И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 3
Текст из файла (страница 3)
2, 6,..., 4п — 2, 4, 8, ...„4п. 135.4п,4и — 4,....8, 4, 4и — 1, 4п-5....,7,3,4и — 2. 4и — 6, ..., 6, 2. 4п — 3, 4п — 7, ..., 5, 1. 136. В какой перестановке чисел 1, 2, ..., и число инверсий наибольшее и чему оно равно? !37. Сколько инверсий обрааует число 1, стоящее на Ь-и месте перестановки? 138. Сколько инверсий образует число и, стоящее на Ь-и месте В перестановке чисел 1, 2, 3, ..., и? 139, Чему равна сумма числа инверсий и числа порядков в любой перестановке,чисел 1, 2...., и? 140. Для каких чисел п четность числа инверсий н числа порядков во всех перестановках чисел 1, 2, ..., и одинакова и для каких противоположна? 141в. Доказать, что число инверсий в перестановке а,, ам ..., а„ равно числу инверсий в той перестановке индексов 1, 2, ..., и„ которая получается, если данную перестановку заменить исходным расположением. 142в.
Показать, что от одной перестановки а,„ аа, ..., а„ к другой перестановке Ьи Ьа, .... Ь„ тех же влементов можно перейти путем не более чем и — 1 транспозиций. !43в. Привести пример перестановки чисел 1, 2, 3, ..., и, которую нельзя привести в нормальное расположение путем менее чем и — 1 транспозиций. н доказать вто. 144в. Показать, что от одной пеРестановки аи аа, ..., а„ к любой другой перестановке Ь„ Ьа...., Ь„ тех же влементов можно л (л — 1) перейти путем не более чем — смежных транспозиций (г. е.
2 транспознцнй соседних влементов). 145в. Дано, что число инверсий в перестановке ан аа, ... ..., а„ ,, а„ равно Ф. Сколько инверсий будет в перестановке ил †' аа (! 48 — !60 Отдел !. ОпРедеЛитеЛи !а 146в. Сколько ииверсий во всек перестановках п злементов вместе7 !47в. Доказать, что от любой перестановки чисел 1. 2.. . и, содержащей А инверсий, можно перейти к исходному расположению путем А смежных транспозиций, но нельзя перейти путем меньшего числа таких транспозиций.
И8*. Доказать, что для любого целого числа А (О ( (г ( С~) существует перестановка чисел 1, 2. 3, .... п, число инверсий которой равно й. 149в. Обозначим через (п, )г) число перестановок чисел 1, 2, ..., п, каждая из которых содержит ровно А инверсий. Вывести для числа (и, и) рекуррентпое соотношение: (и+1, й)=(п, й)+(и. й — 1)+(и. )г — 2)+ ... +(п, й — и), где надо положить (и. г)=О при Г~С„и при 7(0. Пользуясь втим соотношением, составить таблицу чисел (в, й) лля и=1, 2, 3, 4, 5, 6 и й = О, 1, 2, ..., 15. 150в. Показать, что число перестановок чисел 1, 2, ..., п, содержащих й инверсий, равно числу перестановок тех же чисел, содержащих ф— й инверсия.- Следующие подстановки разложить в произведение независимых циклов и по декремеиту (г.
е. разности между числом действительно перемещаемых злемеитов и числом циклов) определить их четиость. Для удобства подсчета декремента можно для чисел, остающихся на месте, ввести в разложение одиочлееные циклы. 151./1 2 3 4 5~ 152. /1 2 3 4 5 6~ 14 1 5 2 3/' 16 5 1 4 2 3/' 153./1 2 3 4 5 6 7 8~ 154./! 2 3 4 56 78 9~ !8 1 3 6 5 7 4 2/ 15 8 9 2 14367) 155.71 2 3 4 5 6 7 8 9~ 156./1 2 3 4 б 6~ ~2 3 4 5 6 7 8 9 1/ ~4 5 6 1 2 3/ 167. /1, 2, 3, 4, ..., 2п — 1, 2п !2, 1,4,3,..., 2п, 2п — 1/ 158. /1, 2.
3, 4. 5. 6, .... Зп — 2, Зп — 1, Зи 1,3, 2, 1. 6. 5. 4, ..., Зи„Зп — 1, Зи — 2)' 159. (1, 2. 3, 4, ..., 2п — 3, 2п — 2, 2и — 1, 2п~ ~3.4,5.6,...,2п — 1, 2и 1, 2/ 160. ! 1, 2, 3, 4. 5. 6, ..., Зп — 2. Зи — 1, Зи ~г2, 3, 1, 5, 6, 4, ..., Зп — 1. Зи. Зи — 2/ 161-176) а а пнгнстдновки и подстановки 19 1 61. )'1, 2, 3, 4. 5. 6, .... Зл — 2, Зл — 1.
Зл') 14.5,6,7 8 9..... 1, 2 3 1, 2, ..., л, ..., лй — й+1,ал — 1+2,...,лл) й+1, л+2, ..., 2л, ..., 1, .... Ц В следующих подстановках перейти от записи в циклах к запнси лвумя строками: 163. (1 5)(2 3 4). 164. (1 3)(2 5)(4). 165, (7 5 3 1)(2 4 6)(8)(9). 166. (1 2)(3 4) ... (2л — 1. 2л), !67.
(1 2 3 4 ... 2л — 1, 2п), 168. (3 2 !)(6 5 4)... (Зп, Зл — 1, За — 2). Перемножить подстановки: 174. Доказать, что если некоторая степень цикла равна единице, го показатель степени делится на длину цикла. (Длиной цикла назы- вается число его злементов.) 175. Доказать, что среди всех степеней подстановки, равных еди- нице, наименьший показатель равен наименьшему общему кратному Ллнн циклов, входящих в разлпженне подстановки. /1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10~ 176. Найтн А' . де А=~ 5 4 1 10 2 6 9 8/' 1,3, 5, 4, 1, 7, 10, 2, 6, 9, 8! ' 1'1, 2, 3, 4.
5, 6, 7, 8, 9, !О') 177. Най Анв где А=~3, 5, 4, 6, 9, 7,, 10, 6, 2/' 178. Найти подстановку Х нз равенства АХВ=С, где б 1 3 6 4 7 2 ОТДЕЛ Ь ОПРЕДЕЛИТЕЛИ !179 — !67 179. Доказать, что умножение подстановки на трансповицию (т. е. двучленный цикл) (а, 6) слева равносильно транспозицни (т.
е. перемене местамн) чисел а и 6 в верхней строке подстановки, а умножение на ту же транспоаицию справа равносильно транспозиции а и р в нижней строке подстановки. 180. Доказать, что если числа а и 6 входят в один цикл подстановки. то при умножении этой подстановки на транспозицию (а, 6) (слева или справа) данный цикл распадается на два цикла, а если числа а и 6 входят в различные циклы, то при указанном умножении эти циклы сливаются в один. 181в. Пользуясь двумя предыдущими задачами, доказать, что число инверсий и декремент любой подстановки имеют одинаковую четкость. !82в.
Докааать, что наименьшее число транспознций. Еа произведение которых разлагается данная подстановка, равно ее декременту. 188в. Доказать, что наименьшее число транспозиций, переводящих перестановку ан ам . ., а„ в перестановку Ь„ Ьз, ..., Ь„ тех же элементов, равно декременту подстановки Р= Ь Ь, Ь" !84а. Найти все подстановки чисел 1, 2, 3. 4, перестановочные с подстановкой 3 а, [2 1 4 3/' 186.
Найти все подстановки чисел 1, 2, 3, 4, б, перестановочные с подстановкой 1 2 3 4 б 186в. Для любых целых чисел л и лг, где лг+ О. обозначим через г(х, т) остаток (принимаемый неотрицательным) от деления х на лг. Доказать, что если лг)~2 и а — целое число, взаимно простое с лн то соответсгвне л — Рг(ах, и), х=1, 2, ..., т — 1. является подстановкой чисел 1, 2, ..., ги — 1. 187. Написать подстановку чисел 1, 2, 3.
4. б, 6. 7, 8, при которой число х переходит в остаток от деления бх на 9. й 3. Определение н простейшие свойства определителей любого порядка Задачи этого параграфа имеют целью пояснение понятия определителя любого порядка и его простейших свойств, включая равенство нулю определителя, строки которого линейно зависимы, н разложение определителя по строке. Задачи на развитие навыка вычисления определителей с числовыми элементами, аа методы вычисления определителей специального вида, иа теорему Лапласд на уиножение определителей н т.
д. содержатся в следующих параграфах. 188 — 2031 $ а ОпРеделение и сВОйстВА ОпРеделителей 21 Выяснить, какие из приведенных ниже произведений входят. в определители соответствующих порядков и с какими знаками: 188. оззамазгаггаз4. 189. ааагзаззагзагглз4. 190. аггаззамаггаггагзазг. 191. аззагзаггггг7агзазга44.
192. а,гагзаы ... а„, „азг, 1 «(й «~ и. 193. аггггю ... а„, „вин 194. Лггпггпзгогз ° . пга-ь г "г,гз-г- 198. вппг. пз,з-г ° ° оюг. 196. агзп7пазга4заззаз4 .. азл-г, ззпз -1, зз-1пзп. з -г. 197. Выбрать значения 1 и й так, чтобы произведение аюамаз,агза4заг, входило в определитель 6-го порядка со знаком минус. 198. Выбрать значения 7 и й так, чтобы произведение п47обзо!гояпгзпггоы входило в определитель 7-го порядка со знаком плюс.
199. Найти члены определителя 4-го порядка, содержащие влемент азг и входящие в определитель со знаком плюс. 200, Найти члены определителя бх 1 2 3 х х 1 2 1 2 х 3 . содержащие х' и хз. х 1 2 2х О О ... О О ... О азг азз . ° О пп 47м ОЗ1 азп а„г аз ° ..
а„„ в котором все влементы по одну сторону от главной диагонали равны: 4Улю. 201. С каким знаком входит в определитель порядка и проиаведение элементов главной диагоналку 202. С каким знаком входит в определитель порядка л произведение влементов побочной диагонали? 203. Пользуясь только определением, вычислить определитель 1ЭМ-210 отдел е опведелители 204.
Пользуясь только опрелелеиием, вычислить определитель О ... О О ага О ... О аьл г азл О ... аз„„з аз,„, азл ал1 ° л. л-э л, л-1 алл в котором все элемеиты по одну сторону от побочной диагонали равны пулю. 205. Пользуясь только определением, вычислить определитель ап ам а1з аи вы аз, алл аю аы ам "3! азт ам а,п О О О аз1 аш О 0 О 200. Доказать, что если в определителе порядка и на пересечении некоторых А строк и 1 столбцов стоит элементы, равные нулю, причем А + 1,» л, то определитель равен нулю. 207в.
Решить уравнение 1 х хз ... хл а аз . ал 1 а. аз з... а" 1 а аз ал л л '* л где ао ат... „а„— различные числа. 208. Решить уравнение 1 1 1 ... 1 1 1 — х 1 ... 1 1 1 2 — х... 1 1 1 1 ...а — х 209. Найти элемент определителя порядка а, симметричный элеиеиту ага относительно побочной диагонали. 210. Найти элемент определителя порядка и, симметричный элеиеиту аы относительно «центра» определителя. 211 юж( ! з. Опгвделкпие и сяопстВА опгеделителеп 21!. Назовем место элемента агь определителя четным или нечетным, смотря по тому, будет ли сумма !+я четна или нечетна. Найти число элементов определители порядка л, стоящих на четных и на нечетных местах. 212. Как наменнтся определитель порядка п. если первый столбец переставить на последнее место.
а остальные столбцы передвинуть влево. сохраняя их расположеннег 213. Как изменится определитель порядка и, если его строки: написать в обратном порядке! 2!4. Как изменится определитель, если каждый его элемент заменять элементом, симметричным с данным относительно «центра». определителя. 2!бэ. Как изменится определитель. если каждый его элемент заменить элементом. симметричным с данным относительно побочной диагонали.
216э. Определитель называется лососям иеглрическим, если элементы, симметрично лежащие относительно главной диагонали, отличаются знаком. т. е. а,а — — — аы для любых индексов 1, к. Доказать, что кососимметрический определитель нечетного порядка и равен нулю. 217э. Доказать, что опрелелитель, элементы которого, симметрично лежашде относительно главной диагонали. являются сопряженными комплексными (в частности, действительными) числами, есть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
