указание. Перенести начало координат в точку М„и применить результат задачи 524. Иначе можно поступить аналогично решению задачи 520, пользуясь задачей 523.
Тогда задача 524 получится как частный случай данной (аналогично тому, как было на плоскости в задаче б21). 666. 11= — Х 1 24У Х 3' 21~~~1~~„1з~ш)~ы~+ 2ф~ (',з1~ + 2!~з(~~ф',з — «,'тУы 1',з)ы~ — 1~ ф где У— объем тетраздра и 16 = 1д(г, /= 1, 2, 3, 4, г ф Я вЂ” длина ребра, соединяющего вершины (хь уь»д и (хь у~, »1). В случае правильного тетраздра аф~ 6 с ребром длины а получим 11= —. Указание.
Применить результат 4 предыдущей задачи и соотношение 1 Й~ — х~х) — У1У) — »г»1 = — ((хс — хт) + (Уà — У1) + (»Г — »1)~), верное в предположении, что начало координат перенесено в центр описанного шара - 666. У к а з а н не. При доказательстве утверждения2) показать, что вектор а;=(агь агь ..., аш) можно представить в виде а1=апе +а1твг+... +а;„е„. 630-532) ОТВЕТЫ 287 далее показать, что при перестановке двух векторов функция у(аь а;, . „ал) меняет знак.
При доказательстве етого, например, для векторов аь а«, рас- СМОтрстЬ у(а,+а„а)+аь а,... а»1 БВО. У к а ванне. Доказать, что функция У(аь аь ..., аи) = ( Ао ( от строк матрицы А обладает свойствами (а) н (1)) и что У (иь и„..., ил) = ) 8 (. БМ. Положим у(е)ь еп, ..., е)и)=1 прилюбых(ау„..., 1»=1, 2, ..., и л (одинаковых или различных). В силу (а), полагая а) ~к~~ о))ер получим ) 1 л у(аь аь '"* а )= Х а),),аз. )," Этим функция У (аь аь ..., ал) определена. Очевидно, она при перестановке векторов не меняется, т.
е. в случае поля характеристики 2 меняет знак. Позтому (()') выполнено, а ф), оченидио, не выполняется. З Л л (л-1)(З» — 3) л 03й, [ — 1) и( " л =1 л . Решение. Умножая данный определитель В сам на себи н замечая, ято е" = 1 тогда и только тогда, когда л делится иа и, получим: л 0 О 0 О 0 .. 0 0 ..0 и ..и О Си 1 ( ц и-)ол О и ... 0 О л л откуда В *1 и и для модуля В находим: (В)=п . Остается Си-1 З 'у определить аргумент. Вычисляя В как определитель Вандермонда чисел 1, с, и а е«...„аи-~ и полагая затем с=о«, где а=сов — +1«)п —, получим: л л' В П (а" — е)) = П (о з — отг) о<у<а< -1 О<1«<л-1 П о +)(а» 1 — о (з ))) О<)<Ъ<л 1 а 1+з П (з — у) и — Ц и для рассматриваемых значений у и д всегда 0<и — у<п ц значит, л е)о )О. Позтому (В! ~ 2з)п — =лт.В (В((), (з — у) и лт (З вЂ” Вп п - сл З~,<К» 1 и где ()=) " П о)+а, В показатель степени при о каждое целое О<) < а<л-1 число р(0» р~л — 1) войдет ровно и — 1 раз: либо под видом / для () = р+1, р+2, ..., и — 1, либо под видом )) дли У=О, 1, 2, ..., р — 1.
л л Замечая, что а =1(при нечетном л будет а = ~!, однако выбор знака з 3 пе играет роли ввиду четности числа л — 1, что ясно из приведенных ниже вычислений), находим: л(л-1) л(» 1у «(л-ц Сл - П (зи -2) — — — — +(л- 1)' а 1 =Ю 288 [333 — 342 Полагая Зл=2л+и и используя данное выше выражение для [В [, получаем требуемое выражение для Р. 633.
Опрелелитель будет помножен на (2 — Ь)2л ~. Указание. Случай любых строк свести к первым. Если же выделены первые а строк, то указанное преобразование может быть получено путем умножения данйого определителя слева на определитель того же поридка, в котором все элементы главной диагонали равны 1, элементы вне главной диагонали, стоящие в первмх Ь строках и первых Ь столбцах, равны — 1, а остальные элементы равны нулю. 534. 'В =Вэ+Ях, где Вэ — значение определителя В при х=О и  — с мма алгебраичесйих дополнений всех элементов Вд. 3. 5. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
536. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей. 637. У к а за ние. В определителе зааачи 831 положить х= — 1. 639. У к а за н и е. Применить метод математической индукции. 540. Указание. Все лр строк определителя В разбить на и систем по р строк в каждой, отнеся к первой системе строки с номерами 1, и+ 1, 2и+1, ..., (р — 1) л+ 1, ко второй — строки с номерами 2 л+2 2л+ 2,„..
..., (р — 1) л+2... „к и-й — строки с номерами и, 2~ Зи, ..., рл. К этим системам применить обобщенную теорему Лапласа задачи 486. Показать, что миноры порядка р любой иэ укаэанных систем равны нулю, если хотя бы два вторых индекса элементов ЬВ одинаковы и что В у(ац, ...,а„„) В", где У(ац, ..., али) не зависит от элементов ЬВ. ЛлЯ опРеделеииЯ У(ац, .... аии) положить Ьн.=! для ! 1, 2, ..., и к Ь,1=0 для 1, !=1, 2, ..., и, [+!.
643. Решен ив. Если все А!!= О, то можно положить А!=В!=0 (! 1, 2, ..., л). Пусть, например, алгебраические дополнения элементов последнего столбца не все равны нулю (в случае другого столбца рассуждения аналогичны). Так как В = О, то алгебраические дополнения элементов двух столбцов пропорциональны (см. задачу Я6) А! Аз! Аи! А~л Азл '* Аии С! В'! где дробь -С(- будем считать несократимой. Отсюда ! АшВ! А!1= — (1= 1, 2, ..., л; у=1, 2, ..., и — 1). С (1) В! Но Аг! многочлен от хь хь ..., хл и дробь — несократима Повтому Аги С! должно делиться на С! (! =1, 2, ..., и — 1), а значит, и на общее наименьшее кратное всех С! (у= 1, 2, ..., и — 1). Обозначив это общее наименьшее кратное через Вж получим: Ас =Ахи (! 1, 2, ..., л), (2) Ви где все А! — многочлены от хь хь ..., хю Положим В1= — В! (!= 1, ! 2, ..., л — 1).
Все В! — многочлены от хь х„..., хж причем из (1) находим: АВ= А~В! (1= 1, 2 ..., л, !=1, 2, ..., и — 1). (3) Равенства (2) и (3)'и доказывают теорему. В частности, для определителя б можно положить: А, = В, = с, Аз = Вз — Ь, Аз = Вз = а. 543 — 545) ОТВЕТЫ 289 648. Решение. Пусть В,» — кососимметрический определитель по- рядка 2л.
Применим иидунцню по л. Вля л = 1 теорема верна, ибо В аг. Предположим, что теорема верна для числа л и докажем ее для числа и+1. Вычеркнув из данного определителя Вг„+, последнюю строку и последний столбец, получим кососимметрический определитель В л+„ равный нулю. Его элементы можно рассматривать как многочлены от эле- ментов, стоящих выше главной диагонали с целыми козффициентамн. По теореме предыдущей задачи, алгебраические дополнения элементов В „+, имеют вид Ац = А!В/ (г, / = 1, 2, ..., 2л + 1), где А! и В/ — многочлеиы от тех же неизвестных.
Миноры 54!/ и Д4/! в В„,+, получаются един из другого траиспонироваиием и изменением знаков элементов, а так как онн четного порядка 2л, то Аг/ = Ад. Или А,В = А/В!. В, В, А! А/ =Л! Вг=Л Ас (/=1 2 ° ° . 2п+1). Л вЂ” рациональная функция тех же неизвестных. Далее, А ! = А В =ЛАг и по предположению Ан есть пелиый кэадрат. Значит, Л =рг, где П вЂ” рапио- иальная функции. Итак, Ан = (рА!)'. Здесь слева стоит многочлен. Йо нвадрат несократнмой дроби не может быть Многочлеиом. Значит, рА! =с! — много- член.
Применяя разложение, данное в аадаче 541, находим: гл+ ! гл+ ! В!»+э = — ~~'~ Аца,,„+,игл+,, / = ~~'~~ АгВ/а!, !»+та/, г„+г г/ ! г/ ! /гл+ ! '! /г»+! /г»+! =~ ~ч', Ага!, гл+г/ ~,"~~ В/а/, г»+г( Л~ ~чг', Ага! гл+ ) = г-! /-! г-! /г»+ ! = ~ ~', С!а!.
гл+г/ ° ! Этим утверждение задачи доказана Это доказательство не дает удобного приема для фактического вычисления многочлеид квадрату ноторого равен данный косой симметрический определитель четного парадна. Такие правила даны в задачах 545 и 546. 644. Указание. Рассмотреть два членц в одном из которых подста- новка индексов имеет цикл (а,аг ... ал) (д — нечетко н больше единицы), а в другом — цикл (аэал, ... ага,). Случай Ь = 1 рассмотреть отдельно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
