И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 23
Текст из файла (страница 23)
квадратичных форм: 1176. х~+ хт+ Зхээ+ 4х,хт+ 2х,хэ+ 2хяхэ. 1!76. хэ — 2хэ+хээ+2х,х +4х,хэ+ 2х хэ. 1!77. хт — Зхэ т— 2хгхэ+ 2х,хэ — бхэх . ! 178 Х2хэ+ Хгхэ+ Х2Х4+ Х2ХЗ+ Х2Х4+ ХЗХ4. 4) Задачи на билинейные и квадратичные функции даны в и 24. 156 Отдел ие мзтРицы и кВАдРАтичные ФОРмы 1!!79 — 1199 !179. хе+ 2хз+ ха+ 4х,х +4х,хз+ 2х,х + 2хзхз+-2х х,+ +2хзх. Найти нормальный вид н невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду. для следующих квадратичных форм (ввиду неоднозначности искомого линейного преобразования ответ может получиться отличным от приведенного ниже): 1180.
хз+ бхт — 4хзз+ 2х1хз — 4х,хз. 118!. 4хз+. хз+ хз — 4х,хз+ 4х,х — Зхзхз. 1182. х,хз+ хгхз+ хзхз. 1183. 2хз+!8хзз+8хз — 12х,хз+8х,х — 27х.«з. 1184. — 12хз — Зхз — 12хз+12х,х — 24х,х +8х х. 118б. х,хз+ хзхз+ хзхч+ хзхг. !186. Зхз+2хз — хз — 2хз+2х,х — 4х х +2хзх .
Следующие квадратичные формы привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые: 1!87. 2хз+ Зхзз+ 4хз — 2х,х +4х,х — Зх х .
1188. Зхз — 2хзз+2хзз+4х,хз — Зх,хз — х хз. 1189. — хз+ 2хз+- Зхз — х,х + х хз — хзха. Для след.чэщих квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразова:..-, переводящее форму 7 в форму 9 (искомое преобразование определено не одноаначно): 1199,,г = 2хз+ 9х~~+ Зхзт+ 8х,х — 4х,х — 10хзх; 9= 2уз+Зуз+буза 4у,уз — 4у уз+ 8у,уз 1191. ~ = Зхт+ 10хз -+ 25хз — 12х,хз — 18х,х + 40х, х; К = 5УТ+- бУТ~+ 12У,УТ. 1192. 7"=бхз1+бхзз+2хзз+8х,х +бх,хз+бх.тз,' 9=4уз+уз+-9уз — 12у у . Следующие квадратичные формы привести к каноническому виду н найти выражение новых неидвестнык через старые (ответ не однозначен): 1193. ~~.'~ а~а)х~х7.
где не все числа ао аз, ..., а„ равны нулю. Иу 1 И 94 — 1206) $15. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 1194. ~ хз+ ~~.", х,х . 1196». ~~'.~ х,х . 1 1 1</ 1с/ а-1 р 1190 ~~2/ „, 1!9У» ~~)ТЛ( )г гд, л!+л1+-"+ "и 1 1 1 1 1190». Х !/ — Л х1х . 1</ !199». Пусть дана квадратичная форма У =/2!+- а-+ ... +/2 — /2 — 12 2 — ... — /2 где 11, /2...., /р, /рьн Яр+2, ..., /рь — вещественные линейные формы от хн хз... х„. Доказать, что положительный индекс инерции (т. е. число положительных коэффициентов з каноническом виде) формы / не превосходит р. а отрицательный индекс инерции не превосходит д.
1200». Доказать, что если от каждой из двух форм /, й" к другой можно перейти каким-нибудь (необязательно невырожденным) линейным преобразованием, то эти формы эквивалентны. Выяснить. какие из следующих форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел! У1 1 2 3' У2 У!У2 )3 УЗ ! 2+ 3' 1202. / = хз!+4х22+-хзз+ 4хгвз — 2х!хз; ,/з — — 4зз — яз — зз — 4з!Ез+-4я!гз.+ !8ззяз. 1203. Показать.
что все квадратичные формы от л неизвестных можно раабить на классы так. что две формы будут эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат к одному и тому же классу. Найти число этих классов в комплексной и в вещественной областях. 1204. Какими значениями ранга и сигнатуры характеризуются те классы зеп1ественно эквивалентных квадратичных форм, для которых форма / эквивалентна форме †/. 1205. Найти число классов эквивалентности в области вещественных чисел форм от а неизвестных, имеющих заданную сигнатуру з. !206. 'Доказать, что для распадения квадратичной формы в произведение двух линейных форм необходимо и достаточно выполнение условий: а) в области вещественных чисел: ранг не превосходит двух, а при ранге два сигнатура равна нулю, б) в области комплексных чисел: ранг не превосходит двух.
!бй отдел пь ИАтРицы и кВАдРАтичные ФОРл1ы 1!297 — 12!3 1207. Доказать, что квадратичная форма г" тогда и толвко тогда является положительно определенной. Когда ее матрица представляется в виде А =С'С, где С вЂ” невырожденная вещественная матрица и С' — матрица, транспонированная к С. 1208. Пользуясь задачами 913, 951 и 1207, доказать. Что квадратичная форма тогда и только тогда является положительно определенной, когда все ее угловые миноры положительны. Под угловым минором квадратичной формы понимается минор й-го порядка, стоящий в первых в строках и первых л столбцах ее матрицы (л = 1, 2, ..., л; л †поряд матрицы).
1209. Доказать, что в положительно определенной форме все коэффициенты при' квадратах неизвестных положительны и что это условие не является достаточным для положительной определенности формы. !210». Доказать утверждения: а) Для того чтобы квадратичная форма 7' была положительно определенной, необходимо и лостаточно, чтобы все главные — а не только угловые (см.
задачу 1208) — миноры ее матрицы были положительны. б) Для того чтобы квадратичная форма 7 была неотрицательнэ (т. е. У)~0 при любых вещественных значениях неизвестных). необходимо и достаточно. чтобы все главные миноры ее матрицы былм неотрицательны. Показать на примерах. что (в отличие от положительно определенных форм) для неотрицательности 7 не достаточно.
чтобы все угловые миноры были неотрйпательны. в) Для того чтобы вещественная симметрическая матрица А представлялась в виде А=С'С, где С вЂ” вещественная невырожденная матрица. необходимо и достаточно. чтобы все угловые миноры матрицы А были положительны. г) Для того чтобы вещественная симметрическая матрица А представлялась в виде А = С'С, где С вЂ” вещественная квадратная матрица. необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были неотрицательны. Кроме того, если ранг А равен г, то и ранг С равен г, и можно считать первые г строк С линейно независимыми, а остальные — нулевыми.
1211. Доказать, что квадратичная форма 7" тогда и только тогда является отрицательно определенной (т. е. 7" < О при любых вещественных значениях неизвестных, не все из которых равны нулю), когда знаки угловых миноров Р,. Рм ..., Р„ чередуются, причем .Р, < О, Здесь Рь — угловой минор порядка к (й = 1, 2, ..., л). Найти все значения параметра Х, при которых положительно определенны следующие квадратичные формы; 1212. бхз+хт+Ххт+4х,х — 2х,хз — 2х х. 1213.
2хтг+ хгг+ Зхг + 2),х ха+ 2х хз 1214 — !2211 2 !б. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 1214. хт+ хт+ бхбз+ 2Лх!х — 2хгхз+ 4х т . 12!б. х',+4хт+-х2+2Лх,х +10х,ха+ 6х х . 1216. 2хт+ 2х22+ хат+ 2Лхгха+ бх «б+-2хахб. 12!УФ. Дискриминантом /// квадратичной формы /' называется определитель ее матрицы. Доказать, что если к положительно определенной квадратичной форме у'(хг, х2, ..., х„) прибавить квадрат ненулевой линейной формы от тех же неизвестных, то дискриминант формы увеличится; !218Ф. Пусть /(х!.
хт, ..., х„)= ~ а!/х!х/ — положительно !, / ! определеннаяквадратичная формаиго(хт, ха, ..., х„)=/(О. ха,..., х„). Доказать, что для дискриминантов зтих форм выполняется неравенство с//~~анР . 1219". Доказать. что если неотрицательная кчадратичная форма обращается в нуль хотя бы при одном ненулевом наборе вещественных значений неизвестных, то зта форма вырожденна (т. е. ее дискриминант равен нулю). 1226Ф. Назовем комлозинией двух квадратичных форм а!/х,х и е = ~~'.~ Ь!/х,х/ !,/ ! !./ ! и квадратичную форму (У, д) = ~ а!/д!/х!х/.
!, ! 1 Доказать, что: а) если формы / и е' неотрицательны, то и форма (/. а) гюотрицательна; б) если формы / и д положительно определенны, то м форма (~, й) положительно определенна. 1221Ф. Треугольным преобразованием называется линейное преобразование вида у, =х,+с„х,+ ... +-с,„х„. У2 Х2+С23ХЗ+ ' ' ' +С2»Х» У» = хи. Доказать. что: а) треугольное 'преобразование невырожденно и преобразование, обратное для треугольного, снова треугольное; б) угловые миноры 02(А = 1, 2, ..., и) !см. задачу 1208) квадра» тичной формы у = ~! а,/х,х/ при треугольном яреобразованин не !, /-! намекаются.
160 ОТДЕЛ ИЕ МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ !1222 — 1ххй 1222Ф. Локазать, что: а) для того чтобы квадратичную форму ранга г у= ч~,' а,.х,х Ц 1 1 треугольным преобразованием можно было привести к виду У=)ТА-+ " +~,УР где ура чьО (8= 1, 2, .... г). необходимо и достаточно, чтобы РА+О (й ц,г), РА=О (й) г), (2) где РА(я = 1, 2... л) — угловые миноры формы у (см. задачу 1208); б) указанный канонический вид (1) определен однозначно, причем его коэффициенты находятся по формулам Ц= —" (8=1. 2, ..., г; Рр — — 1) (3) Рр-~ (теорема Сильвестера). 1223.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
