И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 4
Текст из файла (страница 4)
число действительное. 218. При каких значениях л все определители порядка п. элементы которых удовлетворяют условиям (а) а!а — действительное число при г' ) А, (б) аь, = (а а при г')~ я(с ='!( — 1). будут действительпымиР 2!9. При каких а все определители порядка и, элементы которых удовлетворяют условиям (а) и ф) предыдущей задачи. будут. чисто мнимыми? 220. Показать, что при нечетном п все определители порядка и. элементы которых удовлетворяют условиям (а) и (б) задачи 218, имеют вид а (1 + 1), где а — число действительное.
221. Как изменится определитель порядка и, если у всех его элементов иаменить знак на противоположныйг 222э. Как иаменитса опРеделитель. если каждый его влемент амг умножить на с~ а. где счьО? 223э. Докааать. что в каждый член определителя входит четное- число элементов. занимающих нечетное место; элементов же, занимающих четное место. входит четное число.
если определитель четного« порядка, и нечетное число, если определитель нечетного порядка. 1224-235 ОТДЕЛ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 224а. Доказать, что определитель не изменится, если изменить знак всех элементов на нечетных местах; если же изменить знак всех элементов на четных местах, то определитель не изменится. если он четного порядка, и изменит знак. если нечетного порядка. 226. Доказать, что опрелелитель не изменится. если к каждой строке, кроме последней, прибавить последующую строку. 226.
Доказать, что определитель не изменится, если к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец. 227. Доказать, что определитель не изменится. если из каждой строки. кроме послелней, вычесть все последующие строки. 228. Доказать, что определитель не изменится, если к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить все предыдущие столбцы. 229. Как изменится определитель, если из каждой строки, кроме последней, вычесть последующую строку. из последней строки вычесть прежнюю первую строкуу 236*.
Как изменится определитель, если к каждому столбцу. начиная со второго, прибавить предыдущий столбец и в то же время к первому прибавить последннйг 231. Как изменится определитель порядка л. если его матрицу повернуть на 90' вокруг «центра»г 232. Чему равен определитель. у которого сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерамиг' 233. Найти сумму всех определителей порядка л~~ 2, в каждом из которых в каждой строке и каждом столбце один элемент равен единице, а остальные равны нулю. Сколько всех таких определителейг 234. Найти сумму определителей порядка л)~ 2: Пга Л1а ..
П!а аэ1, ага, ... аэ1„ а1 а1 "' аа 1 1"аа Паа ° ° ° Лаа «де сумма берется по всем значениям а,, пз...., а„, независимо друг от друга изменяющимся от 1 до л. 236. Пусть все элементы определителя ац аж ... ага ам аю ... ава и являются целыми однозначными числами. Обозначим через 1',11 число, ваписанное цифрами 1-й строки определителя с сохранением их расположения (ага — число елиниц, аг „,— число десятков и т.
д.). Доказать, что значение определителя делится на наибольший общий ДЕЛнтЕЛЬ ЧИСЕЛ 1т'1. 1та, ..., 1;Га. 2за — 2441 $ з. ОпРелеление и сВОйстВА опРеделителей 236. Разлагая по 3-й строке, вычислить определитель 2 — 3 4 1 4 — 2 3 2 а Ь с г! 3 — 1 4 3 237. Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель 5 а 2 — 1 4 Ь 4 — 3 2 с 3 — 2 с! 5 — 4 4 Вычислить определители: а 3 0 5 0 Ь 0 2 1 2 с 3 0 0 0 х а Ь 0 с 1 0 2 а 2 0 Ь 0 3 с 4 5 И 0 0 О О у О О ! 0 е в 0 К Ь Ь и ! 0 0 0 0 о а Ь с 1 Ь с а 1 Ь 1 — 1 а+а 2 с а а+с с+а Не развертывая определителей, доказать следующие тождества: 244*. 0 х у х х 0 х у у х О х 0 0 1 1 0 1 г2 у2 1 1 яя у2 0 х2 х' 0 241, Пусть М,! — минор элемента аг1 определителя О.
Показать, что если й — симметрический определитель или кососимметрический определитель нечетного порядка, то М21 — — Мт, если же А2 — косо- симметрический определитель четного порядка. то М,! — — — М1Р 242. Пусть й — определитель порядка а) 1. 1У и В" — определители, полученные из с2 заменой каждого элемента аг! на его алгебраическое дополнение А,! для П' и на его минор М,! для й". Доказать, что П'= 1У'. Определитель В' называется взаимным (илн присоединенным) к В. О выражении 1Э' через О см.
задачу 506. 243. Вычислить следующий определитель, не развертывая его: отдал ь опвидклитвли а2 !л-2 ил ! 1 '' 1 1 и а2 ал-2 ал 2 г г 24бе. 1 а аг ал-2 аи л и''' л л 1 а аг ... ал-2 ал-' 1 1 '' 1 1 ,г д2 ал-2 ал-1 2 ''' 2 2 = (а1-+ а .+ ... -]- ал) д дй ал-й аи-1 а а2 ... а1 1 1 1 ''' 1 1 а аг ... а'-' 2 2 ' ' 2 аЬ11 ... ал 1 ''' 1 а!+1 ал 2 '' 2 1 а аг ... а'-' а'+' ... ал 1 а аг ... ал-' 1 1 ' 1 1 а ай ...
ал-' 2 2 ''' 2 12! "! '" "л-! д а2 дл-1 и л '' л чисел 1, 2, 3, ..., д где сумма берется по всем сочетаниям иа и по д — !. Пользуясь свойствами определителей. строке или сголбпу. доказать тождества: включая разложение по а — р соз— 2 247е. савв 2 у — а сов — з— = — ]з!п(р — а)]-з!п(у — р)+ з!п(а — у)]. 1 з!пга и!па сова соз'а з!пг р з!и р сов]! созг р з!пгу з!пу сову созгу =з!п(а — р) сова совр+з!п(р — у) совр сазу+з!п(у-а) сазу сова.
(а+ Ь)2 сй сг аг (Ь+ с)2 аг Ьг Ьг (с + а)2 = 2аЬс (а+Ь+с)з. з!и— о+р 2 з!и— 5+у 2 у+о 2!и†2 савв а+р 2 соз— Р+у 2 соз— у+о 2 В В ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 250 — 250[ 200. 1 — 1 а+у 1 — 1 6+у 1 — 1 с+у (а — 6) (а — с) (6 — с) (х — у) 1 1 1 а+х а+у а+х 1 1 ! 6+х 6+у 6+с 1 1 1 с+х с+у с+х (а — 6) (а — е) (6 — с) (х — у) (х — в) (у — х) (а -[- х) (6-[- х) (с -[- х) (а + у) (6+ у) (с + у) (а + х) (6+ х) (с + г) аз+(1 — ав) соз ср аЬ (1 — сов ~р) ас (1 — сов ср) Ьа(1 — сов!р) Ьв+(! — Ьв)совср Ьс(1 — совср) еа (1 — соз ср) сЬ (1 — соз ср) ез+(! — св) соз ьр =совз !р при аз+Ьз+сз=1. 263'з. совосов0 — в!П0в!П0совΠ— в!Посов0 — сазов!П0созО з!П0в!ПО сосо в!п 0+в!ив соз 0 сов 0 — з!п ~р з!и О+сов !р соз ф сов 0 — соз ф в!п О = 1 в!по в!п8 сов а в1п О соз 0 а Ь с — Ь а д — с — е — к( а — !( с — Ь а = (аз+ Ьв+ ев-[- ив)в.
О 1 1 а 1 О 1 Ь 1 1 О е а Ь с = ав + Ьз-+ св — 2аЬ вЂ” 2Ьс — 2ас+ 2!(- — 1 1 1 1 к — 1 )у 1 1 — 1 1 Е ! 1 1 — 1и х у я и Π— 4 [хв+уз+ ив+ из — 2 (ху+ хи+ хи + ух+уи.+хи)1- 1 а+х 1 6+х ! (а+х) (6+х) (с+х) (а+у) (6+у) (с+у)" отдел и опиидглители ф 4.
Вычисление определителей с числовыми элементами Вычислить определители: 257. 0111 101 1 1101 1110 263. 270. 7 3 2 8 — 9 4 7 — 2 7 б — 3 3 1 1 1 1 1 — 1 1 1 1 1 — 1 1 1 1 1 — 1 2 — 5 1 2 — 3 7 — 1 4 5 — 9 2 7 4 — 6 1 2 3 — 3 — 5 8 — 3 2 4 — 6 2 — б — 7 б -4 3 5 — 6 3 — 3 — 2 †2 б 4 6 5 5 8 7 4 4 5 6 3 — 5 2 — 4 — 3 4 — 5 3 — 5 7 — 7 5 8 — 8 б — 6 7 6 3 7 3 5 7 2 б 4 3 б 5 6 5 4 — 3 9 3 6 — 5 8 2 7 4 †— 3 — 2 7 — 8 — 4 — 5 2 — 5 4 3 3 — 4 7 5 4 — 9 8 5 — 3 2 — 53 3 — б — 2 2 — 4 7 44 4 — 9 — 3 7 2 — 6 — 3 2 3 2 2 2 9 — 8510 б — 85 8 6 — 54 7 6 — б 8 4 9 7 б 2 7 б 3 7 — 4 8 — 8 — 3 1 2 3 4 б 2 3 7 10 13 3 5 11 16 21 2 — 7 7 7 2 1 4 5 310 271 2731 4 а.
методы вычисления опгеделителей а-го псв япкл 29 272. 35 59 71 52 42 70 77 54 3 6 564 5 9 786 6 12 13 9 7 4 6 654 43 68 72 52 29 49 65 50 2 5 4 5 3 27 44 40 55 20 64 21 40 24 11 13 17 19 51 13 32 40 46 274. 13 — 20 — 13 24 46 45 — 55 84 61 11 !4 50 56 62 20 7 13 52 80 24 45 57 70 3 9 3 — — — — — — 3 2 2 2 1 5 3 2 2 3 5 2 276е. 5 3 2 7 3 3 3 3 3 — 12 4 5 3 3 2 3 2 9 3 2 7 — 8 — 4 — 5 1 7 3 1 — 2 — — — 5 4 2 3 2 5 4 4 6 3 3 14 3 2 4 1 5 5 2 12 ф Б.
Методы вычисления определителей и-го порядка Введение. Метод вычнслення определителей с чнсловымн влементами, состоящнй в обращении в нуль всех алементов некоторой строки (столбца), кроме одного, н последующем понижении порядка, становится весьма громоздким в случае определителей ланного порядка с буквеннымн алементамн. Этот путь в общем случае приводит к выраженню, которое получается вычнсленнем определители прямым прнмененнем его определения. 1/2 1/3 1/ 6 1/21 1/10 21/15 2 2$/6 1/5 $/3 '$/!Π— 2 1/3 5 1/6 ф~!О 1/15 5 15 4 5 5 2 1 3 7 7 отдел г. Опвндвдитнпм Тем более зтот метод неудобен в случае определителя с буквенными нлп числовыми элементами и произвольным порядком л.
Общего метода для вычисления таких определителей не существует (если не считать выражения определителя, данного в его определении). К определителям того или иного специального вида применяются различные методы вычислениц приводящие к выражениям, более простым (т. е. содержащим меньшее число действий), чем выражение определителя по определению. Р!ы разберем некоторые, наиболее употребительные из зтих методов, затем дадим задачи на каждый из зтих методов для нк усвоения и задачи, где учащийся сам должен выбрать метод решения. Для удобства приеитацик в материале задачи, связанные с теоремой Лапласа и умножением определителей выделены в отдельные параграфы. 1. Метод приведения к треугольному виду.
Этот метод заключается в преобразовании определителя к такому виду, где все злементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю. Случай побочной диагонали путем изменения порядка строк (или столбцов) на обратный сводится на случай главной диагонали. Полученный определитель равен произведению злементав главной диагонали. Пример 1.
Вычислить определитель порядка л: 1 ! 1 ... 1 1 О 1 ... 1 1 1 О ... 1 1 1 1 ... О Вычитаем первую строку из всея остальных: 1 1 1 ... 1 Π— ! О ... ΠΠΠ— 1 ... О О О О...— 1 Пример 2. Вычислить определитель а, х х ... х х ат х ... х х х аз .. х х х х ...
а„ Вычитаем первую строку из всех остальныж а, х х ... х х — и, пт — х О ... О х — а, О аз — х... О х — а~ О О ...ал — х а З. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕН л-ГО ПОРЯДКА 31 Из первого столбца выносим а, — х, из второю аз — х, ..., из и-гав а„— х: а, х х х а,— х а,— х ~ — х "'а„— х — 1 1 О ... О Р =(а, — х)(а,— х)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
