И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 34
Текст из файла (страница 34)
когла ф и ф перестановочны. 1581. Доказать, что если ф и ф — самосопряженные преобразования, то самосопряженными булут также преобразования фф+фф и !(фф — фф). 1582. Доказать, что отражение ф евклидова (или унитарного) пространства К„ в подпространстве А, параллельно подпространству 69 тогда и только тогда будет самосопряженным линейным преобразованием, когда 6, и 69 ортогональны.
1583. Доказать, что проектирование ф евклидова (иля унитарного) пространства )с„ на подпространство Е., параллельно подпространству 7ч тогда и только тогда будет самосопряженным линейным преобразованием, когда 7ч и 69 ортогональны. !684. Доказать, что если линейное преобразование ф унитарного (нли евклидова) пространства Ю„ обладает любыми двумя из следующих трех свойств: 1) ф — самосопряженное преобразование; 2) ф †унитарн (соответственно ортогональное) преобразование; 3) ф — инволютивное преобразование. т. е. фз=е †тождественн преобразование.
то оно обладает и третьим свойством. Найти все типы преобразований, обладаюпАих всеми этими свойствами. Найти ортонормированный базис собственных векторов и матрицу В в этом базисе для линейного преобразования. заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен не однозначно): 1585. 11 2 — 8 1685. 17 — 8 4 А=- 2 2 1О . А= — 8 17 — 4 — 8 1О 5 4 — 4 1! 1587. 3 — 1 О А= 1 3 О О О 4 Для данной матрицы А найти диагональную матрицу В н унитарную матрицу С такие, что В = С 'АС.
1588. / 3 2+ 21 ~ 1589. / 3 2 — ! А=~ — Ь вЂ” 2! 1) ) А=-~ ~2+ ! 1590в. Рассмотрим ля-мерное пространство всех комплексных квадратных матриц порядка л с обычными операциями сложения матриц н умножения матрицы на число. Превратим это пространство ОТДЕЛ ПЛ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (1591 — 1594 в унитарное, считая, что скалярное произведение двух матриц А = (а11)1 л и В = (511)1 задано равенством (АВ) =,~~~ а1)51Д 1,1 1 Доказать. что1 а) умножение всех матриц слева на одну и ту же матрицу С является линейным преобразованием; б) унитарные матрицы как векторы указанного пространства имеют длину )11л; в) умножения всех матриц слева на сопряженно-транспонированные матрицы С н С' вызывают сопряженные преобразования; г) умножение слева на унитарную матрицу С вызывает унитарное преобразование; д) умножение на зрмитову матрицу вызывает самосопряженное преобразование; е) умножение на косоэрмвтову матрицу вывывает кососимметрическое преобразование.
!591, Пусть скалярное умножение векторов пространства Ю„задано матрицей Грама 0 некоторого базиса. Найти условие, необходимое и достаточное для того„ чтобы линейное преобразование ф, заданное в том же базисе матрицей А. было самосопряженным в случае: а) евклидова, б) унитарного пространства. !592е.
Доказать, что два самосопряженных преобразования ф и ф унитарного (нли евклидова) пространства Ю„ тогда и только тогда имеют общий ортонормированный базис собственных векторов обоих преобразований, когда эти преобразования перестановочны. Какое свойство квадратичных форм и поверхностей второго порядка отсюда вытекает? 1593. Пусть И†евклидово пространство размерности лз„ векторами которого являются все вещественные матрицы порядка п с обычными сложением матриц и умножением матрицы на число, а скалярное произведение матриц А =(аы) и В = (611) определено равенством (АВ) =,~~ а1161Р Пусть, далее, Р и Я вЂ” вещественные симметрические 1,1-1.
матрицы порядка п. Доказать, что линейные преобразования фХ = РХ и фХ = Х() (Х вЂ” любая матрица из пространства 1т) являются перестановочными самосопряженными преобразованиями пространства Я, и найти связь между общим ортонормированным базисом собственных векторов преобразований ф и ф и ортонормированными базисами собственных векторов матриц Р и Ф 1594. Самосопряженное линейное преобразование 1р унитарного (или евклидова) пространств В„ называется положительно определенным, если (фл, х) ) О, и неотрицательным, если (фх, х))~0 для лю- 1вйй — 1602] % Нх ЛИНВПНЫВ Пяепв ДзовДНня пиосгяднсгв бого вектора х+ 0 из Р„.
Доказать, что самосопряженное преобразование ф тогда и только тогда положительно определенно (или неотрицательно), когда все его собственные значения положительны (соответственно неотрицательны). Показать, что для любого (а не только для самосопряженного) линейного преобразования ф из (яцс, х) ) О (или )~ О) следует, что все собственные значения ф положительны (соответственно неотрицательны). Привести пример, показывающий, что для несамосопряженного линейного преобразования обратное утверждение может быть неверно. 1595в. Доказать. что если ф = ф)( или ф= )(ф, где ф и ф — самосопряженные линейные преобразования с положительными собственными значениями, а )( †унитарн преобразование, то ф = ф и у— тождественное преобразование (см. задачу 1276, в).
1596Я. Доказать, что любое невырожденное линейное преобразование ф унитарного (или евклидова) пространства представляется как в виде 9 †в,)(,, так и в виде 9 в улфм где фм фа †самосопряжепные преобразовании с положительными собственными значениями, а ул, уз в унитарные (соответственно ортогональные) преобразования, причем оба указанных представления единственны.
!597. Почему равенства не приводят к про~иноречию с единственностью представления, ука- занного в предыдущей задаче. Следующие матрицы представить в виде произведения симметрической матрицы с положительными характеристическими числами на ортогональную матрицу: 1598. ( 2 †1 ) 1599. (' 1 †4 ) 1600. 4 — 2 2 12 1/ (1 41 4 4 — 1 — 2 4 2 1601. Доказать, что самосопряженное линейное преобразование ф тогда и только тогда является положительно определенным, когда коэффициенты его характеристического многочлена )."+ с,)." '+... ...
+с„все отличны от нуля и имегот чередующиеся знаки, и не отрицательным (т. е. с неотрицательными собственными значениями) тогда и только тогда, когда коэффициенты са= 1, с,, сз, ..., с» отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки, а с„,,, ..., с„равны нулю. Злесь А — любое число от О до л. 1602з. Доказать, что если гр и ф — самосопряженные преобразования и 9 в положительно определенно, то собственные значения преобразования грф вещественны. 210 Отдел гч. Вектоимые пРОстРАнстВА [1603 — 1610 1603в. Доказать, что если ф и ф — самосопряженные преобразования с неотрицательными собственными значениями, причем одно из них невырожденно, то собственные значения преобразования фф вещественны и неотрицательны.
1604. Доказать, что сумма двух или нескольких неотрицательных самосопряженных преобразований (см. задачу 1594) является снова неотрицательным самосопряженным преобразованием. 1606э. Доказать, что неотрицательное самосоиряженное преобразование ранга г есть сумма г неотрицательных самосопряженных преобразований ранга 1.
1606в. Доказать, что линейное преобразование ф унитарного пространства )г„, имеющее ранг единица, тогда и только тогда будет неотрицательным самосопряженным, когда в любом ортонормированном базисе его матрица представляется в виде Х'Х, где Х вЂ” строка л чисел. 1607в. Доказать, что если матрицы А=(а,1)," и В=(ЬВ), эрмитовы и неотрицательны (т. е. имеют неотрицательные собственные значения), то и матрица С = (с,)),, где с,) —— а,.Ь, ([,д' = 1,2, ..., Л)— эрмитова и неотрицательна (сравнить с задачей 1220).
1606. Линейное преобразование ф евклидова (или унитарного) пространства Я„ называется кососимметрическим, если ф* = — ф, где фь — преобразование, сопряженное ф. Доказать, что: а) для того чтобы линейное преобразование ф евклидова пространства было кососимметрическим, необходимо и достаточно, чтобы его матрица А в любом ортонормированном базисе была кососимметрической, т. е. А'= — А; б) для того чтобы линейное преобразование ф унитарного пространства было кососимметрическим, необходимо и достаточно, чтобы его матрица А в любом ортонормированном базисе была косоэрмитовой„т.
е. А'= — А. 1609э. Доказать, что ортогональное дополнение ьч к линейному полпространству б евклидова (или унитарного) пространства, инвариантному относительно кососимметрического преобразования ф, также инвариантно относительно ф. 1610в. Доказать, что для кососимметрического преобразования ф унитарного пространства: а) собственные значения чисто мнимы (и, значит, характеристические числа комилексной косоэрмитовой, в частности вещественной кососимметрической, матрицы чисто мнимы); б) собственные векторы, принадлежащие лвум различным собственным значениям, ортогональны; ' в) если в ортонормнрованном баансе матрица А преобразования ф вещественна и собственный вектор, принадлежащий значению [У + 0 представлен в виде х +у[, где векторы х н у имеют вещественные К411 16141 $!9.
линейные пРБОБРА3ОВАниЯ пРОстРАнстВ ЕИ' координаты, то х и у ортогональны и имеют одинаковую длину, причем фх= — ру фу=рай' (1) г) кососимметрическое преобразование евклидова пространства всегда обладает одномерным или двумерным инвариантным подпространством. 161!э. Доказать, что: а) для любого кососимметрического преобразования ф унитарного пространства 1?„ существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования ф, В этом базисе матрица ф является диагональной с чисто мнимыми элементами на диагонали (Причем некоторые из этих элементов мбгут равняться нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
