И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Сформулировать соответствующее утверждение на матричном языке. ф 26. Аффннные (точечно-векторные) пространства Определение'). Пусть дано множество и злементов А, В, С..., называемых точками, н линейное пространство г'(над полем действительных чисел или нэд любым полем Р) с элементами х, у, д ..., называемыми векторами. Пусть, далее, каждой упорядоченной паре точек А, В (различных или совпадающих) поставлен в соответствие единственный вектор .х = АВ. причем для этого соответствии выполняются следующие две аксиомы: 1) для любой точки А и любого вектора х существует единственная точка В такая, что АВ =х И) для любых (необязательно различных) трех точек А, В, С имеет место равенство АВ+ Вг~ = А Е Множество м вместе с таким соответствием называется аффинным пространством.
Если )г= е'„есть л-мериое линейное пространство, то н л называется л-мерным аффинным пространством и обозначается через 6(е. Если е бескоиечномерно, то и е( называется бесконечномерным. Если линейное пространство У является евклидовым, то и точечно-векторное пространство й называется евклидовым. В этом случае расстояние между точками А и В равно длине вектора АВ и угол АВС равен углу между векторами ВА и ВС. Замечание. Любое линейное пространство е можно рассматривать как аффннное. При этом множество й совпадает с У, так что векторы рассматриваются также как точки. Говорят также, что вектор х задает некоторую точку аффинного пространства Сопоставление упорядоченной паре точек вектора, указанное в определении, в данном случае состоит в том, что упорядоченной паре точек х, у из У соответствует вектор я=у †. Отсюда по х и з однозначно определяется у, что доказывает аксиому 1.
Аксиома П сводится к очевидному равенству (у — х) +(е — у) =л †. Такое отождествление точек и векторов принято в Я 16 — 19 втой книги. Плоскостью аффинного пространства И, проходящей через точку А .и имеющей направляющим лодпространгтеом у„называется множество л всех точек М из Ы, для которых вектор АМ принадлежит 7..
Размерностью плоскости л называется размерность ее направляющего надпространства Е. г) Приведенное здесь определение аффинного пространства взято (с небольшими изменениями) из книги ЕЕ В. Ефимова, Высшая геометрия, .изд. 4, Физматтиз, 1961, 6 179. 4 ЗБ. АФФИННЫЕ !ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА 24Т Одномерные плоскости называются прямыми, а (п — 1)-мерные плоскости л-мерного пространства — гиперплогкоетями. Две плоскости л, и иг называются параллельными, в символах л, б и если они не пересекаются (т. е.
не имеют общих точек) и направляющее надпространство одной из них содержитси в направляющем подпространстведругой (или совпадают с ним). Если выбрать некоторую начзльн)1ю точку ОСчь то любая точка М однозначно определяется вектором ОМ и обратно. Вектор ОМ называется радиусом-вектором точки М. Плоскость и, проходящая через точку А и имеющая направляющее надпространство г., состоит из всех точек М, радиусы-векторы которых определяютсн из равенства ОА( = ОА+ х, где х~У.. Если считать точками векторы из У, то плоскость определяется из равенства и= х + е„ где хе= ОХ Таким образом, в атом случае понятие плоскости совпадает с понятием линейного многообразия из б 16.
Плоскости, проходящие через точку О, будут совпадать с подпространствами. Аффинная система координат п-мерного аффиниого пространства г(п состоит из точки О~йт называемой началом координат, и базисл еьег, ..., е„соответствующего линейного пространства У„. Координатами точки М~й(п называются координаты ее радиуса-вектора ОА( в данном базисе, т. е. числа хь хь ..., х„, удовлетворяющие равенству ОА(=х,е,+х,е„+ ... +х„е„. Пусть й-мерная плоскость и действительного л-мерного аффинного пространства проходит через точку А с координатами хо1, хов .... х'„' и имеет- определяющее надпространство В с базисом из векторов, заданных их «оординатами ее=(ег, огг...., е„') (1=1, 2, ..., А).
Тогда координаты любой точки М~и определяются равенствам1с хг — — хг+11ег+ ... +(ас, (1 = 1, 2, ..., и). (1). Эти равенства называются лараметричеехими уравнениями плоскости и. Параметры Сь Сг, ..., га принимают любые действительные значения. Ту же плоскость и можно задать л — й линейно независимыми уравнениями вида ~агуху=бе (1=1, 2, ..., л — й). (2) 1 л и Здесь Ьг — — ~~~' а ухт и однородные уравнения 'У' ацху=б (1=1, 2, ... 1-1 1 ..., л — й) задают надпространство у Уравнения (2) будем называть общими уравнениями плоскости и. Уравнения прямой, проходящей через две точки А(хзт, х~~ ..., х„) н. В(УР, Узо, ..., У'1), имеют внД: хг —— ля~+ г (у~ — ~ф (1 = 1, 2, ..., л).
Здесь г пробегает все действительные числа 243 дополнении 11втй — 1йтй Ошрезколг АВ называетсз множество точек М, координаты которых получаются из равенств (3) прв условии 0<1<.1. Точка М, делящая отрезок АВ з отношения ь чь — 1, определяется в векторной форме условием А1И = ьМВ или в координатах ля~+ дуя~ "г=-т+Л ° 1=1 2 "" 1870е. В аффинном пространстве даны четыре различных точки А, В, С, Ю.
Точки К, Е, М, И делят отрезки АВ, ВС, СО. 1)А в одинаковом отношении — Ф вЂ” 1. Доказать, что: л а) если АВСΠ— параллелограмм. то КЕМИ вЂ” параллелограмм; б) если КЕМИ вЂ” параллелограмм и лг Ф и, то и АВСŠ— параллелограмм. !87!. Доказать, что паре совпавших точек соответствует нулевой вектор, т. е. АА = О, 1872. Доказать. что АВ= — ВА. 1873. Доказать, что любая плоскость и аффинного пространства сама является аффинным пространством. размерность которого равна размерности и.
1874. Доказать, что плоскость и, проходящая через точку А с направляющим подпространством Е, не аависит от выбора на ней точки А, т. е. совпадает с плоскостью и', проходящей через точку А' из тт, с тем же направляющим подпространствои Е. Найти параметрические уравнения плоскости, заданной общими уравнениями: 1876. х, + х — 2х + Зх4 = 1. х,+2хз — хз+ 2Х4 —— 3, х,— хя — 4хз+ бх = — 3. 1878. 2х> — ха+ ха+ 2хч+Зхз = 2. бх, — Зхз+ 2хз+ 4хч+ бхз — — 3. бх,— Зхт+4хз+вх +13х =9, 4х, — 2 ха+ хз+ хч+ 2хз — — 1. Найти общие уравнения плоскости, заданной параметрическими уравнениями: 1877.
Х,=2+1,+-гм 1В7В. х,=1+1, +бл ха=1+211-+!и хз — — 2 +1з, х = — 3+г,+2гм х =б — 1, +31з, х =3+31,+1м ха= 3+21~ — аз хз — — !+11+31,. х =1+3! — 21з. 1879 — 16871 $ ж. лееиниыв <точечно.ввктопныи) пиостилнствл 249 1879. Доказать. что через любые две различные точки А, В аффинного пространства проходит единственная прямая. 1880. Доказать, что через любые три точки А. В, С аффинного пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная двумерная плоскость. 1881. Доказать, что через любые а+1 точек Ае, Ап Ат, ..., Аа аффинного пространства, не лежащие в (и — 1)-мерной плоскости, проходит единственная л-мерная плоскость. !882.
Указать все случаи взаимного расположении трех различных плоскостей трехмерного пространства, заданных общими уравнениями: а,х-+Ау+с,л=0п а~х+Ь~у+сяз =дм азх+ Азу+ сел = дз и для каждого случая дать необходимое и достаточное условие с помощью понятия ранга матрицы. 1883. С помощью поня~на ранга матрицы охарактеризовать все случаи взаимного расположения двух прямых трехмерного пространства, заданных общими уравнениями: а,х+ Ь,у-+ с,з = с(п аях+ Ьту + сяз = г7я, и азх+ Ьзу+ сзх = с(з. ачх -+ 942+ сел — — с(м 1884. С помощью понятия ранга матрицы описать все случаи взаимного расположения двух двумерных плоскостей четырехмерного пространства, заданных общими уравнениями: 4 ~~'.~ а,.х = Ь, (1 = 1, 2) (1) / 1 ~~ ~~тхт — — Ь, (1=3, 4). (2) 1885.
Описать все случаи взаимного расположения двух гиперплоскостей и-мерного аффинного пространства. заданных общими уравнениями: а,х, + атхт +... + а„х„= с и б, х, .+ Ьяхт +... + б„х„= г7. 1886*. Доказать, что если пересечение ж множества (конечного или бесконечного) плоскостей ж„ аффинного пространства непусто, то н является плоскостью.
1887. Доказать. что две плоскости зт, = а, +А, н на †ат + 7.я тогда и только тогда пересекаются, когда вектор а, — ая принадлежит надпространству А, + 7.ж 11888-1898 ДОПОЛНЕНИЕ 1888ь. Доказать. что плоскость тег .и-мерного аффинного пространства, отличная от точки. тогда и только тогда параллельна любой .Не пересекавшей ее плоскости атя, когда н1 является гиперплоско.стью (т. е. имеет равмерность и†1). 1889*. Доказать, что две непересекающиеся гиперплоскости П1 и атз и-мерного аффинного пространства тогда н только тогда парал.лельны. когда они лежат е плоскости нз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
