И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Доказать, что квадратный трехчлен ахз+2Ьх+с с ком- плексными коэффициентами тогда и только тогда будет полным квадратом, если 41 — 63! $ ь ОпРеделители в ГО я в-гО пОРядкл 11 4!. Доказать, что при действительных а, Ь, с, г7 корни уравнеа — х с+-~И вЂ” О будут действительными. с — а Ь вЂ” х 42ь. Показать, что значение дроби —, где по крайней мере ах+ ь сх+л ' одно из чисел с. 0 отлично от нуля, тогда и только тогда не завил Ь сит от значения х, когда =О. с Вычислить определители 3-го порядка: 3 2 1 2 5 3 3 4 2 2 1 3 5 3 2 1 4 3 4 — 3 5 3 — 2 8 1 — 7 — 5 3 4 — 5 8 7 — 2 2 — 1 8 46.
3 2 — 4 4 1 — 2 5 2 — 3 4 2 — 1 5 3 — 2 3 2 — 1 1 1 1 1 2 3 1 3 6 60. О 1 1 1 О 1 1 1 О 61.!5 8 3 О 1 О 7 4 5 63. 1 ! 1 4 5 9 16 25 81 а Ь с с а Ь Ь с а 68. О а' О Ь с О е О 69. а х х х Ь х х х с аз+ 1 аР ау аР Рв+1 Ру ау РУ !4+1 60. 61. в!Еав!ЕР сова в1п Р совР 68. в!па сова 1 ьйпР совР 1 в!и у сову 1 2 О '3 7 1 6 6 О 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 а+х х х х Ь+х х х х с+х сова в!па совР— в!па совасовРΠ— в!ЕР 1 5 25 1 7 49 1 8 64 а Ь с Ь с а с а Ь 134 — 73 ОТДЕЛ 1. ОПРЕДБЛИТЕЛИ 12 64.
При каком условии справедливо равенство: сова созб О сову сову О 1 сова созб сова 1 соя у совр сову 1 соз а соя 6 бб. Показать, что определитель ая Ьз!па ссбпа Ьз!па 1 сова ся!па сова 1 О 1+! 1 1 х а+ Ь1 с+А а — Ь! у е+уг с — ~й е — ~7 1 е е2 63, 1 ЬгЗ где е= — —,-+1 —. 2 2 зя 1 1 ! е 2 . 2 где е = сов —. л+ ! ай и — пь 3 3 1 1 Е2 е' е 1 1 1 1 1 е ея 1 е2е 70. 4 .. 4 где с=соя — л+ся!п — и. 3 71, Локазать, что если все элементы определителя 3-го порядка равны + 1, то сам определитель будет четным числом.
72е. Найти наибольшее значение, которое может принимать определитель 3-го порядка, при условии, что все его элементы равны х 1. 73в. Найти наибольшее значение определителя 3-го порядка при гсловии, что его элементы равны + 1 или О. Пользуясь определителями, решить системы уравнений: 74.
2х+Зу+бе= — 10, 7б. бх — бу+4Е=З. Зх+ 7у+4з = 3. Зх — Зу+ 2х = 2, х+ 2у+ 2х = 3. 4х — бу+ 2х = 1. и даа других определителя, полученных из данного круговой перестановкой элементов а. Ь, с и а, р, у, равны нулю, если а. Ь, с— длины сторон треутольника и а, р, у — его углы, противолежащие соответственно сторонам а, Ь, с. Вычислить определители 3-го порядка, в которых 1 =ф~ — 1: 70-911 Ь Ь ОПяидвпнтВЛИ З-ГО я З-ГО ПОГядКа 76. 4х — Зу+2г+.4 =О, 77.
5х+2у+-Зг+- 2 =О, бх — 2у-+Зг+1 =О, 2х — 2у+5г =О, 5х — Зу+2г+3 = О. Зх+4у+2г+ 10=0. 13 — — — +2=0, х у Ь 2у Зг — — + — — 1=0, Ь 79. 2ах — ЗЬу-+сг =О, 78Я Зах — 8Ьу+ 5сг = 2аЬс, х г — + — = О. а с 5ах — 4Ьу-+ 2сг =Забс, где аЬс чь О. 80е. 4Ьсх-+ асу — 2абг =О. ЗЬсх+ Засу — 4аЬг+ аЬс = О, ЗЬсх+2асу — аЬг — 4аЬс=О, где аЬс чь О. 81*. Решить систему уравнений: х+ у+ г=а. х+ ву+езг=Ь. (е — отличное от 1 значение)/1.) х+езу+ ел=с.
Исследовать. будет система уравнений определенна, неопределенна или противоречива: 82. 2х — Зу+ г=2. 88. 4х+-Зу+2г=1, Зх — 5у-4-бг = 3„ х+Зу+5г = 1, Зх †. 8у+ бг= 5. Зх+бу+ 9г = 2. 84. 5х — бу+ г= — 4, 65. 2х — у+Зг 4. Зх — бу — 2г = 3, Зх — 2у+ 2г = 3, 2х — у+ Зг = 5. 5х — 4у = 2. 86. 2ах — 23у+29г=4, 87. ах — Зу-+За=4. 7х.+ ау+ 4г = 7, х — ау+ Зг = 2, бх+ 2у+- аз=5. 9х — 7у+- Заг = О. 88. ах+4у+с=О, 89. ах+2г=2, 2у+Зг — 1 = 0, бх + 2у = 1, Зх — Ьг+2 = О.
х — 2у+Ьг =3. Путем прямого вычисления по правилу треугольников, нли пра- вилу Саррюса. показать следующие свойства опоеделителей З-го. порядка: 90. Если в определителе 3-го порядка поменять ролями строки и столбцы (т. е., как говорят, транспонировать его матрицу)„ то определитель не изменится. 91. Если все злементы какой-нибудь строки (или столбца) равны нулю, то и сзм определительравен нулю.
14 ОТДЕЛ Ь ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 192 !О! 92. Если все элементы какой-нибудь строки (или столбца) определителя умножить на одно и то же число. то и весь определитель умножится на это число. 98. Если переставить две строки (или двз столбца) определителя, то он изменит знак. 94. Если две строки (или два столбца) определителя одинаковы. то он равен нулю.
96. Если все элементы одной строки пропорциональны соответствующим элементам другой строки, то определитель равен нулю (то же верно и для столбцов). 96. Если каждый элемент некоторой строки определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме данной, прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые. а во втором — вторые слагаемые (то же верно н для столбцов).
97. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится (то же верно и для столбцов). 98. Говорят, что одна строка определителя является линейной комбинапией остальных строк, если каждый элемент втой строки равен сумме произведений соответствующих злементов остальных строк на некоторые числа, постоянные лля каждой строки, т. е. не зависящие от номера элемента в строке. Аналогично определяется линейная комбинация столбцов. Например: третьи строка определителя ан аж а~з ам аю аю аз! аю аж бина ней пе вых будет линейной ком ц р двух, если существуют два числа с, и ся такие, что ах у — — с!а! 1+сяаз1 (1=1.
2. 3). Доказать, что если одна строка (столбец) определителя 3-го порядка является линейной комбинацией остальных строк (столбцов), го определитель равен нулю. Замечание. Справедливо также обратное утверждение, но оно вытекает иа дальнейшего развития теории определителей. 99в. Пользуясь предыдущей задачей, показать на примере, что в отличие от определителей 2-го порядка (см. задачу 38) для равенства нулю определителя 3-го порядка пропорциональность двух строк !Ели столбцов) уже не является необходимой. Пользуясь свойствами определителей 3-го порядка, указанными в задачах 91 — 98, вычислить следующие определители." з!Лап 1 созаа з!пай 1 сова 8 з!Лгу 1 соз'у 101. з!ЕЯ а соз 2а сова а з!Етб соз29 сова 8 а!па 7 соа 27 сова 7 16 з 1.
оппзднпители з.го «з-го попядкл 162-116! (а1 + Ь1) а1+ Ь1 аА (аз+ Ьз) аз+ Ьз ~М2 (аз+ Ьз) аз+ Ьз азЬ« ах+ Ьх' ау+ Ьу' ах+ Ьг' (а«+ а )з (ૠ— а ")з 1 (ь" +ь-')' (ь' ь-')' (с«+с ')з (с' — с «)з 1 106. с 1 104. Ь 1 106. , где е — отличное от 1 значение )'1. в1па сова в1п(а+6) в1п6 соль в1п(6+6) в1пу саву в1п(у+6) 107. 108. а +Ь11 а! — Ь, с, а, + Ьзг аз! — Ь, св ,+Ьзг а,1 — Ь, с, где 1=ф~ — 1. Х1 (дать геометрическое истолкование полученного результата), хз х,+Ах« 1+1 !10'.
а 6 у 6уа у а , где а, 6, у — корни уравнения хз+-рх+а=О. Не развертывая определителей, доказать следующие тождества: а, Ь, а,х-+Ь,у+с1 аз Ьз азх+Ьзу+се аз Ьз азх+ Ьзу+ сз 111. с, сз а +Ьх а,— Ьх с, аз+ Ьзх ав — Ьзх сз аз+ Ьзх аз — Ьзх сз 112. а1 а,+Ь,! а,1+Ь, с, аз+ Ь1 аФ+Ьз сз аз+ Ьзг аз«+ Ьз сз ! 13. а1 ь1 ав Ьз а ь с, сз сз х х' у у з г' а+Ь Ь+с с+а 1 е з ез 1 у 1 у,+Лу, 1+А а1 ь1 аз Ьв а, ь Ь, с, Ьз сз Ьз сз 1114-!26 ОТДЕЛ Ь ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1б =(1 — лз) азл+Ь, с, азх+ Ьз сз азх+ Ьз сз а, Ь, с, аз Ь сз аз Ьз сз ! 14.
116. = (Ь вЂ” а)(с — а) (с — Ь). 116, = (Ь вЂ” а) (с — аНс — Ь). 117. 116. 1ааз 1 Ь Ьз =(аз+Ьз+сз+аЬ+ас+ЬЕНЬ вЂ” аНс — аНс — Ь). с сз 1 а Ь 1 а аз 1 Ь Ьз с 1 Ь са 1 с аЬ 1 с с' 121 а аз 1 а =(а+Ь+с) 1 Ь 1 с 1 1 Ь Ьз 1 1 а2 аз ! Ь2 Ьз с2 122. а а Ь Ьз с сз =(аЬ+-Ьс+ са) 1 1 1 сз сз $ 2. Перестановки и подстановки Определить число инверсий в перестановках (за исходное расположение всегда, если нет особых указаний, принимается расположе иие 1, 2, 3, ...
в возрастающем порядке): 123. 2, 3. 5, 4. 1. 124. 6, 3, 1, 2. 5, 4. 125. 1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8. 126. У, 5, 6, 4, 1, 3, 2. а,+Ьпе а+Ь а +Ьзл 1 а Ьс 1 Ь са 1 с аЬ 1 а аз Ь Ь 1 с сз 1 1 1 а Ь с аз Ьз сз 1 1 1 а' Ьз с' аз Ьз сз = (а+- Ь+ с) (Ь вЂ” а) (с — а) (с — Ь). = (аЬ+ ас+ ЬЕНЬ вЂ” а) (с — а) (с — Ь). 17 127 — И51 аз. пеРестАнОВки и пОдстАновки 127.
1, 3, 5, 7, ..., 2и — 1, 2, 4, 6, 8, ..., 2и. 128. 2, 4, 6, ..., 2и, 1, 3, 5, ..., 2и — 1. В следующих перестановках определить число инверсий и указать общий признак тех чисел п. для которых вта перестановка четна, и тех, для которых она нечетна: 129. 1. 4, 7,..., Зп — 2, 2, 5, 8, ..., Зп — 1, 3, 6. 9, .... Зп. 130. 3, 6, 9,..., Зп, 2, 5, 8,..., Зп — 1, 1, 4, 7,..., Зи — 2. 13!.
2, 5, 8..... Зп — 1, 3, 6, 9,..., Зи, 1, 4, 7,..., Зп — 2. 132. 2, 5, 8,..., Зп — 1, 1. 4, 7... Зп — 2, 3, 6, 9, ..., Зи. !33. 1, 5, .... 4и — 3. 2, 6, ..., 4и — 2, 3, 7, ..., 4и — 1. 4,8,...,4и. 134.1, 5,...,4п — 3. 3, 7,,... 4п — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
