И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 9
Текст из файла (страница 9)
901в. Не проиаводя умножения, доказать тождество Коши: (а,с, +пася+ ... +алс„)(Ь,Й,+ЬФз+ ... -(-Ь„Н„)— — (пп1, + сзс1т+ ... + п„Н„) (Ь, с, + Ьзст + ... + Ьлсл) = (а,Ьл — алЬ,)(сфл — СЯ) (л ) 1). 1<С<в<в 002. Не производя умножения, доказать тождество Лагранжа: .~~ а,' ~~ Ьз — ~ а.Ь, = ~ (а Ьл — алЬ!)з. ОТДЕЛ Е ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [003 — 000 503э. Доказать, что для любых действительных чисел ан а...., а„и Ь„Ь, ..., Ь„ справедливо неравенство (агг+агг+" +игИЬг+Ьг+ ..+Ь'„) ь(агЬ +агЬа+" +а Ь»)г. причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда одна из данных систем чисел отличается от другой лишь числовым множителем (быть может равным нулю). (Неравенство Коши в Буняковского.) 504э.
Доказать, что для любых комплексных чисел а,. аг...., а„ и Ь,, Ь, ..., Ь„ имеет место равенство ~~)~ и„о, ~ ЬаЬа — ~~'„~ аеба .)~ аеЬе —— (агЬе — аеЬ -) (о ܄— оеЬ1). 1<1(Ф<е 505э. Доказать„что для любых двух систем комплексных чисел а,, аг, ..., а„ и Ь,, Ьг... „ Ь„ справедливо неравенство ~~',г ~иеР,Е ~бе ~а > ~~ и Ь причем анан равенства имеет место тогда н только тогда.
когда числа одной из данных систем отличаются от чисел другой лишь числовым множителем. 506э. Взаимным (или присоединенным) определителем к определителю й порядка п~.1 называется определитель О', полученный из В заменой всех его элементов на их алгебраические дополнения (с сохранением прежнего расположения). Доказать, что (1) 507э. Пусть М вЂ” минор порядка т определителя В, А — алгебраическое дополнение М, М' †мин взаимного определителя В'. соответствующий минору М (т.
е. составленный из алгебраических дополнений элементов определителя В, входящих в М). Доказать равенство М = В А. Если условиться дополнительный минор ко всему определителю сг считать равным 1, то это равенство будет обобщением равенства предыдущей задачи (при т= л).
508э. Пусть С вЂ” минор (л — 2)-го порядка. полученный из определителя сг вычеркиванием 1-й и у-й строк и Й-го и 1-го столбцов, причем 1 < / я Ь < 1; А , как обычно, †алгебраическ дополнение элемента а . Доказать, что ~=( — 1) ЙС. и ! 1,1+е,г га 11 йаа — 816! $ к умнОжение Опгеделителеи 71 509в. Показать, что если определитель В равен нулю, то все строки (а также столбцы) взаимного определителя пропорциональны. 6108. Пусть а17 — элемент определителя В порядка л и А17— алгебраическое дополнение соответствующего элемента А17 определителя В', взаимного с В.
Показать, что А17=ВР а». 511в. Пусть М вЂ” минор порядка 81 определителя В порядка л„ М'.— соответствующий М минор взаимного определителя В7 и А'— алгебраическое дополнение минора М'. Доказать. что А =Вл 'М. Это — обобщение равенства предыдущей аадачи. 61ив. Зная миноры всех элементов определителя В, отличного от нуля. найти его элементы. 6!3'. Пусть 8 =хи+хи+... +х„(й — 1 2 3 ) Р=Х1Х2 ... Хл.
Показать, что л-+1 81 81 82 82 81 82 ° * зл-1 81 82 аз -. ° Ул 82 82 зч ° ° ал+1 82 ° ° ал+1 зл+2 82 83 зл зи+1 влез 82и зл-1 зл зл+1 ' ' 82л-2 514. Показать, что если ан — Х а12 .;. а,л 821 ПЮ вЂ” Х П2 В(х) = агл азл ... алл — Х то произведение В(х) ° В( — х) можно представить в виде Ан — х А 12 ...
Агл Аз, А22 — хз ... Азл Ал1 Алз ... Алл — хз зде все А17 не зависят от х. Найти выражение А17 через а„г, 6168. С помощью умножения определителей докааать, что при перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет анак. 6168. С помощью умножения определителей доказать, что определитель не изменяется, если к одной его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число с. 1617-622 ОТДЕЛ Е ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 517в. Покааать, что определитель 1 сов <рз соз <рз сОз Рз 1 соя чч соз фз соз ф~ 1 равен нулю. если ~р, +~р .+~у =О. 518е.
Пусть 1,, Ц, 1з и ии льз, глз — косинусы углов двух лучей с ортогональными осями координат и Ф вЂ” угол между этими лучами, Докааать, что з1пз |р = (11л~з — (зт1)з+ (1зтз — 1зтз)з+ (1зт, — 1,тз)з. 519. Пусть аи рн у„аз. Рз, уз: аз, рз. уз — углы трех лучей У.„1.з, (ч с ортогональными осями координат и пусть углы этих лучей между собой будут %=д (Ся. Сз). %=в (з.з тч). чз=ь' (сч с з) Доказать, что сова, совр, сову, з соз аз созрз соз у соз аз соз рз соз уз = 1 — созз <Р, — созз <Рз — созз ~уз+ 2 соз У, соз ~уз соз Щ. У1 хз уз хз уз не изменяется при повороте осей координат и переносе начала.
Пользуясь этим, выяснить его геометрический смысл. 521в. Пусть (х,, у1) и (хз, уз) — прямоугольные координаты двух точек Мз и Мз на плоскости. Выяснив геометрический смысл опреУ1 делителя , узнать, меняется лн он при повороте осей и хз уз при переносе начала координатг' 522з. Вычислив проиаяедение определителей — х, — у, Й вЂ” хз — «я Й вЂ” Уз у~ хз у, )с хз уз получить выражение радиуса описанного круга через стороны а, Ь, с и площадь О треугольника. 520в.
Пусть (х„у,), (хз, Уз), (хз, уз) будут прямоугольные координаты точек М,. Мз, Мз на плоскости. Покааать, что опре- делитель ййз-вйт) $7. УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 73 623е. Пусть а,. аз, аз, 67. Рз, Рз; у,, уз, уз — соответственно косинусы углов трех попарно ортогональных лучей ОА, ОВ, ОС с осами прямоугольной системы координат Ох. Оу, Оз. Докааать, а, аз аз что определитель Р, Рз бз = + 1. причем знак плюс будет У7 72 ТЗ в случае одинаковой ориентации триэдров ОАВС и Охуг (это озна- чает возможность при вра7ценяи фигуры ОАВС совместить ОА с Ох, ОВ с Оу, ОС с Оз) и минус — в случае противоположной ориентации (зто означает, что при совме7цеиии ОА с Ох н ОВ с Оу лучи ОС и Ог окажутся противоположно направленными).
624з. ПУсть (х7, У7, з7). (хз. Уз, зз), (хз. Уз, зз) — кооРдинаты трех точек М,, Мз, Мз пространства. Показать, что определитель х, у, я, хз уз гз Хз Уз Зз не меняется при повороте системы координат (которая предполагается прямоугольной) н выяснить его геометрический смысл. 626е. Найти выражение обьема 17 параллелепипеда через длины а, Ь, с его ребер, проходящих через одну вершину и углы а, р, у, образуемые зтими ребрами, (Угол а образован ребрами длины Ь и с; 6 образован с и а; у образован а и Ь.) 626е. Пусть 1,, 17.
(з; и7, лзт, л7з, л,. л,, лз — соответственно косинусы углов лучей ОА, ОВ, ОС с положительными полуосями прямоугольной системы координат Ох, Оу. Оз. Докааать, что для компланарностн (т. е. Для расположения в одной плоскости) лучей ОА, ОВ и ОС необходимо и достаточно 1г 1з выполнение условия Л77 Л7з 7вз 777 Лз Лз 627з. Пусть (хп ун г,) — прямоугольные координаты точки М4 пространства (1= 1, 2, 3. 4). Показав, что определитель х, 1~7 з7 Хз Уз Зз Хз Уз Зз Х4 у4 а4 не меняется прн переносе начала координат, выяснить его геомет- рический смысл. ОТДЕЛ Ь ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 628*. Перемножая определители — х, — хз — Уз Уз хз — уз получить выражение радиуса шара, описанного около произвольного тетраэдра. через объем и ребра тетравдра.
В частности, найти иа полученного выражения радиус шара. описанного около правиль- ного тетраэдра с длиной ребра, равной а. В 8. Различные задачи б29в. Показать, что определитель порядка л допускает следующее аксиоматическое определение (эквнвалентное обычному). Любую строку из и чисел') будем называть вектором и обозначать одной буквой жирного шрифта. Сложение двух векторов и умножение вектора на число определяются, как обычно, т.
е. если а=(ап аз, ..., а„) и Ь=(Ь„Ьз„..., Ь„). а+8=(а,+ Ьп аз+ба.-..., а„+Ь„), то если с — число. то са=(сны саз, .... са„). Функция г"(ап ам ..., а„) от н векторов с числовыми вначениямн называется линейной по каждому аргументу (или короче поли- линейной), если ~ (ан ..., с'а, '+ с"а,", ..., а ) = =С7(ап .... ап ..., аз)+С"/(ан ..., а",, ..., аи) (а) для любых входящих сюда векторов, любых чисел с', с" и любого 1= 1, 2, ....
и. Далее назовем функцию обладавшей свойством аннуляции, если У(ао ..., ан ..., а...., аи)=0 ПРИ а,=ат, (Р) ( = 1, 2... „ л, 1 чь ./. Пусть е,(1 = 1, 2, .... Л) — вектор, у которого на 1-м месте стоит единица, а на всех остальных местах нули. Функция У(ан аз, .... а„) называется нормированной, если У(нн е,..... еи) =1. ') Вместо чисел можно рассматривать также элементы любого поли Р.
хз уз ез гс хз у е 14 Уз х4 У4 Е4 Й вЂ” х, 14 хз — хз Й Х4 а 3. РАзличные 3АдАчи йз) — йзз[ 75 Пусть дана квадратная матрица порядка и -(:..::.) 1 1 1 1 ... 1 л-1 е 1 е 1 ез 33 2(л-1) е 3 (л — 1) еб ел 2п . 2п . где е=соз — +(3!п —. Я л еб л-1 2 (л-1] 3 (л-1) (л- 1) ' е е е ... е 633»„ Как изменится определитель, если в нем выделить )3 строк (или столбцов) и из каждой иа них вычесть все остальные выделенные строкиу и [А[ — ее определитель в обычном смысле, т. е.
[А[=~~.",( — 1)'аы,а21, ... ал, . где сумма берется по всем перестановкам !и !21 ..., (л чисел 1. 2, ..., л и г — число инверсий в каждой перестановке. Показать, что 1) определитель [А[ как функция строк матрицы А обладает свойствами (а), ([)). (7); 2) любая функция и векторов. обладающая свойствами (а) и (б), удовлетворяет равенству /(а(, аз, .... ал)=[А[у(и(, е, ..., ел), где А — матрица со строками а(, аз..... а„; 3) любая функция /(а).
аз..... ал), обладающая свойствами (а), ([)). (у)„равна определителю [ А [ матрицы А со строками а(, ат, ..., ал Иными словами, определитель [А[ матрицы А есть единственная полилинейная. со свойством аннуляции, нормированная функция ее строк. 630в. Пользуясь утверждением 2) предыдущей задачи. доказать теорему об умножении определителей. 631, Показать, что для функций и векторов над полем характеристики, отличной от 2, свойство ([)) при наличии свойства (а) зквивалентно анакопеременностн функции. т..с.
1(н "" « "' ""и)= — у(а °" у " а( "а.)(Ь') для любых векторов и любых й у=1, 2, ..., и, (+/. Построить пример функции л векторов над полем Р характеристики 2. обладающей свойствами (а), ([)') и ())). но не обладающей свойством (6). 632'3. Вычислить определитель ОТДЕЛ Е ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 16е4 — 639 634. Определитель ап-+х а,а.+х ... а,„+х ам+х аю+х ... аа„+» а„,+х а„+х ... а„„+х представить в виде многочлеиа, расположенного по степеням х.
636в. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя ам а, ... а„ аю аю... а„ аи1 афз ° ° ° ааа равна определителю 1 1 ам — ац аю — а, ... а„— а,„ аз1 — ап аю — аьт ... аз — а1~ а„,— ап а„— а, ... а„„вЂ” а,„ а, 1 О 0 ... 0 Π— 1 а. 1 0 ... О 0 Π— 1 аз 1 ... 0 0 (а,аз ... а,)= 0 0 0 0... — 1 а„ 636в. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя ие изменится, если ко всем влементам прибавить одно и то же число. 637в. Доказать. что если все элемеиты какой-нибудь строки (столбца) определителя равны единице, то сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя равна самому определителю. 638. Доказать.
что кососимметрический определитель четного порядка ие иаменится. если ко всем его элементам прибавить одно и то же число. 639". Установить следующую связь континуант (развернутое выражение континуанты дано в задаче 420) 640 — 54Ц % 8. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ с непрерывными дробями: 1 1 (й1йл . ° ° ап) ал + †„ + (апал ° " ал) 1 +— '1л 640е. Пусть даны два опредещпеля: аи й!2 ' 1"1л а21 й22 ' ' ' а2л поря: л а ал, йлт ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
