И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Расстоянием между двумя линейными мьюгообравиямн Р, =Х.,+х, н Р,=Ха+ха называется минимум расстояний любых двух точек, одна из которых принадлежит Р,, а другая Рм Доказать, что это расстояние равно длине ортогональной составляющей вектора х, †относительно линейного подпространства Х, = Х., +Хч. 1377. Найти расстояние между двумя плоскостями х=аьХь +- +аз(а+хь и х=азХь+а„Ха+ха.
где аь=(1. 2, 2. 2). аз=(2, — 2, 1, 2). аз=(2 0 2 1). аз=(1 — 2. 0 — 1)' х,=(4, 5, 3, 2). ха=(1, — 2, 1, — 3). 1378э. Правильным и-мерным симплексом евклидова пространства ХХ (Хь~~п) называется выпуклое замыкание (см. задачу 1347) системы и + 1 точек, находящихся друг от друга на одинаковом расстоянии.
Точки данной системы называются вершинами; отрезки, нх соедпняющие, — ребрами, а выпуклые замыкания подсистем Хь +-1 точек данной системы — л-мерными гранями симплекса. Две грани называются противоположными, если они не имеют общих вершин и любая из п+ 1 вершин симплекса является вершиной одной ив этих граней. Найти расстояние между двумя противоположными гранями размерностей Хь н л — А — 1 и-мерного симплекса с длиной ребер, равной единице, и доказать, что оно равно расстояьшю между центрами этих граней.
1370э. Пусть е — вектор длины единица евклидова (или унитарного) пространства ХХ . Доказать, что любой вектор х из )~„ однозначно представляется в виде х= пе +-е, где (я, е) = О. Число а называется проекцией вектора х на направление е и обозначается через рг х. Доказать, что: а) рг,(х-+у)=рг,х+рг,у; б) рг,()х)=),рг,х; в) рг,х=(х, е); г) для любого ортоьюрмированного базиса е,, ..., е„и любого и вектора х имеет место равенство х=~~(рсфср) - ен ь 1 !380э. Пусть еь, ..., е„— ортонормированная система векторов евклидова пространства !т'„. Доказать.
что для любого вектора х Отдел 1ч. ЕектоРные ОРООТРАнствА [!381 — 138$ 180 иа /8л имеет место неравенство (неравенство Бесселя): ~(рг„х)2 ( ~х)2, 1 1 причем это неравенство обращается в равенство (равенство Парсеваля) для любого х из /7„тогда и только тогда, когда )! =- л, т. е.
система е„..., еа является ортонормированным базисом. !381э. Доказать неравенство Коши — Буняковского (х у)2-Е.-(х х)(у у) для любых векторов х и у евклидова пространства, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы х и у линейно зависимы. !382э. Доказать неравенство Коши — Буняковского (х. у)(у, х)( (х, х)(у, у) для любых векторов х и у унитарного пространства, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы х и у линейгю зависимы.
1383. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, доказать следующие неравенства: /л 12 л л а) ~ ~ а 151) ( ~ а1 - ~~~„Ь~1 1-1 1-1 1-1 для любых вещественных чисел а,, ..., а„; Ь„..., Ьл (см. задачу 503); л ~2 л л б),,'~~ а1Ь1 ~ ( ч", ~ а, )2 ° ~ ~ Ьг ~2 11-1 1-1 1 ! для любых комплексных чисел аы ...„а„; ЬР ..., Ьл (см. задачу 505). 1384. В бесконечномерном векторном пространстве всех вещественных непрерывных на отрезке (а, Ь) функций с обычными сложением функций и умножением функции на число задано скалярное 2 произведение (/, д) = ~ /(х) К(х) сгх.
Проверить выполнение всех а свойств скалярного проиаведення евклидова пространства (см. введение) и написать неравенство Коши — Буняковского для этого пространства. Найти длины сторон и внутренние углы треугольников, вершины которых заданы сэоими координатами: 1385. А (2, 4, 2, 4, 2), В(6, 4, 4, 4, 6), С (5, 7, 5, 7, 2) !333 — 13991 % 7х СВклидОВы и УнитАРные НРОстРАнстВА 13! !386. А (1.
2, 3. 2. 1); В (3, 4, О, 4, 3); С~1+Ы78,2+Ы78'3+ 13~г78, 2+ !3Р 78,1+в $~78) . 1387. Доказать следующее обобщение теоремы элементарной математики о двух перпендикулярах: если вектор х евклидова (или унитарного) пространства ортогонален к каждому из векторов аг. аз, ..., аю то он оРтогонален к любомУ вектоРУ линейного подпространства 7., натянутого на векторы а7, ат, ..., аю 1388. Доказать, что если х=ау, то ~х(=~а) ° (у~. Здесь )х), )у~ — длина векторов х, у.
! 389*. Доказать, что квадрат диагонали прямоугольного и-мерного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины (л-мерное обобщение теоремы Пифагора). 1390В. Доказать теорему о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. !391. Доказать теорему о том, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, пользуясь скалярным .умножением векторов. 1392. Пользуясь неравенством Коши †Буняковско, доказать.
неравенство треугольника: если р(Х, У) — расстояние между точками Х и У, то для любых трех точек А, В и С имеем р(А, В)-+ +р(В. С) )~р(А, С), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы х, проведенный из А в В. и у, проведенный иа В в С, коллинеарны и одинаково направлены. 1393. Найти число диагоналей л-мерного куба. ортогональных к данной диагонали. 1394. Найти длину диагонали п-мерного куба с ребром а и предел этой длины при л — ьоз.
1398. Доказать, что все диагонали и-мерного куба образуют один и тот же угол 7р„ со всеми его ребрами. Найти этот угол н его предел при а ~ оо. При каком п получим гр„ = 60'У. 1396. Найти выражение радиуса В шара, описанного около л-мерного куба через ребро РЛ какая из этих величин В и а больше при различных и"г !397. Доказать, что ортогональная проекция любого ребра.
л-мерного куба на любую диагональ этого куба по абсолютной вели- 1 чине равна — длины диагонали. 1398в. Доказать, что ортогональные проекции вершин л-мерного куба на любую его диагональ делят ее на л равных частей. 1399в. Г!усть х, у в ненулевые векторы евклидова пространства )7„, Доказать. что: 182 отлил гт. Виктовныв пРОстРАнстВА 1!400 — 1407 а) х=ау, гле а) О. тогда и только тогда, когда угол между х и у равен нулю; б) х=-ау, гле а . О, тогда н только тогла, котла угол между х и у равен и. 1400».
Доказать, что из всех векторов линейного подпространства Х, наименьший угол с данным вектором х образует ортогональная проекция у вектора х на Х,. При атом равенство соз(х, у)= =сов(х, у'), где у'~Х, выполняется тогла и только тогда, когда у'=ау, где а> О.
140!. Найти угол между диагональю л-мерного куба и его Хг-мерной гранью. Найти угол между вектором х и линейным подпространством, .натянутым на векторы ам аг. .., аа.' 1402. х = (2. 2, 1, 1); 1403. х = (1, О. 3, О); а,=(3, 4, — 4. — 1); а,=(5, 3, 4, — 3); аг=(О, 1, — 1, 2). аг=(1, 1, 4, 5); аз=(2, — 1. 1. 2). 1404. Углом между двумя линейными подпространствами Х., и Х. евклидова пространства Ю„, не имеющими общих ненулевых векторов, называется минимум углов между ненулевыми векторами хм х, где х, ~ Х, хг ~ Хг.
Если пересечение Х, П Хг = Х)+О, причем Х)чьХч, Х)чьХ.г, то углом межлу Х., и Х,г называется угол между их пересечениями с ортогональным дополнением Х)в к пересечению Х). Если одно из данных подпространств солержится в другом (в частности, если они совпадают), то угол между ними считается равным нулю. Углом между линейными многообразиями называется угол между соответствующими им подпространствами. Показать, что угол между любыми подпространствами или многообразиями всегда опрелелен и равен нулю тогда и только тогда, когда одно из подпространств или многообразий солержится в другом или многообразия параллельны.
1405в. Найти угол между двумерными гранями АвА,Аг и АрАзА4 правильно~о четырехмерного симплекса (см. задачу 1378) АзА,АгАзА . 1406в. Найти Угол междУ плоскостЯми аз+ а11г+ аг(г и Ьз + Ь,Х, + Ьг(г, тле а, = (3. 1, О, 1), а, = (1, О, О, О), аз = (О, 1. О, О). Ьв = (2, 1, !, 3), Ь, = (1, 1. 1, 1), Ь = (1. — 1, 1, — 1). 1407в. Пусть даны линейно независимая система векторов еп ег, ..., в, и две ортогональные системы ненулевых векторов .Хп Ум .... Х, и лп жг, ..., л', такие, что вектоРы Хл и ва линейно выражаются через еп ег, .... еа (0=1, 2, ..., в). Доказать, что х'А = пака ф = 1, 2, ....
в), тле па+О. 1408 — !414] % Гл ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 188 !408в. Пусть Ю„+! — евклидово пространство. за векторы которого взяты все многочлены степени «~п с вещественнымн коэффициентами от одного неизвестного х, а скалярное произведение поли+1 номов у(х) и д'(х) определено так: (Г", 8) = ~ /(х)8 (х)с!х. -! Доказать, что следующие полиномы, известные под нааванием полиномов Лежандра: ла А Р (х) = 1, Р (х) = — — [(ха в 1) ] (Ь = 1, 2..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
