И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2х — у+Зг= 9. 666. 2х — 5у+Зг+ 1=-5, Зх — 5у+ г= — 4, Зх — 7у+- Зг — 1 = — 1, 4х — 7у+ г=б. 5х — 9у+ба+-21= 7, 4х — бу+Зг+ 1=8. 664е. Две системы линейных уравнений с одними и теми же неизвестными (не обязательно с одним и тем же числом уравнений) нааываются эизивалентными, если любое решение первой системы удовлетворяет второй и обратно.
(Любые две системы с одними йщ а 9. системы уРАВнениЙ РешАемые по пРАВилу кРАмеРА 83 ~~'~ сгту? — — г(1, 1= 1, 2, ..., 8, 1 1 (2) удовлетворявшему одной и только одной из следующих трех групп условий: а) сц + О, 1 = 1, 2, ..., и; с,г — — 0 для 1 > / (в частности. коэфлрнцненты при неизвестных во всех уравнениях, следующих за и-и (при г л л), равны нулю), с(1= 0 для 1 = и+ 1. .. з (в этом случае говорят, что система приведена к треугольному виду); б) существует целое число г, 0(г (и — 1, такое, что сп + О, 1= 1, 2, ..., г; с1~ — — 0 при 1> 1) с11 — — О при 1> г и любом г', равном 1, 2, ..., и; п1=0 при 1= г+.1.
г+2..., г; в) существует целое число г, 0(г (и, такое, что см+ 0 при 1=1. 2..... г; си —— 0 при 1> Г) си — — 0 при 1> г и любом 1=1, 2, ..., и. Существует целое число и, г+1(я (а, такое„ что 11А+ О. Покааать. что если в системе (2) восстановить прежнюю нумерацию неиввестных, то получится система.
эквивалентная исходной системе (1). Затем показать, что в случае а) система (2) (а значит и (1)) имеет единственное решение; в случае б) система (2) имеет бесконечно много решений, причем для любых аначений неизвестных у,+,, ..., ул существует единственная система значений остальных неизвестных у„ ..., у,; в случае в) система (2) решений не имеет. Эта теорема лает обоснование метода исключения неизвестных при решении системы линейных уравнений. и теми же ненавестными. Каждая из которых не имеет решений, также считаются эквивалентными.) Показать, что любое из следующих преобразований системы линейных уравнений: а) перестановка двух уравнений; б) умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля; в) почленное вычитание из одного уравнения другого, умноженного на любое число переводит данную систему уравнений в эквивалентную.
Переводит ли изменение нумерации неизвестных данную систему в эквивалентную? Допустимо ли изменение нумерации неизвестных при решении системы уравнений? 66Б. Доказать. что любая система линейных уравнений л Х а11Х? — — б1, 1= 1, 2. (1) 1-1 посредством преобразований типа а), б), в) предылущей задачи и изменения нумерации неизвестных может быть приведена к виду ОТДЕЛ И„СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ !555 — 575 566. Показать, что если система линейных уравнений (1) предыдушей задачи имеет целые коэффициенты, то при всех преобразованиях в процессе ее приведения к виду (2) можно избежать дробных чисел, так что и система (2) будет с целыми коэффициентами.
Следуюшие системы уравнений решить методом исключения неизвесгныти 2хз бхз+ Х4=3, 668. 4х,— Зхз+ х +бх — 7=0 2х,— Зхз+ хз+бх4= — 3. х,— 2хз — 2хз Зх — 3=0, х,+2хз — 4Х4 — =3. Зх,— хз-+2хз +1=-0. х! — хз — 4 хз+9Х4= 22. 2Х!+Зхз+2хз 8хз+7=0. 669.
2х1 — 2хз + ха+3=0, 670. х + х бх 4Х 2х,+Зхз+хз — Зх +6=0, Зх,— хз — бхз — 4х =2, Зхз+4хз — хз+2хз =О, 2х !+Зхз+9хз+2Х4=6 х,+Зхз+хз — х — 2=0. Зх!+2хз+Зхз+8Х4= — 7. 57! 2х! — Зхз+ Зхз+2х4 — 3 = 0. бх, + 9хз — 2хз — Х4+-4 = О, 1Ох, +- Зхз — Зхз — 2х„— 3 = О. 8х,+бхз+- хз+ Зх +-7=0. 672. х,+ 2хз+ 5хз-+ 9Х4 — — 79, Зх, -+ 13хз+ 18хз.+ 30х„= 263, 2х,.+ 4хз+ 11.хз+ 1бхз = 146, х,+ 9хз-+ Охз-+ 9хз —— 92. 678. х,+ хз-+ хз+ х,+ х,= 15. х,+2хз+ Зхз+ 4х,+ бхз — — 35, х,+Зхз+ бхз+10хз+1бхз= 70, х,+-4х, + 10хз+-20Х4+35хз — — 126. х,+5хз+ 15хз+Збхз+70хз=210.
674. х,-+2хз+ Зхз.+ 4х,+ 5х,= 2, 2х, + Зхз+ 7хз+ 10хз -+ 13хз = 12, Зх, + 5хз+ 11хз+ 1бхз+ 21хз = 17. 2х,— 7хз+ 7хз+ 7х + 2х =57, х +4хз+ 5хз + Зхз+ 10х = 7 576е. бх, + бхз+ бхз-+ 18хз+ 20хз = 14, 1Охз+ 9хз+ 7хз+ 24Х4-+ ЗОхз = 18, 12х, + 12хз+ 1Зхз+ 27х, +35х = 32. 8х,+ бхз+ бхз+-15хз+-20хз=16, 4хз+ бхз+ 4хз+ 15хз+1бхз — 11. 576 — ВЗ4] $ З. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ. РЕШАЕМЫЕ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА 35 576.
х,+ хз+ 4хз+ 4хч+ 9хз+ 9=0. 2Х, + 2хз+ 17хз+ 1Ухч+ 82хз+ 146 = О, 2хг + Зхз — хч+ 4хз+ 10 = О, ха+ 4хз+ 12хч+ 27хз+ 26 = О, х,+2хя+ 2хз+10Х4 — 37=0. 577, бх, + 2хз — Ухз + 14хч = 21, бх1 — хз+ 8хз — 1Зхч+ Зхз — — 12, 10хг-+ хг — 2хз+- 7х„— ха= 29. 15х,+Зхз+15хз+ 9хч+Ухз=130, 2х — хя — 4хз+ 5Х4 7х = — 13. 578. 2х,+ Ухя+Зха+ Х4 — 5, 579. 2х,+ Зхз — хз+ хч=1, х,-+ Зхя+5хз — 2х„= 3, Зх,+12х — 9хз+Зх =-3, х,+ 5хт — 9хз+8х„= 1.
4х,+ 6хз+Зхз — 2х,=З, 5Х,+18хк+4хз+бхч=12, 2х,+ Зхз+9хз — Ух„=З. 580. 4х,— Зхз+2хз — хч=8, 581. 2х,— ха+ хз — х„=З, Зх, — 2хз+ хз — Зхч=7, 4х, — 2хэ — 2хз+ЗХ4 — — 2, 2х,— х — 5х =6, 2Х~ — хз+бхз — 6Х4 — 1,. 5х,— Зхз+ хз — ЗХ4=1. 2х, — хз — Зхз+-4Х4=5. 582. Показать, что многочлен степени п вполне определяется его значениями при и + 1 аначениях неизвестного. Точнее. покааать, что для любых различных между собой чисел хз, х,, хп . х„и любык чисел уз, у„.... у„сушествует и притом только один много- член 7(х) степени «~п, для которого 7'(х~) = уп 1= О.
1, 2...., н. 583. Пользуясь предыдушей аадачей, доказать эквивалентность двух определений равенства многочленов от одного неизвестного ') с числовыми коэффициентами (или коэффициентами нз любого бесконечного поля): 1) два многочлена называются равными, если равны их коэффициенты прн каждой паре членов одинаковой степени (определенне. принятое в алгебре); 2) два многочлена называются равными, если они равны как функции, т. е.
если равны их значения прн каждом значении неизвестного (определение, принятое в анализе). 584. Показать, что для конечного поля коэффициентов опреде-. ленна предыдущей задачи не эквивалентны (построить пример). ~) Индукцией легко доказать аналогичное утверждение для многочлеьюв. от любого числа неизвестных, Отдел и. системы линейных уРАВнений 1585 — 595 685. Найти квадратный многочлен 1(х), зная, что )' (1) = — 1; )' ( — 1) = 9; ~ (2) =- — 3. 686. Найти многочлен 3-й стенени у'(х), для которого У( — Ц=О, У(1)=4, У(2)=3, У(3)=15.
687. Какой геометрический смысл имеет утверждение задачи 582г 588. Найти параболу 3-й степени, проходящую через точки (О, 1). (1, — 1,), (2,5), (3, 37). причем асимптотическое направление парал- лельно оси ординат. 689. Найти параболу 4-й степени, проходящую через точки (5, О). ( — 13, 2), ( †, 3), ( — 2, 1), (14, — 1), причем асимптотическое на- иравление параллельно оси абсцисс. Решить следующие системы линейных уравнений, применив в кажт дом случае наиболее подходящий прием; 590. — х+у+л+Г=а, 691в. а(х-+Г)+5(у+л)=с, х — у+х-+Г=б, а'(у+г)+Ь'(х+х)=с'.
х+у †в+1, а"(х+г)+б (х+у)=с'", х+у+х — с = А х+у+л+г=А причем а чь Ь, а'+ Ь, а" Фб . 692е. ах+ Ьу + сх+- Ж = р, — Ьх+ау+ ах — сГ=д, — сх — Фу+ а.г+ бг = г. — дх+ су — Ьл+ аг = г. 698В. х„+а1х„, +азх„з.+... +а"-'х +а,"=О, х„+а„х„,+а'„х„-+... +а" 'х,+а'„'=О. где ан ам ..., а„— различные числа. 694. х, + хя +...
+ х, а9х, + азха +... + а„х„ + азха + ° ° ° + а~х„ а" 1х +а"-'х, +... +а"-~х =бл-'„ где а,. ам ..., а„— различные числа. 695. х,+а,ха+... +а,-'х„=Фи х, +а„ха+... +а„"-'х„=ба. где аи аз, .... а„ вЂ” различные числа. чйе — еоо) $ в. системы уРАВнении, РешАемые по пРАВилу КРАмеРА Зт б90. Х1 + хя +.
° + Х» =31. а!х! + агхя .+ ° ° ° + а»х» а»-1Х + а»-1Х + + а»-1Х 1 1» 2 ' »»» где а„ар, ..., а„— равличные числа. б97. х,+- хе+...+ х„+1=0. 2Х!+2вхг+.... +2"х„+1 =0. ах,+.н хе+... + и"х„+1= 0. 398. ах, + Ьхв-+... + Ьх„= с,, Ьх!+ ахя+... + Ьх„= с, Ьх! +. Ьхя-+... -+ ах„= с„. где (а — Ь)[а-+(а — 1)Ы + О.
б99е, (3+2а!)Х1+(3+2аг)х +...-)-(3+2а»)х»=3+23. (!+За!+2а!)х!+(!+За +2а~г)х +... ... + (1+ За„+ 2~~) х„= 1 + ЗЬ+ 231,. а,(1+ За,+2ав1)х!+ а2(1+Зав+2а~я)Х2+ ' ' ... + а„(!+ За„+ 2ав) х„= Ь(1+ ЗЬ+ 2Ь'=1.. а"-в(1+За +2а,')х,-+а" '(1+За +2а!)х +.... ... +а» (1+За,-+2а»)х» —— Р" (1+39+26), а,"-'(1+ За1) х!-+ а!'-~(1+ Зая) хв-+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
