И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. преобразований следующих типов: а) перестановка двух строк; б) умножение строки на — 1; в) прибавление к одной строке другой. умноженной на целое число с, и аналогичных преобразований для столбцов. Доказать. что матрицы А и В тогда и только тогда эквивалентны, когда В =РАЯ, где Р и 11 в квадратные целочисленные, унимодулярные матрицы. 943». Прямоугольная целочнслеиная матрица А называется нор.иальной. если ее элементы ап, аэа, ..., аж ПОЛОжитЕЛьНЫ. ан ДЕ- лится на а1 1 1 1 (1= 2, 3, ....
Г), а все остальные элементы равны нулю. Показать, что каждая целочисленная матрица эквивалентна одной и только одной нормальной матрице; иными словами, каждый класс эквивалентных между собой целочисленных матриц содержит нормальную матрицу и притом только одну.
944». Доказать. что каждую неособенную целочисленную матрицу А можно представить в виде А = РРс, где Р†унимодулярная. целочисленная матрица, а Й вЂ” треугольная целочисленная матрица. элементы которой на главной диагонали положительны, ниже главной диагонали равны нулю, а выше главной диагонали — не- отрицательны и меньше элементов главной диагонали того же столбца. причем такое представление единственно.
946». Доказать, что квадратную матрицу А порядка л и ранга г можно представить в виде А = РВ, тле Р— неособенная матрица и Й вЂ треугольн матрица. в которой первые Г элементов главной диагонали равны единице, а все элементы ниже главной диагонали и все элементы последних и†à строк равны нулю. 946. Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной. если все ее элементы, стоящие ниже (соответственно выше) главной диагонали, равны нулю.
Показать, что следующие операции1 % 1х действия с ИАТРицАми 127 947 — 9491 сложение двух матриц„умножение матрицы на число, умножение двух матриц и переход к обратной матрице для неособенной матрицы, примененные к верхним (нижним) треугольным матрицам. приводят снова к верхней (нижней) треугольной матрице. 947. Квадратная матрица называется нильпотентной, если некоторая ее степень равна нулю.
Наименьшее целое положительное число л, для которого А =О. называется показателем нильпотентноети матрицы А. Показать. что треугольная матрица тогда и только тогда ннльпотентна, когда все элементы главной диагонали равны нулю, а показатель нильпотентности треугольной матрицы не превосходит ее порядка. 943. Показать, что обратная матрица В = (Ь~ ) для верхней (нижней) треугольной неособенной матрицы А = (аы) порядка и будет снова верхней (нижней) треугольной матрнцей, причем элементы глав- 1 ной диагонали матрицы В определяются равенствами Ьн — — — (1= 1.
аи 2..... п), а остальные элементы находятся из рекуррентных соотношений: а) для элементов 1-9 строки верхней треугольной матрицы: ь-г — Ч1', бн а«ь Ьт —— 7 ' (й = 1-+ 1, 1+ 2...., и); б) для элементов Л-го столбца нижней треугольной матрицы: 1-1 — ~',ац бть Ьт — — (Х = й .+ 1, й + 2, .... и). Этими формулами удобно пользоваться для вычисления матриц, обратных к треугольным матрицам. 949». Пусть А — квадратная матрица порядка и и ранга г, причем (1.
2...., й е(„=А~,* ' " ~,ьо (9=1, 2...., «). (1) А=ВС (2) где В = (6~1) — нижняя и С = (с~1) — верхняя треугольные матрицы (определение верхней и нижней треугольных матриц дано в задаче 946). Первым г диагональным элементам матриц В и С можно дать любые значения, удовлетворяюшие условиям: аь бььеьь — — — ь, (1=1. 2...., г; И~ —— 1). (3) ~ь-ь' Доказать, что при этих условиях матрицу А можно представить в виде произведения 12е отдел ш. млтеицы н квлдеатнчные еоемы (йай йэ1 Задание первых г диагональных элементов матриц В и С однозначно определяет остальные элементы первых г столбцов матрицы В и первых г строк матрицы С, причем эти элементы задаются формулами: (4) =Ь ла (1,2,...,  — 1,Д) сж=свв аа ((=Ь+1, 9+2, ..., а; 9=1, 2, ..., г).
В случае г (л в последних л — г столбцах матрицы В все элементы можно положить равными нулю, а в последних а — г строках матрицы С элементы считать произвольными нли, наоборот. в последних л — г столбцах матрицы В элементы считать произвольными. а в последних л — г строках матрицы С все элементы положить равными нулю. Произвольные элементы не нарушат равенства (2). Их можно выбрать так. чтобы сохранить треугольный вид матриц В и С. 960. Показать, что представление (2) предыдущей задачи можно найти так: первые г элементов на главной диагонали матриц В и С выбрать любыми.
удовлетворяющими условиям (3), а остальные элементы первых г столбцов В н первых г строк С вычислить с помощью рекуррентных соотношений: в-1 агв — ~ ббсуа Ьп,— — ", (1=9+1, 9+2, ..., а; 9=1, 2, ..., г); саа с-с агв — ~~,' бс1с1а сгв —— . (9=1+1,1+2, ..., л; 1=1, 2, ..., г). Эти формулы позволяют найти сначала первый столбец В и первую строку С, затем, вообще зная л — 1 столбцов В и й — 1 строк С, найти Ф-й столбец В и л-ю строку С.
991в. Доказать, что любую симметрическую матрицу А =(аЫ) порядка а и ранга г, удовлетворяющую условиям (1) задачи 949, можно представить в виде А=ВВ', где  — нижняя треугольная матрица, элементы последних л' — г столбцов которой равны нулю. а элементы первых г столбцов определяются формуламн: Ьсв — — ' ' " ' (1=9, /г+1, ..., а; 9=1, 2, ..., «). (1,2,...,в — 1,б) Ф"4 лз:~ 952 — 9$61 % ЕЕ ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ 129 с Сдь — — ~л'~ АВВуь (1=1, 2, ....
а; й=1, 2, ..., и). /-1 Применяя указанное правило умножения клеточных матриц, найти клетки произведения следующих матриц при указанном подразделении на клетки для сомножителей: 3 — 1 2 . В= д д) 963. Показать, что для выполнимости умножения двух клеточных квадратных матрмц достаточно (но. как показывает пример предыдущей задачи, не необходимо).
чтобы диагональные клетки были квадратными, причем порядки соответствующих диагональных клеток были равны между собой. 9б4в. Показать, что для выполнимости клеточного умножения клеточной матрицы на себя необходимо и достаточно, чтобы все ее диагональные клетки были квадратными. 9бб. Квадратная клеточная матрица А =(А,;) называется клемочно-треугольной, если все ее клетки на главгюй диагонали. т.
е. Ац, А22, ... квадратные, а все клетки, стоящие по одну сторону зт главной диагонали, равны нулю. Показать, что если А и  — две <леточно-треугольные матрицы с одинаковыми порядками соответстаующих диагональных клеток и нулями по одну сторону от диагонали, го нх произведение АВ также будет клеточно-треугольной матрицей такими же порядками диагональных клеток и нулями по ту же :торону от диагонали.
9бб. Показать, что клеточно-треугольная матрица тогда и только ~осла нильпотентна, когда ннльпотентны все ее клетки на главной гиагонали (определение нильпотентности дано в задаче 947). 992. Матрица А называется клавочкой (или блочной), если ее элементы одной или несколькими горизонтальными и вертикальными линиями распределены по прямоугольным клеткам (блокам).
Эти клетки бУдем обозначать чеРез Абь где 1 — номеР клеточной стРоки и У— номер клеточного столбца. Показать, что умножение двух клеточных матриц тогда и только тогда сводится к умножению клеток, рассматриваемых как отдельные элементы, когда вертикальное деление первой матрицы соответствует горизонтальному делению второй. Именно, если А=(А, ) — (гв, и)-матрица с делением строк иа группы по глд, юла, ..., т, и столбцов по ии па, ..., и, и В=(В,.) — (и, р)-матрица с делением строк на группы по л,, л2, ..., а, и столбцов по р,, ра, ..., р„, то АВ=С=(СВ) будет также клеточной матрицей, причем 130 Отдел ен. ИАтРицы и квлдРАтичиые ФОРмы 1957 — 901 997.
Пусть А=1А17) — клеточная матрица, нричем А1 — клетка размеров л11Ха7 (1=1, 2, ..., а, у=1, 2, .... 1). Показать, что прибавление к 1-й клеточной строке у-й строки„умноженной слева на прямоугольную матрицу Х размеров л11Хгл, может быть получено путем умножения А слева на неособенную, квадратную клеточную матрицу Р. Точно так же прибавление к Рму клеточному столбцу у-го столбца. умноженного справа на прямоугольную матрицу У раамеров и )1.ло может быть получено путем умножения А справа на неособенную квадратную клеточную матрицу Я. Найти вид матриц В и Я. 1'А В1 968Ф.
Пусть Й =~ / — клеточная матрица. где А — неособен- ~С В/ ная квадратная матрица порядка л. Доказать, что ранг Й равен а тогда и только тогда, когда а)=СА 'В. 959». Пусть А — неособенная матрица порялка и, В в матрица размеров и Х д, С вЂ” матрица размеров р )," а. Доказать, что если ( л1 В1 1'А1 В, 1 клеточную матрицу Й= ', / нризести к виду Й1 — — ~ 1 — С 0/ 1,0 Х/ путем ряда элементарных преобразований строк, причем в каждом преобразовании либо участвуют только нервые и строк, либо к какой- нибудь строке с номером, большим и, прибавляется одна из первых и строк, умноженная на число, то Х=СА В.
960. Пусть А — неособенная матрица порядка п и В в единичная матрица того же порядка. Доказать, что если клеточную ма- ( А трицу ~ . / элементарными преобразованиями. указанными в пре(А1 В11 дыдущей задаче, привести к виду ~ /, то Х=А . Найти 2 3 б Этим методом обратную матрицу для А= 1 2 7 3 4 4 961.. Пусть дана система уравнений анх1+а1ахэ+ ... -1-а1„х„=01, ам'х1+аюхз+ ... +аа„х„=би аьчх,+нкахя+ ... +азах„=бл с неособенной мзтрицей коэффициентов А,  — столбец свободных членов и  †единичн матрица порядка и. $12. дейстВия а ИАтРицАми 9Ю вЂ” 9641 А В1 Показать. что если клеточную матрнцу ) преобразова- 1'А, Вг'1 нмями, указанными в задаче 959, привести к виду ~ 9 ), то столбец Х дает решение данной системы уравнений.
Решить этим методом систему: Зх — у+2е= 7.- 4х — Зу+2х= 4, 2х+ у+Зя=1З. 962. Пусть А в неособенная матрица порядка и; В в матрица размеров и Х р, Š— единичная матрица порядка и. Показать, что А В1 если матрицу ( преобразованиями. указаннымя в задаче 959, /А, Вг) привести к виду ~ ), то матрица Х дает решение матричного уравнения АХ = В. Решить этнм методом указанное уравнение, если "-(' 2 =1'::) 963в. Пусть зсе пары (А „О (1=1. 2, ..., т; /=!. 2, ..., и) занумерованы в некотором определенном порядке а,, ат, .... а „. Кроненеровсним (илн прямым) произведением двух квадратных ма- триц А порядка т и В порядка п называется матрица С=А Х В порядка тп, составленная нз всевозможных произведений элементов матриц А и В в надлежащем порядке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
