И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть в определителе О порядка а выделены Ь строк и 4 столбцов. причем 1 (А и все элементы выделенных 1 столбцов. не лежащие в выделенных А строках, равны нулю. Показать, что в разложении Лапласа определителя П по выделенным А строкам нужно брать только те миноры порядка А, которые содержат выделенные Г столбцов; утверждение, полученное переменой роли строк н столбцов, также верно. 467. Пользуясь теоремой Лапласа. решить задачу 206.
468. Доказать, что фф) а з. мннопьь алгиввлнчвскнв дополнвния 469е. Вычислить определитель порядка Ь.+1: 61 А строк, 0 0 .. 1 3 2 0 О 2 5 3 1 строк. 460. Написать разложение континуанты !сравнить с задачей 420) порядка м (ап ам ..,. а„)= 0000...— 1а„ по первым А строкам. Какое свойство чисел Фибоначчи !задача 365) получается отсюда при п=2И 461. Не раскрывая скобок, доказать. что равенство (аЬ' — а'Ь) (сй' — с'сГ) — !ос' — а'с) !Ьг1' — Ь'гг) + + (пг1' — а'д) (Ьс' — Ь'с) = 0 справедливо при любых значениях а, Ь, с.
А а', Ь', с'. с!'. 462е. В матрице содержащей и строк и 2л столбцов. берем любой минор М порядка и, содержащий. по крайней мере, половину столбцов левой половины матрицы.. Пусть е — сумма номеров столбцов минора М и пусть М' — минор порядка и, составленный из остальных столбцов матрицы. Доказать, что Х( — 1)' ММ'= О. где сумма берется по всем минорам М указанного типа. 3 2 0 0 1 3 2 0 0 1 3 2 0 0 О 0 О 0 О 0 0 0 0 0 0 0 0 О О 0 0 О 0 0 0 0 2 5 3 0 0 2 5 3 0 0 2 5 а, 1 0 О ...
— 1 аа 1 0... Π— 1 а. 0 0 0 0 0 0 1463-469 отдел 1. ОПРвлелители 46ое. Показать. что а,х, й1У! азу! а,х, хз хз б1 У! Уз Уз Ьз г! Яз ХЗ бз!12 !) связзыы рз венством В= 4640. Пусть )' (х) = аз+ а,х.+ азхз+ азхз+ азх4, К (Х) = бО+ о!Х+ от«з+ йз" + й4Х ° Ь (х) сО+ С1х+ С2 С + СЗХ + с4Х4 (х — а)(х — р)(х — у)=хз+ рхз+йх+ г. Показать, что! а4 О4 ао ьо 1 а аз 1арз ° 1 т ~ (а) ~ (р) Г (у) й(а) д'(р) й(у) А(а) л(р) й(у) С4 О СО О т 4 Р 1 46б. Говорят, что определитель аи ... а,„хп ... х,з ал! ° ° ° алл «л1 ° ° ° Хля уп ...
Угл О ... О у„,...ул О ... О получен окяймлением при помощи А строк и и столбцов иа опреде лителя ап Ь= ай...ал ') Обобщение етого свойства дано в задаче 546. три определителя Ьзх, а,хз Ь1хз б2'г! а2Х2 ~2«2 61У! а!У2 Ь!уз озу! йзуз бзуз 61Х1 а1хз й1я2 бзя1 азяз Ьзгз а,хз бзхз азхз йзхз а!Уз й1уз азуз бзуз й!Хз о!хз а2яз бзяз а! йз аз бз бз С, Сз Сз д р 1 четная. и е = — 1, если эта подстановка нечетная, то определитель О равен сумме всевозможных произведений такого вида.
То. что это утверждение обобщает теорему Лапласа, следует из задачи 424. ф 7. Умножение определителей 467. Перемножить определители 1 2 3 3 4 2 4 б 4 2 — 3 1 и 1 — 4 3 1 — б 2 всеми четырьмя возможными способами 1т. е. умножая строки или столбцы первого определителя на строки или столбцы второго) и 466-467! 6 т. кмножвнив опэвдилитилвп 63 Покавать. что при й ) л О=О, а при л (л О является формой (т. е. однородным многочленом) стецени и — л относительно элементов а~1 определителя Ь и формой степени 2А относительно окаймляющих элементов х,1. Уйп коэффициентами котоРой слУжат алгебРаические дополнения миноров й-го порядка в определителе Ь. Л именно, доказать, что О = 1 — 1)"лАг ~, ...,„1 1 ..
1„Х~,г, л У1,1 ... 1, где А, г г 1 1 ... У есть алгебРаическое дополнение миноРа опРедеди" а~а - з лителя Ь, стоящего в строках с номерами 1,, 1э, ..., 1„и в столбцах с комерами Л, гз, ..., Ь„а Хг г ...~ и УЛ~ ...у — миноры определителя О. составленные из окаймляющих элементов и лежащие в строках (соответственно столбцах) с указанными номерами. При этом сумма берется по всем комбинациям индексов. изменяющихся от единицы до л при условии, что 1, (гз( ... (1„, А( /э< ... ( 1а. 466з.
Доказать следующее обобщение теоремы Лапласа: если строки определителя л-го порядка О разбить на р систем без общих строк, причем в первую систему входят строки с номерами а, ( аз (... ( аа. во вторую — строки с покерами аз+, (аз+э( ... (аз+~ и т. д., наконец, в последнюю — строки с номерами а„,+, ( а„,+а(... <а„. если аатем в матрице первой системы строк взять минор М, порядка А. лежащий в столбцах с номерами 3, (3 ( ...
< 3з, во второй матрице минор Мз порядка 1, лежащий в столбцах с номерами ба+, ( 5а+а ( ... ( ба+о отличными от номеров столбцов Мэ и т. д., наконец. в последйей матрице — минор Мр порядка г, лежащий в оставшихся столбцах с номерами 6„,+, < 6„,+,«... р„, и если затем составим произведение еМаМа... М, где в=+1, если подстановка отдел и опееделители проверить, что во всех случаях значение полученного определителя равно произведению значений данных определителей. 488.
Вычислить определитель а Ь с — Ь а Ы вЂ” с — с — с( а Ь вЂ” И с — Ь а путем возвышения его в квадрат. 489. Вычислить определитель — — й' — Ь а е — Ь л' — Ь Ь е — У с — д у' е — с( путем возвышения его в квадрат. Вычислить следующие определители, представляя их в виде произведений определителей: 1 +х,у, 1.+ х,у, ... 1 + х,у„ 1+хзу, 1+хзуз ... 1+ху„ 1+хпУ1 1+хлуз ° » 1+ хлул соз(а,— Ь,) соз(а,— Рт) ...
соз(а,— Р„) соз(аз — Ь,) соз(аз — Ьз) ... соз(а — р„) 471. соз(а„— Р,) соз (а„— Рз) ... сов(а„— й„) 1 соз(а, — оя) соз(а, — а,)... соз(а — а„) соз(а,— пя) 1 соз(аз — аз)... соз(ая — а„) сов(а, — аз) соз(аз — аз) 1 ... соз(о — о,„) соз(а,— а„) соз(аз — а„) соз(аз — а„)... 1 з)п2а, з)п(а,+аз) ...
з1п(а,+а„) з1п(пя+а1) з1п2аз ... з!п(аз+а ) 473. з1п(а„-(-а,) з|п(а„+ат) ... з1п2а„ а Ь с — Ь а а — с — с — а а Ь вЂ” с( с — Ь а е У 4 — е — Л Ь вЂ” е Ь вЂ” д Ь с 474-47Щ 474. $7. умножение Оппеделителей 1 апзп 1 альп а!зли 1 — а,зп " ' 1 — а!З„ лезл 1 пел 1 —,Ь, " 1 —,З„ 1 — л!3! лзл 1 — а,з, 1 — иле! 1 ай з2 1 алел 1 — апз! 1 — а„Ь! ' ' 1 — а„Ь„ (ао+Ьо)п (, +Ь,)л ... (а, +Ь.)п (а, + Ьз)п (а, + Ь,)л ...
(а, + Ьп)л (ал+Ьс)" (ал+Ь1)л ... (ап+Ьл)п 1л-1 лл-1 и-1 Ю йи- йп- (а ( 1)лал (а+ 1)п ... (2а — 1)п 476з гз 81 22 * ° ° гл-! гз гз ° ° ° гз 84 ''' ел+1 , где гз —— х",+х" + ... +хз. гл-1 гл Ел+1 ' ' 82л-2 47ве. го 81 зз ' гл-1 81 82 82 гз гз ... гп х 84 ° ° ° Ел+1 хз , где 8 =хз+хзл-)-... +хз. гл 8п+1 Ел+2 ° ° ° 82и-1 хп 4798.
Доказать, что значение циркуляита определяется равенством аз ЕЗ ° ° ° ал ал а, аз ... ал , ал, ап а,, ал 2 =У(Е!)У(Е2) ° ° ° 2 (Ел) ааза...а, где У(х)=а,+азх+ азхз+ ... +-алхл-! и е,, ез...., ел — все значения корня а-й.степени из единицы. а, аз а, ... ал аз аз ° ° ° с1 аз а4 аз ° ° аз 1л- 1144-21 =( — 1) ' У(е1) У(ез) ... У(е„). ал а, аз ... ал , 481е. Вычислить определитель 1 а ад ... ал ' ил †1 а ил †ап-2 Пл-1 ! Пп-д а ад аз ...
1 482. Пользуясь реаультатом задачи 479, вычислить определитель а Ь ... Ь Ь Ь ...а 488. Пользуясь результатом задачи 479, вычислить определитель а Ь с а1 Н а Ь с с 0 а Ь Ь с а а Вычислить определители: Сл — 1 л Сл-2 и Сл-1 Сп-2 л Сп-1 л Сл Сл С„ . 1 2а Заз иал 1 1 2а 1 1 Иап-1 1) ал-2 (и 2а Зад 4аз 66 ОТДЕЛ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1460-48$ 480. Доказать. что прн обозначениях предыаушей задачи =( — 1) (л — 1) (р столбцов) (л — р столбцов) 487в. (л — р столбцов) (р столбцов) 488в. 2л сов— л Зл сов— 489в. л сов— л (л — !) л 2л сов — ... сов л и сов— л л (л — 2) л (л — 1) и сов л сов — ...
сов л л савв л в!п(а+Ь) в!п(а+2Ь)...в!п]а+(л — 1)Ь] яп а в!п(а+ Ь)...в!п ]а+(л-2) Ь] 491. япа в(п ]а+(л — 1) Ь] в!п(а+ Ь) яп (а+2Ь) в!п(а+ЗЬ)... в!па 486-491] ф 7. умнОЖенИе Онаеделителей 486в. Докавать равенство в — й| 8 — йв ° ° ° в — йл ал и а1 в йл-! в — ав в — аа... а — а, где в=а,+от+ ... +а„. Вычислить определители: а а а ... а Ь Ь ...
Ь Ь Ь а а ... а а Ь ... Ь Ь Ь Ь а ... а а а ... Ь Ь а а а ... Ь Ь Ь ... Ь а 2л Зл 4л сов — сов — сов — ... л л л сов 6 сов 20 сов ЗО ... сов лО совлО совО сов20 ... сов(л — 1)0 сов20 совЗО сов40 ... совО а,а...й„ ал а1 ал-1 ° йв йа . й1 ОТДЕЛ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ б8 [492 — 497 12 22 32 ...
из из 12 22 ... (и — 1)2 (и — 1)2 из 12 ... (и — 2)2 22 32 42 ... 12 493е. Вычислить косой циркулянт (или косоциклический определитель) а, аз аз .. йл — ал а, а2 ' ' 1"л-1 — а„, — ал а, ...аз 2 с!2 аз а4 494. а, йз аЗ ал алв а, аз ... ал а„ !г алх а, ... а„ 3 азе асс азс ... а, . где с — любое число. 495е. Доказать, что циркулянт порядка 2и с первой строкой из ЗЛЕМЕНтОВ а,, аз, .... азл,, азл РаВЕН ПРОНЗВЕДЕНИЮ ЦИРКУЛЯНта ПО- рядка и с первой строкой иа злементов а, +аллы аз+аз+2, ..., а, +аз„ и косого циркулянта порядка и с первой строкой из зле- менТОЕ й! аз+1 йз ил+2 ''' йл йзл' 496*. Перемножая два определителя У1 Уг Уз У4 Х, Хз Хз х, — х, — х, Уз У! — УЗ ХЗ ХЗ Х4 — Х! — Х2 УЭ У4 У1 У2 — х, У4 — Уз Уз — У! ХЗ вЂ” ХЗ Хз доказать тождество Эйлера: ( 1+ 2+ 3+ 4)1У1+ Уз+ УЗ+ У41 = (х1У! + хзуз+ хзУз+ х4У4) +(хгУЗ вЂ” хзУ, — хзу4+ ХЗУЗ)2+ +(х!Уз+ хтУ4 — хзуг хзуз) +(х!У4 — хзуз+ хзуз — ХЗУ!)2.
Какое свойство целых чисел отсюда вытекает? 497е. С помо!пью умножения определителей доказать тождество (аз+ Ьз+ с' — ЗаЬс) (а' + Ь' +с' — Зй'Ь'с') =- Аз.+ ВЗ+Сз — 3АВС, где А=аа" +Ьс'+сЬ', В=ас'+ЬЬ'-+си', С=-аЬ'+Ьа'+се'. Какое свойство целых чисел отсюда вытекает? $7. УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 498е. При обозначениях предыдущей задачи доказать тождество (аз+ Ьз + сз — аЬ вЂ” ас — Ьс) (а' + Ь + с' — а Ь' — а с' — Ьс ) = = Ат+-Вз+ Сз — А — АС вЂ” ВС. 499е. Доказать следующее обобщение теоремы об умножении определителей.
Пусть даны две матрицы ап ага ... а1л Ьн аи аы ° .. аз В Ьгп Ь„... Ьгл Ьш ' ' Ьял Э Ь Ьт . ° Ьтл плм отл каждая из т строк и а столбцов. Комбинируя строки одной матрицы сы — — ~ а, Ь „ составим определитель л-1 со строками другой, полагая т-го порядка сп сзз ...
Сзт си сзз ' ', стт С,„З ... Стт Далее обозначим через Аз, г ... з и В; г,..., ~ соответственно миноры т-го порядка матриц А и В. составленные из столбцов этих матриц с номерами 1о тт, ..., 1т в том же порядке. Тогда И= ", А,,,В;, (1) 1<с су < ... тз,ел ! Я '" т при т ~(л (формула Бина — Коши), т. е. определитель с) равен сумме проиаведений всех миноров порядка ш матрицы А на соответствующие миноры матрицы В. При и) а 1) =О. (2) 500е. Доказать утверждение (2) предыдущей ввдачи, пользуясь теоремой об умножении определителей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
