И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ел к базису ,~», ..., Ул (см. введение к 4 16), А, и В, — матрицы преобразования »р в первом н втором базисе соответственно. Тогда имеет место соотношение и =т 'Ат. (2) Координаты уь ..., ул образа»рх вектора х при линейном преобразовании»р выражаются через координаты хь ..., хл прообраза х в том же базисе прн помощи матрицы Ач — — (аб)л» линейного преобразования и в том же базисе л следующим образом: у» = ~ч»', анхр (1 = 1, ..., л) или в матричной записи: р=! х, У» (3) Ул Суммой»р+ф, произведением»рф двух линейных преобразований»р н ф и произведением от» числа а на линейное преобразование »р пространства Ррл. называются преобразованиц определяемые соответственно равенствами: (»р+ф) х = рх+»)х, (»рф) х = »р (фх), (а»р) х = а (»рх), для любого вектора х пространства»тл.
1434. Докааать, что поворот плоскости на угол а вокруг начала координат является линейным преобразованием. и найти матрицу этого преобразования в любом ортонормированном базисе, если половрительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота, переводящего первый базисный вектор во второй.. 14йб. Доказать, что поворот трехмерного пространства на угол 2и — вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе коорлинат урав- 3 нениями х,=хт — — хэ, является линейным преобразованием, и найти матрицу этого преобрааования в бааисе иа единичных векторов ен еэ.
еэ осей координат, отдел щ. всктогныв пгостялнствл [14%-1446 1436. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную ось вектора е, параллельно координатной плоскости векторов пз и ез является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе вп пз. ез. 1437. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость векторов пп пз параллельно осн координат вектора пз является линейным преобразованием.
и найти его матрицу в базисе ен вз, ез. 1438. Доказать, что ортогональное проектирование трехмерного пространства на ось, образующую равные углы с осями прямоугольной системы координат, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе едпнлчных векторов координатных осей. 1439. Пусть пространство )с„есть прямая сумма линейных подпространств Е,, с базисом ан ..., аа и а.з с базисом аа„п ..., а„. Доказать. что проектирование пространства на А, параллельно Ез является линейным преобразованием, и найти матрицу этого преобразования в базисе ап ..., а„.
1440. Доказазь, что существует единственное линейное преобразование пространства )с„, переводящее данные линейно независимые векторы ап ..., а„в данные векторы Ьп .... Ь„. Как найти матрицу этого преобразования в базисе ан .... а,г Выяснить, какие из следующих преобразований ф, заданных путем задания координат вектора фх как функций координат вектора х, являются линейными, и в случае линейности найти их матрицы в том .же базисе, в котором заданы координаты векторов х и <рх. 1441. фх=(х +хз, 2х,+хз, Зх,— ха+ха).
1442. гух=(хн ха+1. хз+2). 1443. <ух=(2«,+хз, х,+.хз. хзз). 1444. фх=(х,— «, +хз, хз, хз). 1445. а,=(2, 3, 5), Ь,=(1, 1, 1), аз=(0, 1, 2). Ьз=(1. 1, — 1), пз=(1 0 0)' Ьз=(2 1 2). Ь,=(1, 2, — 1), Ьз=(4, 5, — 2), Ьз (1' 1 ~ 1)' 1446. а,=(2. О, 3), аз=(4..1. 5), аз=(3, 1. 2); Доказать, что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства, переводящее векторы ап аз.
аз соответственно в Ьп Ьз, Ьз, и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов: 1447 — 14521 $1з. Линенные пРГОЕРАЭОВАния пРОстРАНств 189 1447. Пусть линейное преобразование ф пространства )с„переводит линейно независимые векторы ап ..., а„в векторы Ь,, ..., Ь„ соответственно. Доказать, что матрицу А, этого преобразования в некотором базисе пп ..., е„можно найти из равенства А =ВА Ф где столбцы матриц А и В состоят нз координат векторов ап ..., а„ и соответственно ЬР ..., Ь, в базисе сп ..., е„.
1448. Доказать, что преобразование трехмерного пространства фх= (х. а) а, где а =(1, 2, 3), является линейным преобразованием, и найти его матрицы в ортонормированном базисе пн ем ем в котором даны координаты всех векторов, и в базисе Ь, =(1, О, 1), Ьз=(2, О, — 1), Ьз=(1, 1, О). 1449. Показать, что умножения квадратных матриц второго по/п Ь\ рядка а) слева, б) справа иа данную матрицу ~ ( являются линей1с Н/ ными преобразованиями пространства всех матриц второго порядка, и найти матрицы этих преобразований в базисе, состоящем ив матриц: О О' 1 О' О О' О 1' 1430.
Показать. что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех мпогочленов степени ( и от одного неизвестного с вещественными коэффициентами. Найти матрицу этого преобразования в базисе: а) 1. х, хз, ..., х"; (х — с)4 (х — с)" б) 1, х — с, 2! ' ' ' '' л1 , ..., —, где с — вещественное число. 1461. Как изменится матрица линейного преобразования. если ~ бависе ен ем ..., е„ поменять местами два вектора ЕР с)? 1432.
Линейное преобразование ф в базисе ен см ез, с имеет затрицу 1 2 О 1 3 Π— 1 2 2 б 3 1 1 2 1 3 Найти матрицу этого же преобразования в базисе! а) ип ез, еж е4 б) ии и,+из. е,+из+па, е,+из+из+е,. ПРОСТРАНСТВА [!483 — 1488 в базисе ен ем из имеет ма- 190 отдал па внктогнын 1458. Линейное преобразование <р грину 20 — 15 8 Найти его матрицу в базисе У,=2Е,+Зва-+иэ, Дз=Зе,-[-4и,+на.
Уэ=е,+2и,+2еа. И54. Линейное преобразование ~р в базисе а, =- (8, — 6, 7), аа = ( — 16, 7, — 13), а, = (9, — 3, 7) имеет матрицу — 1 — 22 15 Найти его матрицу в базисе Ь1=(1 — 2. 1). Ьт=(3 — 1 2) Ьз=(2 1 2). 145Б. Доказать, что матрицы одного и того же линейного преобразования в двух базисах тогда и только тогда совпадают, когда матрица перехода от одного из этих базисов к другому перестановочна с матрицей этого линейного преобразования в одном из данных базисов.
1456. Доказать, что любое линейное преобразование га одномерного пространства сводится к умножению всех векторов на одно н то же число, т. е. грх=ах для любого вектора х. 14Б7. Пусть преобразование ~р в базисе а, = (1, 2), аз †(2, 3) /3 5! имеет матрицу [ ~. Преобразование ф в базисе Ь,=(3, 1), ~4 31' г'4 6'! Ья=(4, 2) имеет матрицу ~ !,6 97' Найти матрицу преобразования <р+ф в базисе Ь,, Ьм 14Б8. Преобразование <р в базисе а, =( — 3, 7), аз=(1, — 2) /2 — 1! имеет матрицу [ ~, а преобразование ф в базисе Ь,=(6, — 7), [,5 — 3,[' )'! 3! Ьа=( — 5, 6) имеет матрицу ~ Ь 7/ Найти матрицу преобразования йяр в том базисе, в котором даны координаты всех векторов..
191 1469 — 14631 1 1з. линейные пРеОБРАВОВАниЯ пРОстРАнстВ 1459. Пусть ф — линейное преобразование пространства' многочленов степени ~( и с вещественными коэффициентами, переводящее каждый многочлен в его производную. Показать, что ф"+'=О. 1460. Пусть ф — линейное преобразование дифференцирования, а ф — умножение на х в бесконечномерном пространстве всех иного- членов от х с вещественными коэффициентами. Доказать, что фф — ф ф=иф 1461. Показать, что линейные преобразования л-мерного пространства относительно сложения н умножения на число сами образуют векторное пространство.
Найти размерность этого пространства. 1462. Линейное преобразование ф пространства )с„ называется неварожденнылг, если его матрица АР в каком-нибудь (а значит и в любом) базисе невыролщенна, т. е. )А (+О. Доказать, что этому определению эквивалентно каждое из следующих: линейное преобразование ф невырожденно, если: а) из фх=О следует х=О; б) прн отображении ф любой базис пространства переходит снова в базис; в) отображение ф взаимно однозначно, т. е. если х, +хм то фх, Ф фхз, г) ф отображает пространство на все пространство, т. е.
для любого у~)1„найдется х~)1„такой. что фх=у; д) ф обладает обратным преобразованием ф, т. е. ф(фх)=х для любого х~!с„. 1463. Пусть х — собственный вектор линейного преобразования ф, принадлежащий собственному значению )., и у(1) — многочлен. Доказать, что тот же вектор х будет собственным вектором преобразования )'(ф).
принадлежащим собственному значению Г" (Х). Иными словами, доказать. что из фх=-Хх следует Г(ф)х=у(1)х. 1464Р. Пусть х — собственный вектор линейного преобразования ф, принадлежащий собственному значению Х, и !'(1) — функция, для которой преобразование /(ф) имеет смысл (если ф в некотором базисе имеет матрицу А, то У'(ф) определяется в том же базисе матрицей !'(А), причем можно доказать, что У'(ф) не зависит от выбора базиса). Докавать, что тот же вектор х будет собственным вектором преобразования у(ф), принадлежащим собственному значению г" (3). Найти собственнь1е значения и собственные векторы линейных преобразований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
