И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Какие теоремы вытекают отсюда для трех- мерного и четырехмерного прострю>ству 1345. Описать все случаи взаимного расположения двух плоско- стей х=ао+аА+аА и х=Ь +Ь>г>+Ь|з в и-мерном про- странстве и указать необходимые и достаточные условия для каждого из зтих случаев. 1346. Пусть ао ап....а„ ! г4 ввктовныв пвоствлнствл 11347 1ЗБΠ— любые к+1 векторов пространства ег„. Доказать.
что все векторы вида х=а а„+а,а,+... +а ав. (2) где числа а, аи ... ав удовлетворяют условию +а,+... + (3) образуют линейное многообразие Р. размерность которого равна рангу системы векторов а,— ав,, . а„— а,. (4) Р есть многообразие наименьшей размерности, содержащее все векторы (1).
Роль ар может играть любой из этих векторов. Обратно, для любого к-мерного линейного многообразия Р существует система й-+! векторов (1) такая, что Р состоит из всех векторов вида (2) при условии (3). причем система векторов (4) линейно независима. 1347е. Отрезком с концами в точких, эидиннах векторами ан ат пространство И„, называется совокупность всех точек, заданных векторами вида х=а,а,+-агаг. где а,+ив=! и 0«(а,«(1, О <аг (1. Множество М точек пространства )с„называется выпуклым, если для любых двух точек из М весь отрезок с концами в этих точках содержится в М. Показать. что пересечение любой системы выпуклых множеств пространства егв есть выпуклое множество.
Выпуклым вимыкинием данного мнолсестви А иэ Я„называется пересечение всех выпуклых множеств из ег„, содержащих А. Доказать, что выпуклое замыкание конечной системы точек пространства 1с„. заданных векторами ав ам ..., а„, состоит из всех точек, ааданных векторами вида х=а а|+агав+... +агав. где ~-а~ — — 1 и 0 «( аг «( 1 (! = 1, 2, ..., к).
г1 !348в. Найти форму тела. полученного в сечении четырехмерного параллелепипеда (в случае прямоугольной декартовой системы координат — четырехмерного куба) ~хг~ «( ! (1 = 1, 2. 3, 4) трехмерной гиперплоскостью с уравнением х, +хг+хз+-х„ = О. 1349в. Найти проекцию четырехмерного тетраэдра, ограниченного координатными трехмерными подпространствами и гиперплоскостью х, +хе+ха+хе = 1. на надпространство х, +ха+-ха+ х = О параллельно прямой х, = хг= хз= х„. 1360'".
Доказать, что диагональ и-мерного параллелепипеда делится на и равных частей точками пересечения ее с (и†1)-мерными линейными многообразиями. проведенными через все вершины параллелепипеда параллельно линейному многообразию. проведенному через концы всех и ребер, начало которых совпадает с одним из концов данной диагонали. 13ЬЦ 4 и. ввдлидовы и тиитаииые ппостваиствл 175 ф 17. Бвклндовы н унитарные пространства Евклидовмм (соответственно унитарным) пространством Ял называется и-мериое векторное пространство над полем вещественных (соответственно комплексных) чисед в котором каждой паре векторов х, у поставлено в соответствие вещественное (соответственно комплексное) число (х, у), называемое скалярным произведением зтих векторов, причем выполнены условия: а) в случае евклидова пространства: ( «)=(у х)' (х,+хь у)=(хь у)+(хь у); (ох, у) =н(х, у); для любого вещественного числа а. Если хфо, то.
(х, х) >О; (4) б) в случае унитарного пространства: (х, у)=(у, х); (х +хь у) =(х, у)+(х. у), (1') (2') что совпадает с (2) (3') (ах, у) = а (х, у) для любого комплексного числа а. Если х+О, то (х, х) >О 1361. Доказать, что из свойств скалярного произведения, указанных во введении, вытекают следующие свойства: а) (х у»+уз) = (х у»)+(х уз) для любых векторов евклидова (или унитарного) прострайства; б) (», ау)=а(х, у) для любых векторов х, у евклидова пространства и любого вещественного числа а; в) (х, ау)=а(х, у) для любых векторов х, у унитарного пространства и любого комплессиого числа а; г) (х, — хз, у)=(х,, у) — (х,, у); д) (х, 0) = О.
(4') что совпадает с (4). Базис (или вообще система векторов) еь е„..., е„наамвается оре»онормироваиимм, если (1, если»'=у, Если нет других указаний, то координаты всех векторов предполагаются взятыми в ортонормированном базисе. Векторы х и у называются ортогональными, если (х, у) =О. Процессом ортогонализации системы векторов аь ав, ..., а называется переход от втой системы к новой системе Ьь Ьь ..., Ьв, построенной следую- а-1 щим образом: Ь, = ай Ьв = ал — ~ч ', г»Ь» (д = 2, 3, ..., в), где с» = (аа, Ь») (1 =1, 2,..., А — 1), если Ь»т"=О, и с» — любое число,.
если Ь»=О. Значение с» получается умножением равенства, выра»кзющего Ьа через аа и Ь»(» = 1, 2, ..., А — 1), на Ь» при условии, что (Ь»„Ь») =О. отпил пд вектовные пгоствднствА 11352 — 1356 1362. Какими свойствами должна обладать билинейная форма ь агХхгУХ длЯ того, чтобы ее значение от' кооРдинат двУх любых 1 Х 1 векторов 176 х=(хн хз ' хл) у=(у| уз у~) евклидова пространства тогда и только тогда выражается равенством (х, у) = хд~, + х,уз+... + «луп когда базис.
в котором взяты координаты, является ортонормированным. 1366. Пусть Х., и Х.з — линейные подпространства евклидова (илн унитарного) пространства ХХ„. причем размерность Х,, меньше размерности Хч; доказать. что в Х,з найдется ненулевой вектор, ортогональный ко всем векторам из Х, !366. Доказать. что любая система попарно ортогональных ненулевых векторов (й частности, любая ортонормированная система) линейно независима.
вещественного векторного пространства 1с„в некотором базисе ем ем ..., е„можно было принять за скалярное произведение этих векторов, определяющее «-мерное евклндово пространствог Чему рав- ны скалярные произведения векторов выбранного базисаг 1363. Пусть дана эрмитова билинейная форма ьг = ~~'.~~ аг х у . ну 1 Черта над неизвестным уХ означает, что при замене уХ его число- вым значением а1 следует у1 заменять комплексно сопряженным зна- чением аХ. Пусть матрица А=(а~ )~ втой формы — эрмитова. т. е.
а;~ — — айаг(с, Х= 1, 2, ..., «). Показать, что значения соответствуюл щей зРмитовой квадРатичной фоРиы Х' = ~~'., агХхгх пРи любых ьг 1 комплексных значениях х,, х, ..., х„вещественны. и если форма Х по- ложительно определенна, т. е. Х ) О при любых комплексных значе- ниях хн хм .... х, не все из которых равны нулю, то задание скал парного произведения равенством (х, у) = ~~'.~ а,Гх,у~. где ло ..., хл ь х-~ и у,, ..., у„— координаты соответственно векторов х и у в не- котором базисе е,, ..., е„ комплексного векторного пространства Хс„, превращает зто пространство в унитарное, причем любое унитарное пространство можно получить таким путем.
1364. Доказать, что скалярное произведение двух любых векторов: =(х,. х .. х„), 1357 — !36б) % гх ввклидовы и унитлвные пвоствлнствл 177 Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов: 1367. (1. — 2. 2, — 3), 1368. (1, 1, 1. 2), (2, — 3, 2. 4). (1, 2, 3, — 3).
Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до ортонормированных базисов: Применяя процесс ортогонализации (см. введение), построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов: 1361. (1, 2, 2. — 1), 1362. (1, 1, — 1, — 2), (1, .1. — б, 3). (б, 8.
— 2, — 3). (3. 2, 8, — 7). (3, 9, 3. 8). 1363. (2, 1, 3. — 1). (7, 4, 3, — 3), (1, 1. — 6, О), (5, 7, 7, 8). 1364. Ортогональным дополнением надпространства Х. пространства ХХ„называется совокупность Х.' всех векторов из Д„, каждый из которых ортогонален ко всем векторам из Х.. Доказать, что: а) Х.' является линейным подпространством пространства )О„ б) сумма размерностей Х. и Х,* равна п; в) пространство 17„есть прямая сумма подпространств Х. и Х;. 1366.
Доказать, что ортогональное дополнение к линейному подпространству пространства 1с„ обладает свойствами: а) (Х. ) = Хи б) 13л+ Ха) = Ха П Хг; в) (Хг П Ха) = Хч+ Х г, г) Ю„=О, О =й„. Здесь Π— нулевое надпространство, содержащее лишь нулевой вектор О. !366. Найти базис ортогонального дополнения Х.а подпространства Х., натянутого на векторы: а, =(1, О.
2, 1), а, = (2, 1, 2. 3), аз ††(О, 1. — 2, 1), Отдел гч. ВектОРные пРОстРАнстВА 11367 — 137$ 1367. Линейное подпространство Х, задано уравнениями: 2х,+ ха+Зхэ — хе=О, Зх, + 2хг — 2х„= О, Зхг+- хг+9хз х4=0. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение Х.е. 1368.
Показать, что задание линейного подпространства Х. пространства ХХ„ и его ортогонального дополнения Х.е в ортонормированном базисе связаны так: коэффициенты линейно независимой системы линейных уравйений, задающей одно из этих подпространств, служат координатами векторов базиса другого подпространства. 1389. Пусть Х. — линейное подпространство пространства ХХ„. Доказать, что любой вектор х иэ ХХ„ однозыачно представляется в виде х=у+х, где у принадлежит Х. и х ортогонален к Х.. у называется ортогональной проекцией вектора х на подпространство Х„ в х ортогональной составляющей х относительно Х,. Указать прием для вычисления у и з.
Найти ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую х вектора х на линейное подпространство Х.: !370. х=(4, — 1, — 3, 4). Х. натянуто на векторы а, =(1, 1, 1. 1), а = (1„ 2. 2, — 1), аз в (1, О, О, 3). 1371. х=(б, 2, — 2, 2). Х, натянуто на векторы а, = (2, 1, 1, — 1), аз = (1, 1, 3, 0). аз = (1, 2. 8, 1). !372. х=(7, — 4, — 1, 2). Х. задано системой уравнений: 2х,+ ха+ хз+ЗХА=О Зх,+2хз+2хз+ хе=О, х1+2хз+-2хэ 9ХА= О. 1373е.
Расстоянием от точки, заданной вектором х„до линейного многообразия Р = Х.+хо называется минимум расстояний от данной точки до точек многообразия, т. е. минимум длин векторов х — а. где и — вектор Р. Доказать, что это расстояние равно длине ортогональной составляющей х вектора х — хе относительно линейного подпространства Х,. параллельным сдвигом которого получается многообразие Р.
1374. Найти расстояние от точки, заданной вектором х, до линейного многообразия, заданного системой уравнениИ: а) х=(4, 2, — 5, 1); б) х=(2, 4. — 4, 2); 2х,— 2хз+ хз+2х =9, х, +2х +х — х„=1, 2х1 — 4хг+ 2хз+ ЗХ4 = 12. хг + Зх + хз — ЗХ4 —— 2. 1376е. Доказать, что расстояние гХ от точки, заданной вектором х, до линейного мгюгообразия Р=Х.+х, где Х.— линейное !зте — 1зйо1 4 п. ввклидовы н тнитл ныв ппоствднствл 179 надпространство с базой а,. ат, .... а„, вычисляется с помошью определителя Грана (см. вадачу 1415) по формуле 0(аь, аь ..., аь х — х,) 0(аь, аь ..., аь) 1376'".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
