И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 48
Текст из файла (страница 48)
У каза вне. Во всех перестановках заменить данное расположение на обратное. 161. (1 4 2) (3 и1. Декремент равен 3. Подстановка нечетная. 166. (1 6 3) (2 5) (4). Подстановка нечетная. 166. (1 8 2) (3) (4 б 7) (5). Подстановка четная. ° 64. (1 5) (2 8 6 4) (3 9 7). Подстановка четная. '$66. (1 2 3 4 5 6 7 8 9). Подстановка четная. 166. (1 4) (2 5) (3 6). Подстановка нечетная. 167. (1 2) (3 4) ... (2и — 1, 2и). Декремент равен а. Четкость подстановки совпадает с четностью числа и. 166 (1 3) (2) (4 6) (5) ...
(Зи — 2, Зи) (За — 1). Декремеит равен п„ Четность подстановки совпадает с четкостью числа а ° 66. (1, 3, 5, ..., 2л — 1) (2, 4, 6, ..., 2л). Декремеит равен 2и — 2. Подстановка четная. 166. (1, 2~ 3) (4, 5, 6) ... (Зп — 2, За — 1, Зл). Декремеит равен Подстановка четная. 161, (1, 4, 7, ..., Зи — 2) (2, 5, 8, ..., Зл — 1) (3, 6, Я, ..., Зи) Декремеит равен Зи — 3.
Четность подстановки противоположна четности числа и. 166 (1, я+1, 2й+1, ..., пй — а+1)(2, й+2, 2й+2, ..., ай — я+2) ... ... (Д, 2й, Зя, ..., ад). Декремент равен лй — Д. Подстановка четная прн четном л и при нечетных й и а. И нечетна при й нечетном и п четном, 16й.~1 23 4 5~ 166.(1 2 3 4 5 б 7 В 9'! (7 4 1 6 3 2 5 В 9/ ° 66. (1 2 3 4...2и — 1 2а '!2 1 4 3 ... 2а 2и — 1/ 167. (1 2 3 4 ... 2и — 1 2п'! ~2 3 4 5... 2и 1/ 166 (1 2 3 4 5 6 ... Зл — 2 Зи — 1 Зл '!3 1 2 6 4 5...
Зи Зп — 2 Зи — 1/ 166. ~1 2 3 4~ 176. ~1 2 3 4 5~ йй. ~1 2 3 4 5~ й(й. ~1 2 3 4~ 176. ~1 2 3 4 5~ ° 76. А. У казан не. Воспользоваться предыдущей задачей. (! 2 3 4 5 б 71 777. Тождественная подстановка Е. 176. Х (7123456/ 161. У к а з а н и е. Расположить числа первой строки подстановки в возрастающем порядке и от тождественной подстановки перейти к данной путем яда транспозиций во второй строке. 166. Указание. Для доказательства существования разложения на транспозиции в числе, равном декременту, умножить подстановку на транспозицню чисел, входящих в один цикл, н использовать задачу 180.
Для доказательства минимальности числа транспозиций заметим, что при умножении на одну транспозицию декремент не может увеличиться больше чем на единицу. ОтВетЫ 1183 — 215 279 166. У к а з а н н е, Если Р Р,Р, ... Р, — любое разложение подстановки Р иа транспозицин, то использовать равенство ! аз. аь °... ал1 Р = ( ' ) Р,Р, ... Рз н задачи 179 и 182. пь лз, ..., лл 134. Решение. Если Х вЂ” подстановка,перестановочная с8, то8Х=Х8, откудаХ з8Х 8.Разложим 8иациклы8 (1,2)(3,4) Х з(1,2)ХХ з(34)Х. Непосредственным вычислениезз убеждаемся, что Х '(1„2)Х есть сиона цикл длины 2, полученный из цикла (1, 2) заменой чисел ! и 2 теми, котоые нм соответствуют в подстановке Х.
Это же верно и для цикла (3, 4). аким образом, подстановка Х должна переводить циклы из 8 в циклы той жс длины, а в силу единстненности разложения 8 на циклы, циклы либо переходят каждый в себя, либо один в другой. Так как каждый цикл длины два можно записать двумя способами: (1, 2) (2, 1). (3, 4)-(4, 3), то все подстановки, перестановочные с 8.
будут: (4312)' (4321)' 19$. Искомые подстановки: (12345) (5 4 1 2 3)" 136. Указание. Показать, что ииказюе из чисел 1, 2... т — 1 не может перейти в нуль и разные числа переходя~ в разные. 167. ! 1, Ъ 3, 4, 5, 6, 7, 8 ~ ( 5, 1, 6, 2, 7, 3, 8. 4 ! ' 193. Входит со знаком минус. 169. Входит со знаком плюс. 196. Не является членом определителя.
191. Входит со знаком минус. 13Й. Не явлиется членом определителя. 193. Со знаком (-1)л з. 194 Со зна ком ( — 1)". (зз-!! (и-Н 193. Со знаком ( — 1) . 196. Со знаком (-1)зл ( — 1)л, 167. з=5, й=1. ТМО. з=б, 8=2. 199. лыаз,лаза„+а,заз,ама,з+ 2 + иззаззиззазз. 960. 19к — бл . Й(И. Со знаком плюс. ЙОЙ.
Со знаком (-1) з а и л 1и — з1 903. аыаюазз .. лил. 904. (-1) ° азлаз, и з ... алз. 90$. О. 907. Кор- 2 нямн будут числа аь аз, аь ..., а„. Указание. Использовать утверждение, что многочлеи степени и ие может иметь более чем л рааличных корней. 906. и= О, 1, 2, ..., п — 1. 999. аи-а+з. и-з+з 916 ал — 1+ил-а+з ° ЙП. Если л четно, то число элеиентов на четных н нечетных местах одна 1 наково и равно — лз. Если л нечетно, то число элементов на четных местах 2 1 1 равно — (из+ 1), а на нечетных — — (из — 1). 2 2 919. Определитель умножится иа ( — 1)л '. 913.
Определитель умножится и 1л-!1 иа ( — 1) . ЙМь Определитель не изменится. 913. Определитель 21б — 294] отвнты 271 не изменится. У к а э а н и е. Ланксе преобразование можно заменить двумя симметриями относительно горизонтальной и вертикальной средних линий и симметрией относительно главной диагонали. 246. У к а з а н н е. Транспонировать определитель. 247. У к а з а н н е. Транспонировать определнтель. 246. « = 4»з, где т — целое. 246. « = 4»з + 2, где ю — целое, 224. Определитель умножится на ( — 1)».
ЯЯЯ. Определитель не изменится. У к а з а н и е. Рассмотреть общий член оп еделнтеля. 22(). . У к а э а ни е. Рассмотреть сумму индексов всех элементов, входя- щих в общий член определителя. 224. У к а э а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей. ЯЯЭ. Определитель обратится в нуль. 286. Определитель обратятся в нуль, если он четного порядка, н удвоится — если нечетного. У к а з а н и е. Размзжить на сумму определнте- лей по каждому столбцу. с'„ 23а.
Определитель умножится на ( — 1) ". 232. Определитель равен нулю. 233. Число такнх определителей равно «! Их сумма равна нулю. 234. О. 236. 8а+15Ь+12с — !А 237. 2а — 8Ь+с+Ы. 286. «Ьи(. 236. «Ьсз(. 246. хулио. 243. О. 244. Указанне. Умножить второй столбец определителя в левой части равенства на ух, третий столбец на хл н четвертый на ху. 24$. У к а з а н и е. Используя формулы Виета, преобразовать «-й столбец. 246.
У к а з а н и е. Используя формулы Виета, преобразовать «-й столбец и перевести его на (з+1)-е место. 247. Указание. Разложить по первому столбцу. 2$3. У к а ванне. Разложить по третьей строке. 2$6. Указание. Свести к предыдущей закаче. 237. — 8. 2$6. — 3. 2$6. — 9. 266. 18. ЙЗз. 18. 262 4. 263. 90. 264. 27. 26$. 17. 266. — 5. 267. — 10. 268. 100.
266. 150. 276. 52. 274. 5. 272. 10. 273. 1. 274. 100. 27$. 1. 1 276. —. Указание. Элементы каждой строки прнвестн к общему 35' знаменателю и вынестн его зз знак определнтеля. »(»-Ц 277. 1. 276. 9)г!0(' 3 — )'2). 276. «! 286. «( — 1) 264. х, (х, — аы) (хз — азз) . ° (х„— ໠— ь ) » (л-1) 262. ( — 1) Ь!Ьз ... Ь». 283. 2«+!. 264. (аз+ а, + аз+ ... + а„) х". 26$. х,хз ... х»( — + — +... + — (. Указа нне.
Из 1-го столбца !а~ аз а» ! "!х, хз ''' х»!' вынестн за знак определителя х( н к каждому столбцу прибавить все сле- дующие. 266. 1. 267. « ( — 1)" !. 263. ( — 1)» ~ (« — !) 2" ~. У к а э а н и е. Из каждой строки вычесть предыдущую, затем последний столбец прибавить к остальным.
ЙВЭ. (х — 1) (х — 2) ... (х — «-(-1). 266. ( — 1)»(х — 1) (х — 2)... (х — «), 261. аз(х — а,) (х — аз) ... (х — а„). 262 (х — а Ь вЂ” с) (х — а+ Ь+ с) (х+ а — Ь+ г) (х+ а -(- Ь вЂ” с). ЙЭЗ. (хз — 1) (хз — 4), 264. хзлз. У к анан не. Переставив две первые строки и два первык столбца, доказать, что определитель не изменится прн замене х на — х. 334. Д (х) — ха) и>1>Л>1 272 ответы (293 — 333 Проверив, что при х=О определитель обращается в нуль, доказать, что он делится на ха.
7е же рассуждения провести для л. и — 1 ЙЭЗ- а!Ьп Д (а)+,Ь( — а(Ь(+!). У казан не. Получить соотношение Г=) Ьп Ри= " (алаи ! — аи !Ьп)Рп ! П-1 аох!хахз ° .. хп + аау!хах, ... хи + а,у,у,хз ° .. хп + „ . "° + алу!Узуз ° ° . Уи. У к а з а н и е. Получить соотношение Рп хпРп+ азу!Уз ... у„. Определитель можно вычислить иначе разложением по первой строке. (1 1 1) 667. — а!аз...ал ! — + — +... + — ). ЙЭЗ. а,аз...аи — а,а,...аи !+ '»а, аз аи) цл-1, ( ( цп ЙЭЭ )+ 1 366 2п+1 бл+1 2л+1 ал+ 1 йл+1 зю . Вол 9 — а" '.
Ззз. з !" — ! 3" . Эоо — — )в 36$. х +(а,+аз+...+ап)хи '. Указание. Элементы, стоящие вне главной диагойалв, представить в виде а( =О+ а). 363.(х, †(хз — аз)...(хи †) (1+ — + — + ° + — — ) а, а, ал х, — а, хз — аа хп — ал Указание. Положить х)=(х) — ад+ад 367. (а,— х,)( — х ) ...
(аи — хи) — а,аа ° .. а,„У кивание. Положить в левом верхнем углу О = 1 — 1 и представить определитель в виде суммы двух определителей относительно первой строки. а,Ь, а,Ьз аийп) 366. (х! — а,Ь!)(хз — азйз) . (хи-аиЬи)(1+ — + —,+" ° + х ) ° па-л+2 366.
(и — Ц) 126. Ь,Ь, ... Ь„. 333. ( — Ц 2 2(л — 2)) 6(й. ( — Ц !" п (л+1) 3)(3 хи+ ( Цл+1Уп ЗИ» О Злй ( Ц 2 (л+ Цл-1 ЗЯЗ ( Ци-1 (л Ц 6$7 (2п ц (л цл-1 6(3 (а+()! ц Ь) (,а Ь)л-1 ЗЬЭ 1 366, 1, Зйа. (х — а,)(х — аа) ... (х — аи). Зйй. аале+а,хи '+ ° ° ° +ап. ли!+1 — 1 л+ 1 ж4' хп — 1 333. —,— —. 634.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
