И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(а„— к) — 1 О 1 ... Π— 1 О О ... 1 Положим — =1+ — и все столбцы прибавим к первому: а~ х а,— х а,— к Р =(а, — х)(ат — х) ... (а„— х) л, х х х 1+ — + ... + а,— х ''' ал — х а,— х х О 1 О О х а,— х аи х О О Оху« хО «у у«Ох «у х О Если к первому столбцу прибавить остзльныц то обнаружитсц что определитель делится на х+у+«; если к первому столбцу прибавить второй и вычесть третий и четвертый, то выделится множитель у+« — х; если к первому столбцу прибавить третий и вычесть второй и четвертый, то выделится множитель к — у+«; иаковы( если к первому столбцу прибавить четвертый н вычесть второй и третий, то выделится множитель х+ у — «.
Считая х, у, «независимыми неизвестными, заключаем, что все эти четыре множителя попарно взаимно просты, и значит, определитель делится иа их произведение (х+ у+ «) (у+ « — х) (х — у+ «) (х+ у — «). Это произведение содержит член «' с козффициентом — 1, а сам определитель содержит тот же член «' с козффицвентом +1. Значит.
Р = — (х+ у + «) (у + « — х) (к + « — у) (х+ у — «) = хг+уз+«з 2 аут 2«тлз 2ут«т О О О ... 1 11 1 1 1 х(а, — х)(ат — х) ... (а„— к) ~ — + — + — + ... + — 1. (х а,— х а,— х " а„— х) 2. Метод выделения линейных множителей. Определитель рассматривается как мяогочлен от одной нли нескольких входяпГнх в него букв. Преобразуя его, обнаруживают, что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если зти множители взаимно просты), и на их произведение. Сравнивая отдельные члены определителя с членами произведения линейных множителе(( находят частное от деления определителя на зто произведение и тем самым находят выражение определителя.
Пример 3. Вычислить определитель: ь ОТДЕЛ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ выделения линейных множителей опре- Пример 4. Вычислить методом делитель Ва>щермонда л-го порядка: хз л — 1 1". 1 ХЗ »-1 Хз .. ° Хэ 1 х> 1 хз г л= 1 хл лз ... х,", ' Рассматривая С2» как многочлен от одного неизвестного хл с коэффициентами, зависящими от хь ..., хл ь видим, что он обращается в нуль при хл=хь хл=хг,хл=хл, ипотому делится пах» — хи хл — хг, ... ..., хл — л„ Все эти множители взаимно пРосты (так как хь хг, ..., Хл алгебРаически независимы).
Значит, 11» делится на их произведение, т. е Ол=>С(хь х„..., хл) (хл — х,)(хл — хг) ... (хл — хл,). Разлагая сгл по последней строке, видим, что он является миогочленом степени л — 1 относительно х„, причем коэффициент при хл равен опре- ДЕЛИТЕЛЮ ВаиДСРМОНДа )2» > Иэ НЕИЗВЕСТНЫХ Хь Хь ...,Хл б таК КаК ПРО- наведение скобок в правой части последнего равенства содержит хл с коэффициентом 1, то многочлен >у(х>, хг, ..., хл) нс содержит х„ и, сравнивая коэффициенты при х„ "1 в обеих частях равенства, получим 0» с (хи л ь ..., хл >), откУда Вл = Р л, (хл — х,) (хл — хг) ... (хл — хл В Применяя это равенство с заменой и на л — 1, имеем: С)л >=с)л 2(хл >- х>), (хл > хл 2) Это выражение для 2)л > подставим в предыдущее выражение для Ол. Повторяя это рассуждение, мы выделим, наконец, множитель х, — хи после чего придем к определителю Вандермонда первого порядка О> = 1.
Таким образом, 0» (Х2 — л>)(хг — Х>)(Х2 — Хг) ° .. (Хл Х1)(Х» — Х2) . ° . (Хл Хл->)— П (.Тс — х>). С> С 3. Метод рек уррентиых (рекурсивных, или возвратных) соотношениЕ Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же аида, но более >шзкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.
Затем вычисляют непосредственно по общему виду определителя столько зпрсдслителей низших порядков, сколько их было в правой части рекурэснтного соотношения. Определители более высокого порядка вычисляются зоследовательно из рекуррентного соотношения.
Если надо получить выражение для определителя любого порядка л, то, вычислив из рекуррентного соотношения несколько определителей низших порядков, стараются заметить гбщий вид искомого выражения. а затем доказывают справедливость этого эыражения при любом л с помощью рекуррентного соотношения и метода >ндукции по л. Общее выразсение можно получить и другим путем. Для етого в рекургснтиое соотношение, выражающее определитель л-го порядка, подставляют гыражение определителя (л — 1)-го порядка из того же рекуррентного соот- 4 3. методы ВычислениЯ ОпРеДелителей и-ГО пОРЯдкА 33 ношения с заменой и на и — 1. далее подставляют аналогичное выражение определителя (и — 2)-го порядка и т.
д„пока не выяснится вгщ искомого общего выражения определителя л-го порядка. Можно также комбинировать оба пути, используя второй путь для обнаружения искомого выражения и доказывая затем справедливость згого выражения индукцией по и. Метод рекурреитных соотношений является наиболее сильным среди разбираемых здесь методов н применим к более сложным определителям. Прежде чем перейти к примерам вычисления определителей методом рекуррентных соотношений, разберем один его частный случай, где рекуррентное соотношение дает алгоритм для решения задачи, исключающий элемент догадки, имеющийся в общем случае.
Пусть рекуррентное соотношение имеет вид Рл= рРл — )+ 4Рл-ь " > 2 (1) где р, д — постоянные, т. е. не зависящие от и величины '). При 4 =0 Р„вычисляется как член геометрической прогрессии: Р„ =р" гР;, здесь Р, — определитель 1-го порядка данного вида, т. е. злемент определителя О„, стоящий в левом верхнем углу. Пусть 4+0 и а, () — корни квадратного уравнения лт — рл — () Ю~. Тогда р= а+й, 4 = — аб и равенство (1) можно переписать так: Є— РР„, а(Р„,— РРи з) (2) илн Є— аРл ~ = р (О„1 — аРи-з). Предположим сначала, что и ~ (1. По формуле для (и — 1)-го члена геометрической прогрессии нз ра- венств (2) и (3) находим: Є— бОи, = а" (Р, — бО,) и Є— аР„, й" (Р, — аР1) откуда Ол а" '(Р,— 3Р1) — ри (О,— аР,) или а — () Р„С,а" +Сири, где С, = Рз — ()Р, Ри — аО, а(а — б) ' , С () (а — ($) ° (4) Последнее выражение для Р„легко запоминается.
Оно выводилось для и > 2, но непосредственно проверяется для и 1 и и = 2. Значение С, н Ст можно находить не нз приведенных выражений (4), а из начальных условий Р, = С,а+ Сзб, Ри = С,аз+ Саби. Пусть теперь а=(1. Равенства (2) и (3) обращаются в одно и то же Є— аО„, = а (Р„, — аР„т), откуда Є— аО„, = Аа" где А Ри — аРР Заменяя здесь и на и — 1, получим: О„, — аР„, Аа", откуда Р„,=пР„т+Аа" з. ') Этот метод сообщен автору Л. Я. Окуневым.
Он применим также к реиурреитиому соотношению Ри р,Ри г+ ... + рлР„А с постоянными рн..., рл и любым Д. но ввиду громоздкости рассуждений мы остановимся лишь на й 2. Отдел т. Определители Вставляя зто выражение в равенстно (5), найдем: Рл=а'Рл,+2дол-а. Повторяя тот же прием несколько раа, получим: В„= ал-'В, + (л — 1) Аал-' А В~ или Вл=алКл — 1)С,+Са), где С,= — > Са — '(здесь аФО, так как ца а Е~О). Пример 5. Вычислить методом рекурреитных соотношений определитель примера 2. ПРерставив злемевт в пРавом нижнем УглУ в виде ал=х+(ал — х), мы можем определитель Вл разбить на сумму двух определителей а, х ...
х 0 х аа ... х 0 а, х ... х х х аа ... х х + х х ... а„ , х х х ... х х Рл— .т х ... ол, х х ... х ел — к что совпадает с результатом примера 2. Пример 5. Вычислить определитель порядка и: 5 3 О 0 ... 0 0 2 5 3 О ... О 0 О 2 5 3 ... О 0 0 0 0 0 ... 2 5 Разлагая по первой строке, найдем рекуррентное соотношение 1'л =5Рл — а ОРл-а. Уравнение ха — 5х+6 0 имеет корин а 2, 5 3, По формуле (4) Рл С,ал+ Саре = Зл+т — 2" +~.
4. Метод представления определителя в виде суммы определителей. Некоторые определители легко вычисляются путем разложения нх в сумму определителей того же порядка относительно строк (нли столбцов). В первом определителе последний столбец вычтем из остальных, а второй определитель разложим по последнему столбцу: Рл=х(а~ — х) (аа — к) ...
(ал, — х)+(ал — х) Рл Это и есть рекуррентвое соотношение. Вставляя в него аналогичное выражение для Рл в найдем: .Р„= х (а, — х) (аа — х) ... (ал — а — х) + +х(а, — х)(аа — к) ... (ал-а — х) (ал — х)+Рл-а (ал-а — х) (ал — х) Повторяя то же рассуждение н — 1 раз и замечая, что Р, =а, =х+ +(а, — х), получим: Вл = х(а, — х) (аа — х)...(ал, — х)+х(а, — х)...(ал,— х) (ал — х)-(- ... ... +х(аа — х) ... (ал — к)+(а~ — х)(ла — х) ... (ал — х) = х (а, — х) (аа — х) .. ° (ал — х) ~ — + (1 1 . 1 + -+. (х л~ — х '" а„— «1' $6. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ л-ГО ПОРЯДКА 38 П р и и е р 1.
Вычислить определитель а,+Ь, а,+Ьэ ... а,+Ь„ ат+Ь~ а,+Ь, ... а,+Ь„ а„+ 6, ал+ Ьэ ... а„+ Ь„ Этот определитель относительно первой строки разлагается на два определителя, каждый из ннх относительно второй строки снова разлагается иа два определителя й т. д. Дойдя до последней строки, получим 2" определителей. Если при каждом разложении за первые слагаемые принимать числа аь а зз вторые числа ЬЬ то строки полученных определителей будут либо вида аь аь ..., аь либо вида Ьь Ьь ..., Ь„. Две строки первого типа пропорциональны„ а второго типа равны. Прй и ~ 2 в каждый получившийся определитель попадает, по крайней мере, две строки одного типа, и ои обратится в нуль. Итак, Р„*= О при и > 2.
Далее, а~ а ! !Ь, Ь, Р1 а~ +Ь1 Рэ ~ )+~ ~ (а1 ал) (Ь 6|) 6, Ь, ! ~ а, а, 5. Метод изменения элементов определителя. Этот метод применяется в тех случаях, когда путем изменения всех элементов определителя иа одно и то же число ои приводится к такому виду, в котором легко сосчитать алгебраические дополнения всех элементов. Метод основан на следующем свойстве: если ко всем элементам определителя Р прибавить одно н то же число х, то определитель увеличится на произведение числа х иа сумму алгебраических дополнений всех элементов определителя Р.
В самом леле, пусть Разложим Р' на два определителя относительно первой строки, каящый из них на два определителя Относительно второй строки н т. д. Слагаемые, содержащие более одной строки элементов,.равных х, равны туюО. Слагаемые, содержащие одну, строку элементов. равных х, разложим то этой строке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
