И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Какой вид имеет матрица преобразования гр в цийлическом базисе? 1518. Пусть минимальный многочден линейного преобразования ~р пространства Ю„ имеет вид (Х вЂ” а)". Доказать, что существует век-тор а такой, что векторы (гр — ое) а, (гр — ае)" а, ..., (гр — ае) а, а, где е — тождественное преобразование, образуют базис пространства. Какой вид имеет матрица преобразования <р в этом базисе? 1810. Доказать, что любое подпространство А. комплексного про«транства,Р,Р инвариантное относительно линейного преобразования гр, содержит прямую, инвариантную относительно <р. 1520. Доказать.
что любое подпространство Ь действительного пространства 1«„, инвариантное относительно линейного преобразования ~р и имеющее нечетную размерность, содержит прямую, инвариантную относительно гр. Показать на примерах, что лля подпространства четной размерности утверждение неверно. При каких условиях А содержит прямую. все точки которой остаются неподвижными при преобразовании гр? 1521. Доказать, что комплексное пространство, содержащее лишь одну прямую. инвариантную относительно лннейно1 о преобразования Яь неразложимо в прямую сумму двух ненулевых подпространств, инвариантных относительно гр.
1822. Доказать, что комплексное пространство )?„ относительно данного линейного преобразования ~р распадается в прямую сумму (одного или нескольких) инвариантных линейных подпространств. каждое из которых содержит лишь одну инвариантную прямую и. значит (по предыдущей задаче), далее не разложимо. 1623в. Пусть <р — линейное преобразование пространства 1?„ и е'(Х) — минимальный многочлен <р. Доказать. что: а) если 8(Х)=л(Х)л(А) и многочлены л(Х) и л(Л) взаимно ПРосты, то пРостРанство т?„есть пРЯмаЯ сУмма подпРостРанств Ач, ОТДЕЛ ПС ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРЛНСТВА 11524 — 1$2У состоящего из всех векторов х таких, что л(<р)х=О, и Ц.
состоящего из всех векторов х таких, что А(гр)х=О; б) если д(Л) =Ь,(Л) лз(Л)... Ь,(Л) и многочлены И1 (Л), лэ(Л), ... ..., Ь,(Л) попарно взаимно просты, то пространство Й„есть прямая сумма полпространств А1 (1=1, 2, ..., з). где Ь1 состоит из всех векторов х таких, что л1(гр)х= О. 1524*. Линейное пРеобРазование гР в базисе ЕР ем ез задано матрицей Найти минимальный многочлен е (Л) этого преобразования и разложение пространства в прямую сумму подпространств, соответствующее разложению д(Л) на Взаимно простые множители вида (Л вЂ” а)", 1626. Решить задачу, аналогичную предыдущей.
если линейное пРеобРазование 1Р в базисе Е1, ем ез задано матРицей 1526. Линейное преобразование 1р евклидова (или унитарного) пространства И„задано равенством г(эс=(х, а)а для любого х из И„. причем а — данный ненулевой вектор. Найти минимальный много- член д(Л) этого преобразования и разложение пространства в прямую сумму, соответствующее разложению д'(Л) на взаимно простые степени неприводимых многочленов с вещественными коэффициентами (или многочленов вида Л вЂ” а в случае унитарного пространства). 1527. Найти жорданову форму матрицы линейного преобразования гр комплексного пространства,Щ„, если гр имеет с точностью до числового множителя только один собственный вектор.
1528. Доказать, что число линейно независимых собственных векторов линейного преобразования «р, принадлежащих одному и тому же собственному значению Лэ. равно числу клеток с диагональным элементом Лэ в жоРдановой фоРме матРицы 1Р. !529э. Доказать, что базис, в котором матрица линейного преобразования ф комплексного векторного пространства )с„имеет жорданову форму, можно построить следующим образом: А) Если не все собственные значения 1р равны между собой. и характеристический многочлен имеет вид У(Л)=(Л вЂ” Л1)*' ... (Л вЂ” Л,) э (Л1 ВЕЛ. при 1эь 1), 15291 $18.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ .то строим базис поллространства Р, всех векторов х таких, что (ф — )че)~1х=О (е — 1ождественное преобразование)(1=1, 2, ..., Р). Пространство 1т» будет прямой суммой подпространств РР Они инвариантны относительно ф: ф на Р, имеет одно собственное значение ХР причем (ф — )че) 1х= О для любого вектора х из РР В этом построении вместо характеристического многочлена )'(Х) можно взять минимальный многочлен И (Х). что может понизить показатели степени ИР Б) Пусть ф на Ю» имеет единственное собственное значение )о и И вЂ” наименьшее целое положительное число такое, что (ф — )„е)» = О. Положим ф=1р — )че. Высотой вектора х назовем наименьшее И такое, что ф"х = О.
Через )(1» обозначим подпространство всех векторов высоты ~(И (О ~(И ~( И). »с» содержит только нулевой вектор; .)Т» совпадает со всем пространством. Строим базис )с1, дополняем его до базиса )см полученный базис дополняем до базиса )сз и так далее, пока не построим базис )с» (для краткости все эти базисы назовем начальными). Для каждого вектора,К высоты И начального базиса )с» строим серию векторов .Г', фу", ф,у', .... ф У с начальным вектором,ф. Берем любой (напри» »-1 мер, начальный) базис )с» з и векторы высоты И вЂ” 1 всех построенных серий.
Эти векторы вместе будут линейно независимы. Дополним их до базиса )с» 1 любыми векторами (например, из начального базиса )с» 1). Для каждого из дополнительно взятых векторов .г (если они вообще существуют) строим новую серию: .г; фг', ф",Г, .... ф,Г. и так далее. Пусть на некотором шаге уже построены серии, в которых векторы высоты И+1 вместе с любым (например, начальным) базисом )с» Образуют базис )т»+1. Векторы любого (например. начального) базиса )т» 1 вместе с векторами высоты И построенных серий будут линейно независимы. Дополним их до базиса )т» любыми векторами (например. из начального базиса гс ). Для каждого дополнительно Взятого вектора у (если таковые существуют) строим новую серию: Х фХ фХ ° ° ' ф У Поступаем так до тех пор, пока векторы всех построенных серий не образуют вместе базиса всего пространства.
Записав векторы серию за серией так, что в каждой серии векторы взяты в обратном порядке (начальный вектор серии берется в данной .серии последним), получим искомый базис, в котором матрица преобразования ф имеет жорданову форму. В) Базис. построение которого указано в пунктах А) и Б), определен не однозначно.
Доказать единственность (с точностью до порядка расположения жордановых клеток) жордановой матрицы Аа, подобной данной квадратной матрице А (и, значит. единственность жордановой формы матрицы данного линейного преобразования ф). Именно, домазать, что жорданова форма Ад матрицы А порядка а определяется ОТДЕЛ Пл ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 11530 — 1533 ха — — г„,— 2га+г„е, (В=1. 2, ..., й). (и) Замечание. Формулы (а) лают прием отыскания жордановой формы Аа без помощи теории элементарных делителей 3-матриц. Линейное преобразование ф пространства Я„в базисе вн .. е„ задано матрицей А.
Найти базис.ун ..., У„в котором матрица этого преобразования имеет жорданову форму Аэ. и найти эту жорданову форму (искомый базис опрелелен неолнозначно). А= 4 10 — 12 . А= — 3 — 3 3 0 1 — 1 11 1636. 16 — 9 6 4! 7 — 13 8 7 А= 8 — 17 11 8 — 1 2 — 1 1 — 1 1 1 Π— 1 1 0 1 1 — 2 1 3 0 1 0 ... 0 О О 1 ... О 1636. А = Вз, где В = ° ° ° †клет Жордана по- 0 0 0 ... 1 рядка и. 0 О 0 ... 0 1637е. Линейное преобразование ф пространства !с„ называется инаолютизным, если фз=е. где е — тождественное преобразование.
Выяснить геометрический смысл ннволютивного преобразования. 1638е. Линеиное преобразование ф пространства А'„называется идемпотентным,' если фз=ф. Выяснить геометрический смысл идемпотентного преобразования. следующим образом. Пусть й — наивысший порядок жордановых клеток матрицы Аа с числом )о на диагонали, лз — число таких клеток порялка Ь (л=1. 2, .... 7г). В=А — )еВ, г„— ранг матрицы В" (Ь=О, 1. 2, .... 7г.
1+1). Тогда числа хв определяются фор- мулами 1539 — 15441 % са линепныв пгновидзовднмя пгостганств М1 1039. Привести примеры линейного преобразования ф трехмерного пространства, для которого: а) пространство не является прямой суммой области значениИ У., н ядра А преобразования ср (опрелеление дано в задаче 1488); б) пространство является прямой суммой области значений А, и ядра с.а для ф, но ф не является проектированием на А, параллельно Ц. 9 19. Линейные преобразования евклндовых н унитарных векторных пространств 1640.
Доказать, что операция перехода от линейного преобразования ср унитарного (или евклидова) пространства к сопряженному преобразованию ср* обладает следуюсцими свойствами: а) (ср*)'=ф; б) (ф+ ср)' = ф*+ ср'. в) (фф)' = ф'ср*; г) (аф)' = скр*; д) если ср невырожденно. то (ср ') =(ср*) 1541. Пусть ен ез — ортонормированный базис плоскости и линейное пРеобРазование сР в базисе У; =ес, Дз = ес+ ез имеет матРицУ 1 2'с ). Найти матрицу сопряженного преобразования ср' в том же 1) базисе До .см 1642.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
