И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 29
Текст из файла (страница 29)
. В), 2"А! Гха образуют ортогональный базис пространства )с„+!. 1409. Исходя из определения полиномов Лежандра, данного в предыдущей задаче. найти полиномы РА(х) для Ь = О, 1, 2, 3, 4. Убедиться. что Ра(х) имев~ степень Ь, и написать развернутое выражение по степеням х лля Р,(х) при любом Ь. 1410в. Вычислить «длину» полинома Лежандра Р„(х) как вектора евклидова пространства )с„+! задачи 1408, !411».
Вычислить значение полинома Лежандра РА(х) при х=- 1. 1412в. Доказать, что если к базису 1, х, ха..... х" евклидова пространства М„+! задачи 1408 применить процесс ортогонализации. то получатся многочлены )'а(х). у!(х), ..., ~„(х), отличающиеся лишь постоянными множителями от соответствующих полиномов Лежандра.
Найти эти множители. 1413. Пусть процесс ортпгонализации переводит векторы а!. ам .... а„в вектоРы ЬР Ьм ..., Ь„соответственно. Докааать, что ЬА есть ортогональная составляющая вектора аа относительно линейного подпространства Х.» г, натянутого на ап .... ИА !(Ь.» 1)- Далее доказать. что 0 «(] ЬА ] «(] аа ] (й = 1, 2, .... л), причем ! Ьа]=0 тогда и только тогда. когда аа линейно выражается через аг, ..., аа г(Ь ) 1) нлн к!=0 (А=1); ]ЬА]=]ал] тогда и только тогда, когда (аа, ау) = 0 (у = 1, 2, ....
Ь вЂ” 1; А > 1) или Й=1. -!. 1 1414в. Доказать, что интеграл ] ]у'(х)]асс, где у(х) — много-! член и-й степени с вещественными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, достигает своего минимума, равного 2гл+! 2п „ т, тогда и только тогда, когда у (х) = — Р„(х), где (2л -]- 1) (С" )т с"„ Р„(х) — полипом Лежандра степени и (см. задачу 1408).
отдел гч, вгктогные пгостглнствл !!4!5 — !42! !84 1416. Определителем Грама векторов а,, аа..... аа евклидова (или унитарного) пространства Я„ называется определитель (ан а,) (а,, а,) ... (а,, а,) (аз а!) (аз аа) (аз ай) у(ап ..., а„) = (аы а,) (аю аз) ... (а,, аа) Доказать, что определитель Грэма не изменяется прн применении к векторам а,... а» процесса ортогонализации, т. е. если в результате ортогонализации векторы а„..., аа перейдут в векторы Ь„.... Ь, п(ан ..., ал) =е (Ьн ....
Ьл)=(Ь,, Ь,)(Ьа Ьа) ... (Ь,, Ь„). Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл е'(ап аз) и е'(ап аз, а,). предполагая векторы линейно независимыми. 141бв. Доказать, что для линейной зависимости векторов а,, ..., аь евклидова (нли унитарного) пространства необходимо и достаточно. чтобы определитель Грама этих векторов был равен нулю. 14!7в. Два базиса вн ..., в„и ун ....У„евклидова (или унитарного) пространства называются взаимными, если ( 1 при 1=/, !! О при 1+ !.
Доказать, что для любого базиса вп ..., в„взаимный базис существует и определен однозначно. 1418. Пусть Б — матрица перехода от базиоа вп ..., е„к базису е,', ..., в„'. Найти матрицу Т перехода от базиса.~н ..., г'„, взаимного с вн ..., ег к базису уп ..., ~'„', взаимному с е'и ..., е„': а) в евклидовом пространстве, б) в унитарном пространстве. 1419в.
Доказать, что определитель Грана е'(ап .... аа) равен нулю, если векторы а,, .... ал линейно зависимы, и положителен, если линейно независимы. 1420. Доказать, что если линейно независимые векторы ан ..., а„ процессом ортогоналнзации переводятся в векторы Ьп ..., Ь„, то ~Ьл~а= ' ''' " (А=1.
2, ..., и; определитель Грама с нулед(аь ..., аа,) вым числом векторов принимается равным единице). 1421*. В пространстве многочленов степени не выше л-й от .одного неизвестного х с вещественными коэффициентами скалярное ! .произведение задано равенством (1, д) = ~ ! (х)гг(х)г(х. о 1422 — 14271 % 17. еВклидоВы и УнитАРные пРостРАнстВА Найти расстояние от начала координат до линейного многообразия. состоящего из всех многочленов степени л со старшим коэффициентом, равным единице.
1422е. Доказать, что для определителя Грама справедливо неравенство О ( а (ап ..., ал) ( ! а, 1з ... ! ал ~з, причем й'(ан ..., а„) =О тогда и только тогда„когда векторы ан ..., аа линейно зависимы. и 4'(ан ..., аа)=1а,1з ... ~аа1з тогда н только тогла, когда либо векторы ап .... аа попарно ортогональны, либо хотя бы один из этих векторов равен нулю. 1423.
Пользуясь предыдущей аадачей, доказать неравенство Адамара, именно, если О = ~ а,71, — определитель с вещественными л л элементамн, то Оз ( Ц ~~'.~а~ (см. задачу 923), причем знак равен- 7-1 7 1 ства имеет место тогда и только тогда. когда либо ~ ац,аТА=О (1 Ф,у; О,г'=1, 2...., и), А-1 либо определитель О содержит нулевую строку.
Как изменится утверждение лля определителя с комплексными элементами? 1424*. Доказать, что определитель О положительно определенной 7 квадратичной формы у = ~~'.~ аых,х7 удовлетворяет неравенству П 7-7 О (~И ам. 1426е. Доказать, что любая вещественная симметрическая матрица А = (аф)л с неотрицательными главными минорами являетси матрицей Грама. т. е. существует система векторов е„.... ел евклидова пространства )т„такая, что (ео е1) = а~1 (О 7' = 1. 2, .... и).
1426е. Доказать. что любая эрмитова мазрица А = (а,7)," с неотрицательными главными минорами является матрицей Грама. т. е. существует система векторов еп ..., ел унитарного пространства )с,„ такая, что (еп е;)=а,;(1. 1=1. 2, ..., В). 1427в. Определим объем и-мерного параллелепипеда, построен-. НОГО На ЛИНЕЙНО НЕЗаВИСИМЫХ ВЕКтОРаХ ан аю ..., ал ЕВКЛИДОВЭ пространства, индуктивно условиями: 1) у' (а,) = ~ а, ~; ОТДЕЛ ПА ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 11428-1433 2) Ъ'(аи ....
а„)=1'(ан ..., а„,) Ь„, где Ьл — длина ортогональной составляющей вектора а„относительно подпространства, натянутого на векторы аи ..., а„г Доказать. что Ъ' (аи ..., а„) = )/д (ни ..., а„) = ~ с) ~. где Е> — определитель из координат данных векторов в каком-нибудь ортонормированном базисе а-мерного пространства, натянутого на векторы ан ..., а„. 1428*. Доказать, что объем л-мерного параллелепипеда не превосходит произведения длин его ребер, выходящих из одной вершины, н равен этому произведению тогда и только тогда, когда эти ребра попарно ортогональны. т.
е. параллелепипед прямоугольный. 1429в. Доказать следующее свойство определителя Грама: Л(ан .... аы ЬР .... Ь,) ~й'(аи .... аь)а(ЬР ..., Ьг). (1) причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда либо (ан Ь)) = 0 (1 = 1, 2..... Ь;,Г = 1. 2, ...„1), (2) либо хотя бы одна из подсистем ап ..., аь и Ь,...., д, линейно зависима.
1430в. Доказать следующее свойство объема параллелепипеда: Ъ'(ао ..., ал'. Ь,, ..., Ь,) 4 Ъ"(ан .. аь)1~(ЬН .... Ь,), причем анак равенства имеет место тогда и только тогда, когда (ан Ь1) = 0 (1 = 1, 2, , ... й; у = 1, 2. ..., 1). 1431в. Доказать, что если А — вещественная симметрическая матрица порядка а с неотрицательными главными минорами, А,— матрица порядка Ь < а в левом верхнем углу, Аз — матрица порядка а — и в правом нижнем углу матрицы А, то ~ А ~ ~(~ А,~ ° ~ Аз~ (сравнить с задачей 922).
1432в. Решить задачу. аналогичную предыдущей, если А — эрмитова матрица с неотрицательными главными минорами. 1433*. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы С„+1 положительных чисел аю1 (0 у=б. 1, 2, ..., л; 1>у) (1) были: а) расстояниями всевозможных пар вершин некоторого л-мерного симплекса евклидова пространства )т (т. е.
системы л+1 точек, не лежащих в (л — 1)-мерном линейном многообразии); б) расстояниями всевозможных пар точек некоторой системы и+ 1 точек евклидова пространства 1Т„. 1434 — 14Щ $»з, линейныв пРЯОБРАэОВАнии' пРОстРАнстВ 13Т 9 !8. Линейные преобразования пронввольных векторных пространств В атом параграфе за отдельными исключениями рассматриваются линейные преобразования аффиниых векторных пространств.
Преобразования евклндовых и унитарных пространств рассмотреяы в следующем параграфе. Линейные преобразования обозначаются через 4», 'ф и т. д., образ вектора х прн преобразовании»р — через»рх„система векторна»раь ..., »рал— через»р (аь ..., ал). Рбатрицей л»»ней»»ого преобразования»р в базисе еь ..., ел называется матрица А столбцы которой составлены иэ координат образов базиса »реь ..., »рел в том же базисе еь ..., е„; иными словами, матрица А, определяется равенством »р(е»...., ел) = (еь ..., ел) А . (1) Пусть Т вЂ” матрица перехода от базиса еь ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
