И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 13
Текст из файла (страница 13)
656. Доказать, что упорядоченная система векторов аи аз,..., аа. отличных от нуля, тогда и только тогда линейно независима, когда ни один нз этих векторов не выражаешься линейно через предыдущие. 666в. Доказать, что если к упорядоченной линейно независимой системе векторов аи аз, ..., аа приписать впереди еще один вектор Ь, то не более чем один вектор полученной системы будет линейно выражаться через предыдущие.
667в. Доказать, что если вектоРы аи аь ..., а, линейно независимы и линейно выражаются через векторы Ь,, Ьж ..., Ь„ то Г~(з. 668в. Базой данной система векаороз называется такая ее подсистема, которая обладает следующими свойствамн: 1) эта подсистема линейно независима; 2) любой вектор всей системы линейно выражается через векторы этой подсистемы. Доказать, что: а) все базы данной системы содержат одинаковое число векторов; а!О.
РАНГ ИАтРицы 4, 3) 2, 1) 1, 6) 9, Л) б) число векторов любой базы является максимальным числом ли- нейно неаавнснмых векторов данной системы; это число называется рангом данной системы; в) если данная система векторов имеет ранг г, то любые г ли- нейно независимых векторов образуют базу втой системы.
659™. Доказать. что любую линейно неаависимую подсистему дан- ной системы векторов можно дополнить до базы этой системы. 660. Две системы векторов называются энвиваленачными, если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы дру- гой системы и обратно. Доказать, что две эквивалентные линейно независимые системы содержат одинаковое число векторов. 661.
Доказать, что если вектоРы ан аз...., аа линейно выРа- жаются через векторы ЬР Ьм.... ЬР то ранг первой системы не более ранга второй. 662. Ланы векторы: а,=(О, 1, О, 2, 0), аз=(7, 4, 1, 8. 3), аз =(О. 3, О, 4. 0), а4 =(1, 9, 5, 7, 1), аз —— (О, 1, О, 5, О). Можно ли подобрать числа с47(1, /=1, 2,..., 5) так, чтобы векторы Ь4 с44и4 + сгзиз+ сьтиз + сии4 + с4зим Ьз = сна, + сзгаз+ сыаз -1- сыа4+ сззаз, Ьз = си а, + сззаз+ сз4аз+ сыа4 + сз4ам Ь, = Сна, + с,заз-+ Счзаз+ С44а4+ Ссчаз. Ь, = си а, + сззиз+ сюаз+ саи4+ сззиз были линейно независимы7 663.
Доказать, что вектор Ь тогда и только тогда линейно вы- ражается через векторы ан аз, .... аа, когда ранг последней си- стемы векторов не изменяется от присоединения к ней вектора Ь. 664в. Доказать, что: 1) две эквивалентные системы векторов имеют один и тот же ранг; 2) теорема„обратная утверждению 1), неверна. Однако справедливо утверждение: 3) если две системы векторов имеют одинаковый ранг и одна ив этих систем линейно выражается через другую, то эти системы эк- вивалентны. Найти все значения Х, при которых вектор Ь линейно выражается через векторы ан аз,..., а4: 666.
а,=(2, 3, 5), и,= (3, 7, 3), аз = (1, — 6, 1), Ь =(7, — 2, Х). 96 ОТДЕЛ Н. СИСТЕМЫ ЛИНЕЯНЫХ УРАВНЕНИИ 667. а, =(З. а,=(6, 8, 7), Ь=(9, 12, 3). 668. а, =(3, 2, 5). аз= (2„ 4, 7), аз= (5, 6, А). ь = (1, з, 5). 669. а,=(З, 2, 6), аз=(7, 3, 9), аз — — (5, 1, 3), ь = ()„2, 5). а,=(4, — 1, 3, — 2), аз=(8, — 2, 6, — 4), аз = (3 — 1, 4, — 2), а4 — — (6, — 2, 8, — 4).
Найти все базы системы векторов: 2, О, 0), 674. 2, 3, 4), 6. О, 0). 678. а,=(!. а,=(1, аз =(3 а, =(1, =(2, а,=(з, а =(4, 2, 3, 4). 3, 4, 5), 4, 5, 6). 5. 6, 7). 2, 3), 3, 4), 2, 3), 3, 4), 1, 1). 1. — 3, 1), 676. 2, — 6, 2), 3, — 9, 3), 1, 1, 1). 675. а, =(2.
а,=(4, аз=(6 а,=(1, а, =(1, аз=(2. аз — — (3, а,=(4, аз = (1. 677. В каком случае система векторов обладает единственной бааой? 678. Сколько баз имеет система л+ ! векторов ранга Ь, содержащая пропорциональные векторы, отличные от нуля? Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не входязцие в данную базу, выразить через векторы базы: 679, а,=(5, 2, — 3, 1), 680. а,=(2, — 1, 3, 5), аз=(4. 1, — 2.
3). аз=(4, — 3, 1, 3), аз=(1 1 1 ° — 2) аз =(3. — 2. 3. 4), а4=(3, 4. — 1. 2). а,=(4, — 1, 15, 17), аз —— (7, — 6, — 7, 0). 676. Пояснить ответы в задачах 665 — 669 с точки арения расположения данных векторов в пространстве. 671. Пользуясь задачей 657, доказать, что более чем и и-мерных векторов всегда линейно зависимы. 672. Найти все максимальные линейно независимые подсистемы системы векторов: 681 — 6Щ 681.
а, =-(1. а2 (2 аз =(2 а =-(5, аз =(3, $ !О. РАНГ МАТРИЦЫ 2, 3, — 4), 3, — 4, 1), — 5, 8, — 3), 26, — 9, — 12), — 4, 1, 2). 682е, Пусть лана система векторов х,, хз..., . хи одного и того же числа намерений. Основной системой линейных соотношений втой системы векторов называется система соотношений вида ~ а,,ха=0 (1=1, 2...., г), 1 1 обладающая такими двумя свойствамн: а) эта система соотношений линейно независима, что означает линейную независимость системы векторов аг (пг.
' а!.2' ''' аь ) (1 1' 2' ''' ' а)' б) любая линейная зависимость векторов х,, хз,..., хи является следствием соотношений дан!ей системы, т. е. если ~ а1х~ — — О, то 1 вектор а=(ап а2, ..., аи) является линейной комбинацией векторов а,. аз... а,. Доказать, что: 1) если х!. хз, ..., х,— база данной системы' векторов и Г хг=~ Л! 1хр 1=г+1, г+2, .... л, то одной из основных 1 систем линейных соотношений данной системы векторов будет система соотношений х! — ~ Л,, х.=О (1=г+1, г+2, ... „и); ! 2) все основные системы линейных соотношений содержат одинаковое число соотношений; 3) если какая-нибудь основная система линейных соотношений содержит з соотношений, то любая система з линейно независимых лмнейных соотношений той же системы векторов также является основной системой линейных соотношений; и 4) если система соотношений ~~.", аг 1х1 —— О (1=1, 2, ..., 2) ! является основной системой линейных соотношений, то система сооти ношений ~ ф1,1х1 — — О (1=1, 2, ..., 2) будет основной системой У-1 линейных соотношений тогда и только тогда, когда, полагая ЯЗ Отдел н.
системы линейных уРАвнений [ЯЕЗ 639 а! — — (и1,! аг„м ..., аь„), 1=1, 2, ° ° г 61=(Р1,!. 111,з " 111,в) 1= 1. 2...., з, будем иметь: в 61=~~'.~у1,!а! (1=1, 2, ..., У), 7 ! где коэффицеепты у! 1 образуют определнтель порядка г„отличный от нуля. Пользуясь умножением матриц, последние у векторных равенств можно записать в виде одного матричного равенства В = СА, где А =(а! 1), „. В =(51,7)а„ и С =(у! )м С вЂ” невырождепная матрица порядка г. Определнв основную систему лвпейных соотпошепий для системы лнкейнык форм аналогично тому. как это было сделано в задаче 682 для системы векторов, найти основную систему лннейпых соотпошенвй для системы линейных форм." 688.,7! —— 5х! — Зха+2хз+4х4, 684. У! =8х!+Уха+-4хз+5«! )а=2«! — Хз+Зхз+5«и,уз — — Зх!+2«з.+ хз+4х, ,Уз = 4х, — Зха — 5хз — Ух4.,уз = 2х, + Зха+ 2хз — Зх4, ~1 —— х!+7хз+ 11хв.
~е — — х! — ха — хз+ 7х1, Уз — — 5хя+ 4хз — 17х . 686. у! = Зх!+.2хз — ха+3«4+4«з, ,Уа= З«1+ ха — 2хз+ Зхв+ 5хз, уз =бх, +Зхз — 2«а+4«4+ Уха. У!= 7х,+4ха — Зхз+2х,+4хз. 686. У! = 2х, — Зхз+ 4хз — 5х„ уа= «1 — 2«а+7«з — 8«! Уз — — Зх! — 4ха-+ хз — 2х, 7 = 4х! — 5х + бх — Ух, .Гз = бх! — Уха — хв. 687. У!=8«г+2«а — 2хз — х +4х, ~з = бх, + 4«а — 4хз — 2«е+ 8хз. Уз —— 7х + 5ха — Зха — 2х + х, У! = 4х! + 4ха — 4хз — З«4+ 5хз, ~з = Зх, + Уха — 5хз — 4«а+. 2хз. 686". Пусть дана снстема лннейпык форм: Уу= ~чР~ ад аха У = 1 ° 2 ° ° ° в) в=! 689-697! $ и.
системы линейных уРАВнении 99 и вторая система линейных форм, линейно зависящих от форм первой системы. <р1=ч'„с„-~, (1=1,2, ..., 1). (2) /1 Доказать, что ранг системы форм (2) не более ранга системы форм (1). Если з=1 и определитель ~с11(, отличен от нуля, то ранги обеих систем линейных форм совпадают. 9 1!. Системы линейных уравнений Исследовать совместность и найти общее решение н одно частное решение системы уравнений: 689. 2х,+7хз+Зхз+. х =б, Зх, + 5хз+ 2хз -+ 2«з = 4, 9х1 + 4 ха+ ха + 7«4 = 2. 690. 2х,— Зхз+ 5хз+ 7«1=1, 4х, — бхз-+ 2хз+ Зх = 2.
2х1 — Зхз — 1 1 хз — ! 5«з — — 1. 691. Зх,+ 4хз+ хз+ 2«1=3. 6 бх,+ 8хз.+2хз+ 5«1= 7, 9х,+!2хз+Зхз-+10« =13. 696. 2х1 + 5хз — Зхз = 8, 4х,+Зхз — 9хз= 9, 2х, + Зхз — 5хз — — 7, х,+8хз — 7хз= 12. 696. 2х, — хз.+ Зхз — 7«4 — — 5, 6Х1 — ЗХз+ Хз — 4«4 = 7, 4х,— 2х + Ихз — 31х = !8. 696. 9х1 — Зхз+бхз+ б«1=4. бх, — 2хз-+ Зхз+ хз = 5, Зх! — х -+ Зхз+ 14«1 = — 8. 697. Зх,+2хз-+2хз+2х,= 2, 2х1+ Зхз+ 2хз+ 5«з = 3, 9х1+ хз+ 4хз — 5«4 —— 1, 2х1+ 2хз+ Зхз+ 4«з = б, 7х1+ хз+бха — «з=7. 92. Зх1 — 5«т+2«з+4«4 —— 2, 7х1 — 4хз+ хз+Зхз=5, бх,+7хз — 4хз — бх =3. Зх, — 2хз+ 5хз+ 4«з = 2, бх1 — 4хз+4хз+Зх = 3, 9х,— бхз+Зхз+2х =4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
