И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Именно, если х = (а,, ам ...) и у=(Ь«* Ь!....) — векторы и с — число, то х+У=(а«+Ьн ат+Ьа, ...), сх=(са«, сам ...), (х, У)= — ~~~~ а«Ь. «-! Доказать. что: а) У является бесконечномериым евклидовым пространством; дополнинив 1 $~6 4 4 3 4 Уб 1 4 1843з. Выяснить геометрический смысл кососимметрического преобразования ф евклидова пространства для случаев: а) прямой; б) плоскости; в) трехмерного пространства.
Показать, что в трехмерном пространстве ф сводится к векторному умножению всех векторов слева на олин и тот же вектор а, т. е. фх= а Х х. 1844е. Доказать утверждение: для того чтобы линейное преобразование ф евклидова пространства (необяаательно конечномерного) было кососимметрическим, необходимо н достаточно, чтобы оно переводнло каждый вектор в вектор, ортогональный с ним.
$24. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы (добавление к параграфу 16) 1846з. Доказать, что для любой ненулевой линейной функции 1(х). заданной в и-мерном линейном пространстве У„, существует канонический базис. а котором эта функция записывается в каноническом виде 1(х)=хн где х,— первая координата вектора х в этом базисе, 242 11640 — 164Ь б) если А' †ортогональн дополнение к подпространству Х. из У (задача 1364), то равенство У = Х, + Х,* верно для конечномерного Хл в) показать на примерах, что равенства У= Х,+ Х,' и (Х,')'= Х. (см.
аадачи 1364, 1365) могут быть неверны для бесконечномерных подпространств из У. 1840. Пусть У„= Хч+ Х.з — разложение и-мерного евклидова Э Ф пространства в прямую сумму двух подпространств, Хч и Хз †ортогональные дополнения. соответственно Хч и Х,м ф †отражен У„ в Хч параллельно Хч. Доказать, что преобрааование ф'. сопряженное ф, является отражением У„ в Хз параллельно Хч. !841. Найти все иаометрические (или ортогональные) преобрааования.
сохраняющие на месте нулевой вектор: а) на плоскости," б) в трехмерном пространстве, 1842з. Найти геометрический смысл линейного преобрааовання ф трехмерного евклидова пространства. заданного в ортонормнрованном бааисе ен ез, аз мзтрицей 164з — 1853) 1 аь линейные и кВАДРАтичные Функции и ФОРмы я3 1846. Доказать, что ненулевая билинейная форма Ь(х. у) = л а!1х!у1 тогда н только тогда распадается в произведение двук 1,! ! л линейных форм Ь(х, у)=1,(х)1я(у), где 1!(х)= Д~ Ь!х!, 1з(у)= ! 1 = ~ сну;, когда ее ранг равен единице.
у ! 1847. Докааать, что билинейная функция Ь(х, у), данная в действительном л-мерном пространстве (или з л-мерном пространстве иад полем характеристики, не равной двум), тогда и только тогда является симметрической, когда она имеет канонический бааис, в котором она записывается билинейной формой канонического вида: Ь(х, у)=)!х!у!+)'х + ...
+-)„х„у„. 1848*. Докааать, что если произведение двух линейных функций, заданнык на линейном пространстве У (необязательно конечномерном), тождественно равно нулю, т. е..1, (х) 1а(х) = О для любого х ~ У. то хотя бы одна из этих функций тождественно равна нулю. !849».
Доказать, что если симметрическая билинейная функция Ь(х, у). заданная в линейном пространстве У (необяаательно конечномерном). распадается на две билинейные функции: Ь(х, у)= =1!(х)1з(у), то она представляется в виде Ь(х, у)=)1(х)1(у),. где 6 в число. отличное от нуля.
и 1(х) — линейная функция. 1860». Доказать, что билинейная функция в и-мерном действительном пространстве тогда и только тогда имеет ранг 1, когда в некотором бааисе она записывается формой вида: а) + х,ун если функция симметрическая; б) х,ум если функция несимметрическая. 1861». Доказать, что ненулевая кососимметрическая функция на линейном пространстве У (необязательно конечномерном) не может распадаться в произведение двух линейных функций. 1862». Пусть 1(х) — ненулевая линейная функция на линейном пространстве У (необязательно конечномерном).
Докааать, что: а) ядро 8 функции 1(х). т. е. множество всех векторов х~ У. для которых 1(х) = О, есть максимальное линейное подпространство. т. е. 8 не содержится в иоднространстве Т, отличном от $ и У; б) для любого вектора а. не лежащего в 6, любой вектор х однозначно представляется в виде х=у+ца, где у~8. 1868». Доказать, что если две линейные функции 1,(х) и 1я(х) на линейном пространстве У (необязательно конечномерном) имеют одно и то же ядро 8, то 1,(х)=А1 (х), где Х вЂ” число, отличное от нуля.
дополнвния 11йэч-1Взо 1864в. Применяя метод Якоби вычисления угловых миноров, определить аффинный класс поверхностей в трехмерном пространстве: а) хзг+2х~ ~— хээ+2х,х -+2х,+2х =0; б) хз+ х~~-+2х,х + 2х,хэ.+2х,-+ 1 = О. 1866. Доказать, что если квадратичная форма с матрицей А положительно опрелеленпа, то и квадратичная форма а) с обратной матрицей А б) со взаимной матрицей А положительно определенна. 1866в. Пусть 7'(х) — квадратичная функция па и-мерном действительном липейном простраястве 1г„.
Вектор хз называется изолгропным. если /(хз)=0. Доказать. что если функция /(х) — энакопеременная, т. е. существуют векторы х,. хз такие, что 7'(х,) ) О. у(л~) < О. то существует базис. состоящйй из изотроппых векторов. Указать метод построения такого базиса, 1867*, Изотропным (или нулевым) конусом квадралшчной функции 7 (х) называется миожество К всех изотропных векторов (задача 1855). Доказать, что изотропный конус квадратичной функции 7'(х) па и-мериом действительзом прострзистве Ъ'„ тогда и только тогда будет подпрострапством, когда 7 (х) зиакопостояина, т. е.
или 7 (х) )~ 0 для всех х, или /(х)~(0 для всех х. 1868в. Пусть 7'(х) — квадратичная функция па п-мерном действительном линейном пространстве ьг,. г — ранг, р и д — положительный и отрицательный индексы инерции этой функции. Доказать, что максимальная размерность линейиых подпрострапств, входящих в изотропный конус К (задача 1857), равна: а) ппп(р, д), если 7(х) певырождепа (т. е.
г=п); б) п — шах (р, д) = пип (р, д) + и — г, если 7' (х) — любая (вырожденная или иезырожденяая). 1869в. Пусть /(х) — квадратичпая функция с теми же свойствами, кзк и в предыдущей задаче. Доказать, что максимальная размерность линейного многообразия Р, входяпзего в поверхность второго порядка б, зздаиную уравнением /(х) =- 1. равна: а) ппп(р — 1, д), если /(х) невырождена; б) ппп(р — 1, д)+и — г= и — шах(р, д+1) в общем случае. 1860. Пользуясь задачами 1858 и 1859.
найти максимальную размерность линейных многообразий, содержащихся в следующих поверхностях второго порядка (если размерность пространства пе указана. она считается равной наибольшему номеру координат; размериость пустого многообразия считается равной — 1): а) хг.+х~~ — лад= 1 (одпополостный гиперболоид); б) х" ,— хзз— — х~ ~= 1 (двуполсс~ный гиперболоид); в) х~ — хз — хе=01 г) х,ха —— 1; 1861 18661 $ я линейные и квлдРлтичные Функции и ФОРмы 215 д) х,хе=1 (в трехмерном пространстве); е) х,х2=0; ж) х,хе=0 (в и-мерном пространстве); з) хя — х2 = 1; и) х2 — хт —...
— хт = 1; к) х2+ ... + х„г — хя= 1; л) х1 + х2 — х2 — х2 = и 1)" гх2 1 1' 1 !86!в. Левым ядром (или левым нулевым пространством) билинейной функции Ь(х, у). заданной на линейном пространстве У, с называется множество Ц всех векторов х ~ У, для которых Ь (х, у) = О для всех у~ У. Аналогично определяется правое ядро Ц. Доказать. что а) левое и правое ядра — подпространства; б) в п-мерном пространстве левое и правое ядра имеют одинаковую размерность п — г, где г — ранг Ь(х, у). т. е.
ранг ее матрицы в каном-нибудь базисе. 1862. Найти базис левого и правого ядра (нулевого пространства) Х~ и Ео (задача 1861) для билинейной формы Ь(х, у) = х,у,+ +2хгу2+Зхтуг+6хту2 и показать, что Ао+,(Ф. 1863Ф. а) Доказать, что для симметрической и кососимметрической билинейных функций левое ялро совпадает с правым; б) привести пример билинейной функции в п-мерном пространстве, которая не является ни симметрической, ни кососимметричесной, но для которой левое ядро совпадает с правым. 1864Ф. Доказать. что ненулевая кососимметрическая билинейная функция в трехмерном пространстве представляется в виде Ь(х, у) = =а(х)Ь(у) — а(у)Ь(х), где а(х) и Ь(х) — линейные функции. 1866Ф.
Пусть Ь(х, у) — билинейная функция и ь — Ь-мерное подпространство в и-мерном пространстве Ут Обозначим через ь" множество всех векторов у~ У„таких. что Ь(х, у)=О для всех Х~А. Доказать, что: а) ь* — надпространство; б) если Ь(х, у) невырожлена (т. е. ранг равен и). то размерность ь* равна и — Ь; в) если Ь(х, у) имеет ранг г < и, то размерность ь* больше или равна шах(и — Ь, и — г). 1866Ф.
Пусть Ь(х, у) — ненулевая кососимметрическая билинейная функция в и-мерном линейном пространстве У„. Доказать, что существует базис, в котором Ь(х, у) запишется билинейной формой следующего канонического вида: Ь(Х. у) = Хгуз — Х2у1+ Хзуе — Хеуз-+ ... + И + Х22 гут — хзеу22 1, ! < Ь < †. Найти канонический вид кососимметрической билинейной формы (задача 1866) и невырожденное преобразование неизвестных, к нему приводящее.
для следующих форм: 246 дополнкнип (1667 — 1669 1867. 6(«, у)=х,ут — хту,+2(х,уз — хзу,) — х,у +х у,— — 8 (ххуе «еЫ. 1868. 6(х у)=х,ух — хту,+2(хуз — хзу,)+4(х у — хгут). !869*. Пусть 7'(х) — квадратичная функция в и-мерном евклидовом пространстве Ут Доказать утверждение: для того чтобы конус К с уравнением 7 (х)= 0 (задача 1857) содержал ортонормированный базис пространства У„. необходимо и достаточно, чтобы след ма-трицы А функции 7 (х) в одном (а, значит, и в любом) ортонормированном базисе был равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
