И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 12
Текст из файла (страница 12)
... +а„(!+За„)Х„=Ь" (1+33) 600е. Равлагая функни!о ! 1, в степенной ряд, получим! !,пи(!+Х) — — !+31Х+Д "+Азу'+ " Покавать. что — 1 О О ... О 1 2 1 1 — О ... О 1 1 1 4 3 2 1 ... О 1 1 1 1 1 л+1 л л — ! л — 2 '' 2 ОТДЕЛ и. СИСТЕМЫ ЛИНЕЯНЫХ УРАВНЕНИИ !60! — 603 601. Известно, что — = 1+ — 'х2+ — 'л4+ — ' хе+.... где соз х 2! 4! 6! лн е2, ез, ... — тан называемые числа Эйлера. Показать, что е„=(2л) ! 1 2! 1 1 1 (2л) ! (2л — 2)! (2л — 4) ! 1 1 (2л — б)! ' ' ' 2! = 1 +Ь~х+ йтх2+йзхз 602*. В разложении ( 1)" 1В„ 4)2„—— , ", где „— так называемые числа Бернулли.
(2л) ! Показать, что 1 2! 0 1 3! В„=( — 1)"+ (2л) ! 1 2! 1 1 1 1 1 (2л+1)! (2л)! (2л — 1)! (2л — 2)! ' ' ' 2! Далее показать„что 1 0 0 ... 0 1 0 ... О ~22-! =О 1 2! 1 ... О 1 (2л) ! 1 1 1 (2л — 2)! (2л — 3)! '*' 2! (2л — 1) ! при л~ 1. 606е. Показать, что число Бернулли В, введенное в предыдущей задаче, может быть выражено следующими определителями и-го 1 2! 1 3! 1 4! 1 2! 1 4! ! б! 1 2! 1 3! 1 2! 1 4! 1 2! 1 3! 0 ...
0 О ... 0 1 ... О О ... 0 0 ... 0 1 ... О ео4 — еет) 4 э. системы уРАВнений, РВЭЕАемые по пРАВилу кРАмеРА Зо порядка! В„= — (2л) ! 1 1 3! 2л — 1 1 1 1 1 (2л+1)! (2л — 1)! (2л — 3)! (2л — 5)! ' ' ' 3! или 0 1 2! Вл — 2Э(2л)1 1 4! л 1 1 1 1 (2л-)-2)! (2л)! (2л — 2)! (2л — 4)! ' ' ' 4! 604». Обозначим через $„(л) сумму л-х степеней чисел натурального ряда от 1 до л — 1, т. е. $„(л)=1" +2" +... +(л — 1)" Установив равенство и"=1+С„$„!А+С„" "Вл я(а)+...-+.С„В,(й)+$„(Л), показать.
что С" т л п-1 1(й) = —, 1 л! О й' О О ...С,' й О О ... О 1 606е. Представить в внае определителя л-й коэффициент 1„ разложения ~ = 1+11хэ+1эхэ+-... +1„лл" +... х х 606. Представить в виде определителя л-й коэффициент у„раз- ложениЯ хе!их= 1 — т' хэ — ~эх4 —... — У„хэ" —... 607е. Выразив л-й коэффициент а, разложения е-Э= 1 — а,х+ +а хэ — аэхэ+... в виде определителя, найти отсюда значения определителя. 1 3! 3 5! 5 7! 1 4! 2 б! 3 8.! 1 3! 1 5! 1 2! 1 4! 1 51 О ...
О О ... О ... О О ... О О ... О 1 Сл-Э С,':Эг...С„'1 1 С": ... С„ 90 отдел и, системы линеЙных уРАВнения !609 — 61$ ф 10. Ранг матрицы. Линейная зависимость векторов н линейных Форм Найти ранг следующих матриц методом окаймления миноров: 5 — 1 608, 2 — 1 3 — 2 4 609. 1 3 4 — 2 5 1 7 2 — 1 2 — 1 ! 8 2 5 1 — 3 4 — 1 7 7 7 9 1 6!О. 3 — 1 3 2 5 811.
4 3 — 5 2 3 5 — 3 2 3 4 1 — 3 — 5 Π— 7 8 6 — 7 4 2 4 3 — -8 2 7 7 — 5 1 4 1 4 3 1 2 — 5 8 6 — 1 4 — В 612. Найти значения ?,. при которых матрица 3 1 1 4 Х 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3 при различных вначениях ?,? 614. Пусть А — матрица ранга г и Ма — минор й-го порядка. стоящий в левом верхнем углу матрицы А. Доказать, что путем перестановок строк между собой и столбцов между собой можно добиться выполнения условий." М, +О, М + О, ..., М, чь О. тогда иак все миноры порядка больше чем г (если они вообще существуют) равны нулю.
В15. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умнохгение строки (столбца) на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца). умноженной на любое число; 3) перестановка двух строк (столбцов). имеет наименьший ранг. Чему равен ранг йри найденных Х и чему он равен при других значениях Х? 6!3.
Чему равен ранг матрицы Вычислить ранг следующих матриц при помощи элементарных преобразований: 25 31 17 43) 620. 47 — 67 35 201 !55) 619 26 98 23 †2 16 †4 1 1284 75 94 53 132 75 94 54 134 25 32 20 48 622. 17 — 28 45 11 24 — 37 61 13 25 — 7 32 — 18 | 31 12 19 — 43 42 13 29 — 55 24 19 36 72 — 38 49 40 73 147 — 80 73 59 98 219 †1 47 36 71 141 — 72 39 621. 50 — 11 — 55 628. Доказать, что если матрица содержит и строк и имеег ранг г, то любые г ее строк образуют матрицу, ранг которой не меньше г+я — ги. 624. Доказать.
что приписывание к матрице одной строки (или одного столбца) либо не изменяет ее ранга, либо увеличивает его на единицу, 625. Доказать, что вычеркивание одной строки (столбца) матрицьг тогда и только тогда не изменяет ранга, когда вычеркнутая строка (столбец) линейно выражается через остальные строки (столбцы). 626, Суммой двух матриц, имеющих одинаковое число строк и одинаковое число столбцов, называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц„ т. е. (аы)+(Ьн) = (а~1+-Ь;.). Доказать, что ранг суммы двух матриц.
не больше суммы их рангов. 627. Докааать, что любую матрицу ранга г можно представить в виде суммы г матриц ранга единица, но нельзя представить в виде суммы менее чем г таких матриц. 616 — 6271 $10. РАНГ МАТРИЦЫ 9! Доказать, что элементарные преобразования не изменяют ранга: матрицы. 616. Доказать, что перестановку строк (столбцов) матрицы можно.
получить, выполняя преобразования строк и столбцов только типов. 1), 2), указанных в предыдущей задаче. 6!7. Доказать. что любую матрицу ранга г элементарными преобразованиями. указанными в задаче 615, можно привести к виду, гдеэлементы ан = аю —— ... — — а„= 1, а остальные элементы равны нулю.
618. Доказать, что элементарными преобразованиями одних строк или одних столбцов квадратную матрицу можно привести к «треугольному» виду, где все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, причем нули можно получить по желанию. либо сверху, либо снизу от главной диагонали.
ОТДЕЛ П. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 628. Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от приписки к ней каждого столбца матрицы В с тем же числом строк, то он не меняется от приписки к матрице А всех столбцов матрицы В. 629». Доказать. что если ранг матрицы А равен г. то минор 0, стоящий на пересечении любых г линейно независимых строк и г линейно независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля.
630». Пусть А — квадратная матрица порядка и) 1 и А — матрица, взаимная (присоединенная) с матрицей А. Выяснить, как изменяется ранг г матрицы А с наменением ранга г матрицы А. 631». Доказать, что вычисление ранга симметрической матрицы сводится к вычислению одних только главных миноров, т. е. миноров, стоящих в строках и столбцах с соответственно равными номерами. Именно, доказать, что: 1) если в симметрической матрице А порядка и имеется главный минор М, порядка г, отличный от нуля. для которого все окаймляющие его главные миноры (г-+ 1)-го и (г +2)-го порядков равны нулю, то ранг матрицы А равен г (если все главные миноры равны нулю, то можно считать главный минор нулевого порядка Мз равным единице, и теорема останется верной; при г = и†! миноров порядка г+ 2 не существует, но утверждение теоремы верно, ибо ранг А равен и†1); 2) ранг симметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы.
632». Пусть А — симметрическая матрица ранга г и Ма — минор л-го порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А. (При й = О считаем Ма= 1.) Доказать, что путем некоторой перестановки строк и соответствующей перестановки столбцов матрицы А можно добиться того, что в ряду миноров Мз= 1, М,, Мз, ..., М, никакие два соседних не равны нулю и М, + О, все н~е миноры порядка выше г (если они существуют) равны нулю. 633». Доказать, что ранг кососнмметрической матрицы определяется ее главными минорами. Именно: 1) если существует главный минор порядка г, отличный от нуля, для которого все окаймляющие его главные миноры порядка г+2 равны О, то ранг матрицы равен г; 2) ранг кососнмметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы. 634». Пусть А — кососимметрическая матрица ранга г и Ма — минор и-го порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А(Ма= 1).
Доказать, что путем некоторой перестановки строк и соответствующей перестановки столбцов матрицы А можно добиться того, что миноры Мю Мж Ма, .... М, отличны от нуля, а миноры Ми Мз,..., М,, и все миноры порядка выше г (если они существуют) равны нулю. 635. Доказать, что ранг кососимметрической матрицы — число четное.
636 — 646» % ю. плнг млтпицы 636. Найти линейную комбинацию За,+5аз — аз векторов а,=(4, 1, 3, — 2), аз=(1, 2, — 3, 2), аз = (1б 9 1* 3). 637. Найти вектор х из уравнения а, + 2аз+ За,+ 4х= О, где а,=(5, — 3. — 1, 2), аз=(2, — 1, 4, — 3), аз=( — 3. 2. — 5. 4).
638. Найти вектор х из уравнения З(а,— х)+2(а +-х)=5(аз+ х). где а,=(2, 5. 1, 3), аз=(10, 1, 5, 10), аз = (4, 1, — 1, 1). 639. а, =-(1, 2, 3), а,=(З, б, 1). 649. а, =(4, — 2, б), аз=(б, — 3, 9). ~642. а,=(5, 4, 3), а =(3, 3, 2), а = (8„ 1, 3). 841. а,=(2, — 3, 1), аз —— (3. — 1. 5), а, =(1, — 4, 3). В44.
а, =(1, О, О, 2, 5). аз=(О, 1, О. 3, 4), аз=(0 О. 1 4 1) а„=(2, — 3, 4, 11, 12). 643. а,=(4„— 5, 2, б\, аз=(2, — 2, 1, 3), аз=(б, — 3, 3, 9), а„= (4, — 1, 5, 6). 645. Если иа координат каждого вектора данной сисгемы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определенных (одних и тех же для всех векторов) местах, сохраняя их порядок, то получим вторую систему векторов, которую будем называть укороченной для первой системы.
Первую же систему будем называть удлиненной для второй. Доказать, что любая укороченная система для линейно зависимой системы векторов сама линейно зависима, а любая удлиненная система для линейно независимой системы векторов сама линейно независима. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми: отдел и. системы линеиных кглвненип 1644 йзй 646. Доказать, что система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.
647. Доказать, что система векторов, два вектора которой различаются скалярным множителем. линейно зависима. 648. Докааать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно аавнсима. 649. Доказать что если часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима. 660.
Доказать, что любая часть линейно независимой системы векторов сама линейно независима. 661в. Пусть дана система векторов а,=(они а, м ..., а, „) 11=1„2..... з; з~~л). Доказать„что если ~а~Г~.ь ~~а, ~, то данная система векторов Е=1 ~ФУ линейно независима. 662. Доказать, что если три вектора аи ам аз линейно зависимы и вектор аз не выражается линейно через векторы а, и пэ, то векторы д1 и аа различаются между собой лишь числовым множителем.
683. Доказать, что если векторы аи аз, ..., аа линейно независимы, а векторы ии аз, ..., аа. Ь линейно аависимы, то вектор Ь линейно выражается через векторы аи аз, ..., аа. 664. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что каждый вектор данной системы векторов линейно выражается через любую линейно независимую подсистему втой системы, содержащую максимальное число векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
