И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пусть О в ненулевая конечная абелева группа (с адлитивной записью операции). Доказать утверждения: а) если порядки всех элементов иэ О делят произведение рьу взаимно простых чисел Р и д, то 0 разлагается в прямую сумму подгрупп А и В, где порядки всех элементов из А лепят Р, а из  †дел ьу, причем одна из подгрупп А или В может оказаться нулевой; б) для группы О имеет место разложение О= А, + Аз + ...
+ А, в прямую сумму (ненулевых) примарных полгрупп. относящихся соответственно к Различным пРостым числам Ро Рэ, ..., Р,. Эти подгруппы А, называются примарными компонентами группы 0; в) пРимаРнаа компонента Ап относащааса к пРостомУ числУ Рн состоит иэ всех элементов группы О, порядки которых равны степеням числа Р;, что однозначно определяет разложение группы 0 на примарные компоненты; г) разложение па примарные компоненты ненулевой подгруппы Н группы 0 имеет вид Н=В,+Вз+ ... +В„тле Вь —— НПАь, 1=1, 2... а, причем нулевые подгруппы В, в разложении Н опускаются.
1704. Обозначим через 0(л,. ла..... и) прямую сумму циклических групп порядков соответственно ан лэ, ..., и,. Иэ теории конечных абелевых групп известью, что каждая такая группа однозначно (с точностью до изоморфизма) представляется в виде 0(а,. лз, .... и,), гле числа ль равны степеням простых чисел (не обязательно различных). Применяя указанное обозначение, найти все абелевы группы 1705 — 1707! 1 22. гятппы следующих порядков: а) З„б) 4; в) 6; г) 8; д) 9; е) 12; ж) 16' з) 24; и) 30; к) 36; л) 48; и) 60; н) 63; о) 72; п) 100.
170б. Разложить в прямую сумму примарных циклических и бесконечных циклических подгрупп фактор-группу О/Н, где Π— свободная абелева группа с базой х,, х2. хз и Н вЂ” полгруппа с образующими: а) у,= 7х,+2х2+Зхз, У2 = 21 х, + 8хз+ 9хз. уз= 5х,— 4хя+Зхз' б) у, = 4х, + 5хз+ Зхз, уз = бх1+ бхя.+ 5 ха. уз = 8х, + 7х2+ 9хз; в) у,= 5х,+5хз+2хз, уз = 11х, + 8х2+ 5хз уз = 17х, + 5х2+ 8хз' г) у, = бх, +- 5х + 7хз, У2 = 8Х, + 7Х2+ 11хз, Уз = бх, + 5хз + 1 1 ха' д) у, = 4 х, + 5 ха+ хз, уа= — 8х,+9х2+ хз, уз = 4Х1 + 6 ха-+ 2хз,.
е) Уг =2Х2-1- 6Х2 — 2хз, Уз= 2х,+ 8Х2 — 4хз, уз = 4х2+ 12хз — 4хз,' ж) у,=бх, +5хз+4хз. У2 = 7Х, + бхз-+ 9хз. Уз = 5х, + 4ха — 4хз, 3) У2 = х2 + 2х2+ Зхз, У2=2уг Уз= ЗУб н) у =4х + 7хз+Зхз, У2=2х,+ Зхз+2хз. Уз = бх, + 10хз+ 5хз., к) У2 = 2х, +Зхз+4хз. У2 = 5Х2+ 5Х2+ 6Хз. Уз = 2х, + бхз+ 9хз. 170бе. Доказать, что конечная абелева группа О, порядок которой равен: а) произведению двух различных простых чисел р и д; б) произведению различных простых чисел рн р2, ..., р,,— является циклической; в) найти все подгруппы абелевой группы О, порядок которой удовлетворяет условию пункта б).
и найти число этих подгрупп; г) доказать, что для любого делителя 72 порядка а конечной абелевой группы О существуют подгруппа и фактор-группа группы О, имеющие порядок А. 1707а. Пусть Π— ненулевая конечная абелева группа, все ненулевые элементы которой имеют один и тот же порядок р (элементарная группа). Доказать утверждение: а) число р является простым; б) группа О разлагается в прямую сумму конечного числа циклических подгрупп порядка р и имеет порядок р".
где 72 — число этих слагаемых," 226 дополивнив [!709 — 172$ в) любая ненулевая подгруппа Н группы О сама будет элементарной н является прямым слагаемым в некотором прямом разложении О=Н+К группы О; г) число подгрупп порядка р» элементарной группы О порядка р~ где А)»1) О. равно У вЂ” 1)(Ф вЂ” л)(л' — ~') "- (/ — I ') 1708а. Доказать, что конечная абелева группа О порождается ее элементами максимального порядка. $21. Кольца и поля Выяснить. какие из следуюпгих множеств являются кольцами (но.не полями) и какие полями относительно указанных операций. (Если операции не указаны, то подразумеваются сложение и умножение чисел.) чг 1709.
Целые числа. 1710. Четные числа. 171!. Целые числа, кратные данному числу л (рассмотреть. в частности. случай л = О). 1712. Рациональные числа. 1713. Действительные числа. 1714. Комплексные числа. 1716. Числа вида а+Ь у'2 с целымй а и Ь. 1716. Числа вида а +Ь у' 3 с рациональными а и Ь. 1717. Комплексные числа вида а + Ы с целыми а и Ь. ьг 1718. Комплексные числа вида а+Ы с рациональными а и Ь. 1719. Матрицы порядка а с целыми элементами относительно сложения и умножения матриц. 1720. Матрицы порядка и с действительными элементами относительно сложения и умножения матриц. 1721.
Функции с действительными значениями, непрерывные на отрезке [ — 1. +1[ относительно обычных сложения и умножения функций. 1722, Многочлены от одного неизвестного х с целыми коэффициентами относительно обычных операций сложения и умножения. Ъ' 1723. Многочлены от одного неизвестного х с действительными коэффициентами относительно обычных операций. / а М 1724. Все матрицы вида ~ ! с рациональными или действи- ~2Ь а! тельными а, Ь относительно обычных сложения и умножения матриц. 1726а.
Образуют ли кольцо все тригонометрические полиномы ар+ ~р (а» соз Ах+ Ьа з!п йх) с действительными коэффициентамиу а-г 1726-17331 аж. кольца и поля л Выяснить то же для полиномов одних косинусов аз+ ~ па созйх л а 1 и одних синусов ~~.'~~ Ь„з!пйх. а-1 а !726». Образуют ли кольцо числа вида а.+Ь'г'2 с рациональными а и Ь относительно обычных операций (для определенности берется действительное значение корня). 1727в. Показать, что числа вида а+Ь'г'2+с1'4 с рациональными а, Ь и с образуют поле. причем каждый элемент этого поля в указанном виде представляется однозначно.
Найти элемент, обратный числу 1 — 'гг 2 + 2 $' 4 (берется действительное значение корня). з $ 1728. Доказать. что числа вида а+Ь'г" 5+ с1 25 с рациональными а, Ь и с образуют поле; найти в этом поле число, обратное числу к=2-+33/5 — К25. 1729в. Пусть а — корень многочлена У(х) степени а) 1 с рациональными коэффициентами, неприводимого над полем рациональных чисел. Доказать, что числа вида аз+а,а+арР+ ... +а„,а"-' с рациональными а, ан ат, ..., а„, образуют поле, причем каждый элемент этого поли однозначно записывается в указанном виде. Говорят, что это поле получено присоединением числа а к полю рациональных чисел. 1730*.
В поле. полученном присоединением к полю рациональных чисел корня а многочлена у(х)=хз+4хз+2к — 5 (задача 1729) найти число, обратное числу 5=3 — а+аз. !731. Доказать, что все диагональные матрицы. т. е. матрицы вида а, О О ... О О аа О ... О О О аз ... О О О О ... а„ порядка и )~ 2 с действительными элементами относительно обычных сложения и умножения матриц образуют коммутативное кольцо с делителями нуля. 1732. Привести примеры делителей нуля в кольце функций.
непрерывных на отрезке 1 — 1. +-Ц. 1733. Доказать, что в кольце квадратных матриц порядка а с элементами из некоторого ноля вырожденные матрицы, и только они, являются делителями нуля. 11734 — 1744 дополнение 1734. Показать, что пары (а, Ь) целых чисел с операциями, ваданными равенствами (а„Ь,)+(ам Ьа)=(а~+ам Ь,+Ьз).
(ан Ь,)(аз, Ья)=(а,а. Ь,Ьг), образуют кольцо. и найти все делители нуля этого кольца. 1736. Доказать, что поле не имеет делителей нуля. 1736. Доказать, что из равенства ах= ау для данного элемента а и любых элементов х и у кольца следует равенство х=у тогда и только тогда, когда а не является левым делителем нуля.
1737. Показать, что матрицы порядка п)~2 с элементами из некоторого поля, в которых все строки, начиная со второй. состоят из нулей, образуют кольцо. в котором всякий элемент, отличный от нуля, будет правым делителем нуля. Какие матрицы в этом кольце не будут левымн делителями пуля! !738».
Показать. что в кольце с единицей е коммутатнвность сложения вытекает из остальных аксиом кольца. 1739. Проверив, что свойство нуля и делителей нуля можно доказать, не используя коммутативности сложения, доказать, что в кольце, содержащем хотя бы один элемент с, не являющийся делителем нуля, коммутативносгь сложения вытекает из остальных аксиом кольца. !740.
Привести примеры колец матриц специального вида, обладающих несколькими правыми или нескплькимн левыми единицами. 1741. Пусть дано целое число п ~~ О. Два целых числа а и Ь называются сравни мыли ао модулю а. что записывается так: а=Ь(щей л), если их разность а — Ь делится на и (при л=О это означает. что а=Ь; при а) Π— что а и Ь при делении на и дают один и тот же остаток — вычет по модулю л). Показать, что совокупность всех целых чисел У разбивается на классы сравнимых между собою чисел, не имеющих общих элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
