И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Линейное преобразование ср евклидова пространства в базисе нз векторов У, = (1, 2, 1), сз = (1, 1, 2), сз = (1, 1, О) задано матрицей ( -:) Найти матрицу сопряженного преобразования ср* в том же базисе. считая. что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе. 1648.
Найти матрицу линейного преобразования ср*, сопряженного преобразованию ср в ортонормированном базисе е,, ем ез. если ф переводит векторы ас=(0, О. 1). аз=(0, 1. 1). аз — — (1, 1. 1) в векторы Ь,=(1, 2, 1). Ьз=(3, 1, 2), Ьз=(7, — 1, 4) соответственно. где координаты всех векторов даны в базисе еи ем ез.
1б44. Пусть кОу — прямоугольная система координат на плоскости и ср — проектирование плоскости на ось Ох параллельно биссектрисе первой и третьей четверти. Найти сопряженное преобразование ср', отдал пд внктояныи пвостпаиствл 11из-1зйФ 1645в. ПУсть И„= Ь,+т.з — Разложение евклидова (или УнитаР- ного) пространства в прямую сумму двух подпространств„ 'ф — проектирование Я„ на А, параллельно ьз; ал и т. — ортогональные дополнения соответственно для А, и Ц; ф' — преобразование, сопряженное с гр. Доказать, что )сч = Ь~ +а.3 и что ф* является проектированием Ю» на Ьа параллельно Ь~.
1546. Доказать, что если подпространство 5 унитарного (или евклидова) пространства инвариантно относительно линейного преобразования ф, то ортогональное дополнение А* инвариантно относительно сопряженного преобразования ф". 1547в. Доказать. что линейное преобразование ф унитарного пространства )с„ имеет инвариантное подпространство любого числа измерений от нуля до а. 1548в. Доказать. что для любого линейного преобразования <р унитарного пространства существует ортонормированный базис, в котором матрица этого преобразования имеет треугольную форму (теорема Шура). 1649.
Написать уравнение плоскости, инвариантной относительно линейного преобразования ф, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей 1550. Доказать, что если один и тот же вектор х является собственным лля линейного преобразования <р со значением Х, и для сопряженного преобразования ф* со значением Хм то Х,=Х~. 1661. Доказать, что если линейное преобразование ф унитарного пространства Я„ имеет собственные значения Х,, Х~...., Х„.
то собственными значениями сопряженного преобразования ф* будут сопряженные числа Х,, )ч, ° ~л. 15Б2. Доказать, что соответствующие друг другу коэффициенты минимальных многочленов сопряженных между собой линейных преобразований сопряжены друг другу. 1663в. Пусть линейное преобразование <р унитарного (или евклидова) пространства в базисе ен ..., е„имеет матрицу А. а сопряженное преобразование гр* во взаимном базисе (см. задачу 1417) ,Уп .
.. „У„ — матрицу В. Доказать, что В = А' в унитарном пространстве и В = А' в евклидовом пространстве. 1664в. Пусть скалярное произведение (х, у) в некотором базисе залано билинейной формой )' с матрицей У (иными словами. матрицами является матрицей Грана векторов базиса). Показать, что матрица А !ЕЕ — 1532! % 19. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ 2ОЗ линейного преобразования «р и матрица Л, сопряженного преобразования гр" в данном базисе связаны так1 а) А, = ~У 'А СУ для евклидова пространства; б) А1 = У 'А (У для унитарного пространства. Пусть в некотором базисе скалярное произведение задано билинейной формой г", а линейное преобразование гр — матрицей Л.
Найти матрицу А, сопряженного преобразования 1р" в том же базисе: 1555.,У = х,у, + бхзуз+ бхзуз + 2х,уа+ 2хау, + Зхауа+ Зхауз; А= 2 Π— 1 1556. г = 2х,у, + Зхзуз+ хзуа+ 2х1уз+ 2хву, + хгуз+ хзу1 + + Х2УЗ + ХЗУ2 А= — 1 — 3 1 Пусть У вЂ” матрица Грана некоторого базиса и А — матрица линейного преобразования д. Найти матрицу А, сопряженного преобразования гр' в том же базисе: У= 1 1 — 1; А=- 2 О 3 ()= — 1 2 — 1; А= 2 — 3 1 1559.
Пусть гр — линейное преобразование унитарного или евклидова пространства. Доказать, что (еч)'= ее'. (Определение функции от линейного преобразования дано в задаче 1464.) 1560. Доказать, что произведение двух ортогональных (соответственно унитарных) преобразований само ортогонально (унитарно). 156!.
Доказать, что если линейное преобразование 1р унитарного (или евклидова) пространства сохраняет длины всех векторов. то оно унитарно (соответственно ортогонально). 1562е. Пусть в унитарном (или евклидовом) пространстве задано некоторое преобразование 1р, в силу которого каждому вектору х соответствует единственный вектор 1рх.
Доказать, что если преобразование гр сохраняет скалярное произведение, т. е. (1рх 1ру) = (х у) отдел щ. вектогные пиостилнствл 11563 — 1БЮ для любых векторов х, у пространства, то ~р будет линейным и, значит, унитарным (соответственно ортогональным) преобразованием. Показать на примерах, что сохранения скалярных квадратов всех векторов не достаточно лля линейности <р. 1563. Пусть скалярное умножение векторов пространства Я„ задано матрицей Грама (/ векторов некоторого базиса. Найти условие, необходимое и достаточное лля того, чтобы линейное преобра зование гр, заданное в том же базисе матрицей А, было; а) ортогональным преобразованием евклилова пространства, б) унитарным преобразованием унитарного пространства. 1564.
Доказать, что если два вектора х. у евклидова (или унитарного) пространства имеют одинаковую длину. то существует ортогональное (соответственно. унитарное) преобразование ~р, переволящее х в у. 1565. Доказать, что если лве пары векторов х,, хз и ун уз евклидова (или унитарного) пространства обладают свойствами )х,~=~у,), ~хз)=)уз( и угол между х, и ха равен углу между у, и ум то сугцествует ортогональное (соответственно унитарное) преобразование <р такое. что <рх,=ун архе= — ух 1566з, Пусть ланы лве системы векторов хп ..., х„и уп ..., уь евклилова (или унитарного) пространства. Йоказать утвержление: лля того чтобы существовало ортогональное (соответственно унитарное) преобразование ~р такое.
что ~рхг =у; (1= 1, 2, ..., л), необходимо и лостаточно, чтобы матрицы Грама обеих систем векторов совпадали: ( (х. ху) ) = ( (у ° у ) ) ° 1567ч. Пусть <р — унитарное (или ортогональное) преобразование унитарного (соответственно евклилова) пространства Ю„. Доказать. что ортогональное дополнение А* к линейному подпространству Ь, инвариантному относительно <р, также инвариантно относительно ~р. 1566. Доказать, что лва перестановочных унитарных преобразования унитарно~о пространства облалают общим ортонормированным базисом собственных векторов. 1569з.
Доказать. что для унитарного преобразования ~р унитарного пространства: а) собственные значения по модулю равны единице (и, значит, характеристические числа унитарной, в частности вещественной ортогональной, матрицы по молулю равны единице); б) собственные векторы, приналлежащие двум различным собственным значениям, ортогональны; в) если в некотором базисе матрица А преобразования гр вещественна и собственный вектор, принадлежащий комплексному собственному значению а+ф (6чьО). представлен в виде х+у1, гле 1570 — 15721 % иь линейные пгнонилзовлння пяоствлнств 205 векторы х и у имеют вещественные координаты, то х и у ортогональны и имеют одинаковую ллину, причем: грх = ах — ру; (ру = рх+ ауд (1) г) ортогональное преобразование евклидова пространства всегда обладает одномерным или лвумерным инвариантным подпространством.
1670*. Доказать, что: а) для любого унитарного преобразования <р унитарного пространства Р„ существует ортонормнрованный базис, состоящий из собственных векторов преобразования ~р. В этом базисе матрица ~у является диагональной с диагональными элементами, равными по модулю ели нице. Какое свойство унитарных матриц отсюда вытекает7 б) для любого ортогонального преобразования <р евклидова пространства Ю„существует ортонормированный базис, в котором матрица ~р имеет канонический вил.
где на главной диагонали стоят клетки второго порядка вида с сову — з1пу (у+ 7гп) з1пу сову Для ортогонального преобразования ~, заданного в ортонормированном базисе матрицей А, найти ортонормированный базис, в котором матрица В этого преобразования имеет канонический внд, указанный в задаче 1570. Найти этот канонический вид. (Искомый базис определен не однозначно.) 11 3 2 3 2 3 1671. 1 3 2 3 2 3 1 3 1 — — ф 2 2 — ~/2 1 2 1 2 — л. Рг2 и клетки первого порядка вида (+ 1). Клетки какого-нибуль из этих типов могут отсутствовать.
Все остальные элементы равны нулю. Каков геометрический смысл преобразованияу Какое свойство вещественных ортогональных матриц отсюда вытекает7 !1373 — 1379 ОТДЕЛ 1Ч. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1673. з~ 1 3 Найти канонический вид В ортогональной матрицы А н ортогональнуюматрицу Я такую, что В=Я 'АЯ: 2 3 1 3 1574. 2 3 3 2 3 2 3 1 3 — — у 6 4 — '~'6 1 2- 1576. 1 ! 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1577. 1576. 1 ! 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ! 2 2 1578. Для данной унитарной матрицы (4+ 31 4! — б — 2! 1 А = — — 4! 4 — 3! — 2 — 61 о~ 6+ 2! — 2 — 6! 1 .найти диагональную матрицу В н уннтарнув матрицу Я такие.
что В=Я 'АЯ. 1579. Доказать, что линейная комбинация самосопряженных пре.образований с вещественными коэффициентами (в частности. сумма двух самосопряженных преобразований) есть самосопряженное преобразование. —,'л — !/ 2 2 3 3 4 1 4 — 'у" б 1 4 3 1 1 4 21 3 1 3 1 г-1 — гг 2 1 2 3 !630 !З901 % 19, линейные пРеОБРАВОВАния пРОстРАнстВ 207 1580. Доказать. что произведение фф двух самосопряженных преобразований ф и ф тогда и только тогда будет самосопряженным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
