И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 7
Текст из файла (страница 7)
О Ь О а...Ь 0 (порядок определителя равен 2а). 333 — 371] % З. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛНтЕЛЕН л ГО ПОРЯДКА 47 865». Рядом Фибоначчн') называется числовой ряд, который на» чинается числамн 1, 2 и в котором каждое слеауюшее число равно сумме двух предыдуших. т. е. ряд 1. 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Докааать, что л-й член ряда Фибоначчи равен определител1О и-го порядка: 1 1 0 0 ... 0 0 — 1 1 1 0 ... 0 0 0 — 1 1 1 ° ° ° О О 0 0 0 0 ... — 1 1 Вычислить определители: 0 1 О 0 ... О 0 1 0 1 О ... 0 0 0 1 0 1 ... 0 О 0 0 0 0 ...
4 9 0 0 0 О ... 1 0 0 1 0 О ... 0 0 — 1 0 1 0 ... 0 0 0 — 1 О 1 ... 0 О 0 0 0 0 ... — 1 0 100...00 0 0 О 0 ... 1 а оказать равенство = соева. 0 0 0 О ... 1 2соза ') Г1Ьопасс1 †итальянск математик ХШ века. 366. 9 5 0 0... 0 0 4950...00 0495...00 а 1 а 1 0 ... 0 0 0 1 а 1 ... 0 0 а 1 0 0 ... ΠΠ— 1 а 1 0 ... 0 0 0 — 1 а 1 ... 0 О 0 0 0 0 ... — 1 а 371е. Д созп 1 О О ... 0 1 2созн 1 0 ... О О 1 2созо 1 ... О 0 0 0 ОТДЕЛ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пользуясь зтнм результатом и результатом задачи выражение созна череа сова.
372. Доказать равенство: 0 0 ... 0 2 сова 1 1 2соза 1 0 ... 0 0 1 2 сова 1 ... 0 2«и па з!и а 0 0 0 О ... 1 2созп где определитель имеет порядок и — 1. Пользуясь зтим равенством и результатом задачи 369, представить з«пла в виде произведения з!па на многочлен от сова. 373з.
Доказать равенство. не вычисляя самих определителей: а, Ьс, 0 0 ...О 0 1 аз ьзсз 0 ... 0 0 0 1 аз Ьзсз ° ° ° О а, Ь, 0 0 ... 0 0 с, а2 Ь, О ... О О о с ь, ° ° ° о о 0 0 0 0 ... сл, ал Вычислить определители: 0 0 0 0 ... 1 ал 374. 1 +хз х 0 0 ... 0 х 1+хз х 0 ... 0 0 х 1-';хз х ... 0 0 0 0 0 ... х 1+ха 376. 1 2 3 ... и — 1 и 2 3 4 ... и 1 3 4 6 ... 1 2 и 1 2 ...
и — 2 и — 1 а а+ х а+2х...а+(и — 2) х и+(п — 1) х а+(и — 1)х а а+х...а+(и — З)х а+(п — 2)х а+(п — 2) х а+(и — 1) х а ...а+(п — 4) х а+(и — 3) х 376* а+х а+2х а+Зх...а+(и — 1)х а 377 х Х2 х ... хл-1 1 1 х Хл — 1 1 Хл-2 Хл-1 Хз ... Хл-2 «л-з 1 ... Хл-1 Хл-1 Хл-2 х -з 0 0 0 1372-377 369, получить 0 0 0 378 3811 з з. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ з.го ПОРЯДКА 49 878. Не вычисляя определителей, установить, как связаны между собой лва циркулянта1 ат ат аЗ ° ° ° а» 1 аз а„ а1 аз ... а„ з а„ , а„, а„ а, ... а„ а„ аз аз а4 ''' а~ а1 а„ а, аз ...
а„' з а„ , построенные из одних и тех же чисел аи а„ .... а„ применением круговых перестановок в двух противоположных направлениях. Вычислить определители: 1 1 1 1 (~) (~) " (") (~) (~) . ("") где ~ т,— С„ 1 ... 1 (т+2) (и+ л) (и+3) (т+л+1) 1 1 (т+л — 1) (т+л) (и+в+1) (и+2л — 1) 881в. 1 1 О О ... О (2) (2) О ... О (3) (3) (3) ' (") © (.") (, " ) ( ) ("+') (т+1) (и+2) а, аз аз .. а„, а„ аз аз а4 ... а„а, аз а4 аз ... а, аз (") (") -- (".) (л+1) (и+1) (п+1) 1 (л+2) (л+2) (п+2) .
(.) . ('Л) (~) (') (р+1) (р+1) (р+п) (р+п) (;) (,+ ) (,+.) (т+1) (т+1) (т+1) (т+п) (т+л) (и+п) (2) О О ... О (з) © о ". о (4) (4) (4) .. О (") ( ) (") " (.") ' ("") ("") ("+.') ("+.') (2п ) (р+и) (р+ и+1) (р+2 ) (Р) (' ') ' ("л) ОТДЕЛ Е ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (р+л+1) (р+2л) (р+и+2) (р+2л+1) ( р+ 2п+ 1) ( р+ Зи) 337-39Щ 387л 4 а вычиСление онеедепитглеи лго ноеядКА 3 4 и 6.
10 ... л1л+!! 2! 1О ~д ВЫ2( 1-В 3! л(л+11 л1л+!) (л+2! л1л+1) ... 12л — 2) 2! 3! ''' 1л — Ц! О 0 0 ... 0 1 1 ( ) 0 0 ... 0 х (2) (2) О ... О х (3) (3) (3) 0 хз (") ( ) (3) (.-" ) х" хе х' 1 и а!а — !) и!п — 1!!и — 2! п(п — Ц(п — 2)(п — 3) О 0 0 1 о 1 ( ) 0 О .. ° 0 х! 1 (2) (2) О О х, 1 ( ) ( ) (.) ...
0 хе (!) (2) (3) " ( — !) 1 0 О 111 0 12 2! 1 3 3 ° 2 1 4 4 ° 3 о о 0 3! 4 ° 3 ° 2 0 0 о 0 4! ОТДЕЛ Е ОПРЕДЕЛИТЕЛИ !39! — 398 392. а х х ... х у а х ... х У у а ... х у у у ... а у у у ... о у У у ... а„ 393. а+ ~$ а3 0 0 а+В .Ю о" 0 1 а+!! сф О 0 0 0 ... а+9 а!! 0 0 0 0 ... 1 а+Р 396. а+! а О О 1 а+1 а 0 0 ! а+1 а 1 а+1 о о о о и!а, (и — 1)!а (и — 2)1а, — и х 0 Π— (и — 1) 0 0 0 398. соаеса 1 0 1 2соееса 1 0 1 2 совес а 0 0 О 0 ... 2 соеес а О х х ...
х у О х ... х уо...х а, х х ... х у аз х ... х У У аз ° ° ° х 0 1 1 ! ... 1 1 а1 х х ... х 1 У а, х ... х У У аз ° ° ° х 1 у у у ... а„ о о о о о о о о о о о о аз 0 0 0 ... 0 0 ... О 1 ... 0 Ф 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ л-ГО ПОРЯЛКА 399 — 4061 ЗЕЕВ х 1 0 О ... 0 0 и — 1 х 2 0 ... 0 О 0 и — 2 х 3 ... 0 0 00и — Зх...ОО О, 0 О О ... 1 х ас+4 — х ...
ал4 -' — х ал+ 4'4 — х .. ас+З -4 х ал х ас4" — х ал "<л-Π— х ал+лзл-О+' — х... ал+"'-' — х 1 0 О 0 ... а„ а 0 0 0 ... с„ , Ь вЂ” Ь вЂ” Ь ... — Ь 1 иа — 2Ь вЂ” ЗЬ ... — (и — 1)Ь 1 (и — 1)а а — ЗЬ ... — (и — 1)Ь 408. (х, — аз)з аРаз а,ал аза, азиз ... а,а„ (хз — аз)з,. ° аза„ а,а, ала, а„аз а„аз ... (хл — а„)з 1 — х а аз ... а" ' а аз — х аз ал аз аз а4 х аз+ 4 ал-4 ал ал 44 аЗл-З Х 1 1 1...1 1 а, О 0...0 1 0 аз 0...0 1 2а а а 406Ф. (х, — а,)з аз ... аз аз (х — а,)з...
аз аз аз ... (х„— а„)' азиз (х,— а,)' азиз сз Ь Ь Ь...Ь а с, 0 0...0 а 0 сз 0...0 ! — ь, ь, о о ... о — ! — Ь, Ь, О ... О о — ! ! — ь ь„... о о о о о...! — ьл 408. а2 а3 ... ал Ь1 О а3 ''' ал Ь| Ь2 О ' ал Ь! Ь2 ЬЗ 41О» 409». 1 2 3 4 ... и 1 1 2 З...л — 1 1 х 1 2...л — 2 х х х ° ° 1 1 х х х ... 1 411». а хл ал о о аОХл-1 а,Х»-2 а,Х»-З Ь а»Хл а Хл-1 а2Хл-2 х+1 418, х х х ... х+2» а»х алх2 х+1 х ОТДЕЛ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ а1Хл-1 а Сл 2 а Х ь, о ... о ах Ь2 ... О х х ... х х+2 х ... х х х+3... х х х ... х х+2 х ... х х х+4...
х 1 2 3 ... л х 1 2...л — 1 х х 1 .. ° и — 2 414-419) 414, я+1 х х 1 х+и- х 1 "+3 "' 1 х х ...х+— и 416. я+1 х х ... х х х+а х ... х х х х+аи .. х 416*. (а,+Ь) ! (а,+-Ьт)"' ... (а,+Ь„)"! (а„+Ь,) (аи+Ьт) ' ... (а„+Ь„)" 1 1 4! 7». х,— а~ х,— и, 1 1 хи — а, х„— и, '' х„— а„ 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 1 ! 3 4 5 1 и 1 л+1 1 л!-2 1 1 1 ! и и+1 и+2 '''2и — 1 419и. ли+а, а, 0 О ...
О О а, а, +аи аи О ... О О О а +а а ... О О 0 0 О О ... а„ , а„ , + аи 4 б. МВТОДЫ ВЫЧИСЛВНИЯ ОПРВЛВЛИТВЛВИ и-ГО ПОРЯЛХА 5~ ОТДЕЛ Е ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 420». Получкть закон составления развернутого выражения для континуанты и-го порядка '): а1 1 0 0... 0 — ! ая 1 О... 0 0 — 1 пз 1... 0 (а,ая....ал)= 0 0 0 О...— 1 а„ ногочлена от а а ... а . ! .г. е. выражения в виде м я * „ 4аписать .в развернутом виде континуанты 4-го, 5-го и 6-го порядка.
9 6. Миноры, алгебраические дополнения н теорема Лапласа 0 5 2 0 8 3 5 4 7 2 4 1 5 1 2 7 3 0 0 2 1 3 4 5 426. 1 1 3 4 2 0 0 8 3 0 0 2 0 4 1 0 4 4 7 5 2 0 0 3 ') Название «коктииузятз» объясняется связью с непрерывными дробями, которая устанавливается в задаче 53я. 421. Сколько миноров й-го порядка содержит определитель порядка п7 422. Доказать. что при определении знака алгебраического дополнения можно пользоваться суммой номеров стром и столбцов не данного минора.
а дополнительного к нему. Иными словами, если М вЂ данн минор. М' †дополнительн минор, А †алгебраическое дополнение минора М, А' †алгебраическ дополнение минора М'. то из А =еМ', где е= Й 1. следует А'=еМ. 423. Показать.
что разложение Лапласа определителя порядка и по любым л строкам (столбцам) совпадает с его разложением по -остальным и†я строкам (столбцам). 424Я. Показать, что правило знаков, связывающее алгебраическое дополнение А с дополнительным минором М' минора М, можно формулировать так: пусть а1, ая, ..., а„— номера строк, рн Ря, .... Рл — номера столбцов минора М в определителе В порядка и. записанные в порядке возрастания, а па+~ па+я " и, и Ря+Р раем . -. р, соответственно номера строк и столбцов дополнительного минора М'.
также записанные в порядке возрастания; тогда А = М', если под/ан ая, ..., ал) становка ~ ~ четна. и А= — М', если эта подстановка ЬР Ь".. Р./ меч етна. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители: 428 — 438! 428. % в. ИинОРы, 2132 О7оо 2 1 3 4 3 4 1 5 4 6 5 о 1 3 о 5 5 3 4 5 о о 3 4 о 3 431. 1 2 430. о 6 2 4 3 О 5 1 5. 2 4 5 О 7 4 5 о о 433 436. 6 9 3 3 5 2 9 3: 1 3 8 4 7 О 5 О о о о о о о о о 1 — 1 3 о о о о о о 4 О 5 О 6 7 3 4 4 3 9 4 7 О о 6 О 8 О О 3 3 7 2 4 6 9 о о о о 0 3 о 6 о 1О о 2 7 О 9 3 7 О 27 4 3 о 1 о 1 о 1 1 а Ь с а' Ь' с' о о о о а а Ь Ь' в с' 487. сова в!па совб сопб сов у соп у хв Ув хв х, У| х1 х| Ув Ув Уз хв У1 Ув У1 хв 5 2 2 3 7 1 3 6 5 1 3 7 2 5 2 7 9 7 5 о о 1 5 1 3 1 9 1 ЛЛГЕВРЛИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 4 3 О 5 б 2 2 4 о 3 4 О 4 3 б 2 О 3 2 3 5 7 8 6 2 4 о 6 О 3 4 5 8 — 1 7 ОТДЕЛ 1.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 0 х, хз хз О Х1 Хз Хз Х4 2 2 2 2 448. ац аьт ап 2„, ап зл 0 а, па2л 1 О 0 0 азз ... аззл 2 0 о а1З ° .. апзл 2 азз О 0 аз„т,з... азл„ззл 2 0 о 0 азл, 2 азл, з,. азл ьз„„з азл, зл 1 0 аз .1 азл,з азл.з ° ° ° азл.зл-з аз,з -1 азл,в1 ЛП ! а12 ! ''' а1л 1 0 1 О ... 1 0 ЛМ Х, а22 Хз ... азл Хл х 0 хз 0 ... х„ О а, хз а х ... а „х„ 2 2 хз 0 хз 0 ...
хз 0 а хл-' а х" ' ... а хл-' л1 1 л2 2 ' ' лл л х"-' 0 х'-' 0 ... х"-' 0 1 2 л Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить следующие определители. юредварительно преобразовав изл 3 4 — б 4 — 2 7 8 — 7 — 6 4 — 9 — 2 3 8 4 3 — 2 4 1 — 2 — 2 6 б 4 — 3 489. 0 а Ь с 1 х 0 0 у 0 О О е 442. 1 1 1 О О 1 2 3 0 0 О 1 1 1 1 О а Ь с а' 1 0 0 Ь' О ! О с' 0 0 1 — 4 4 3 — 1 — 7 7 б — 3 1439- Иб 1 х х х 1 а 0 0 О Ь О ° О О с 60 отдел е опееделнтелн ~454 — 458 464.
В определителе с четного порядка л=2Ь выделим четыре минора Мп Ма, Мз, Мч порядка Ь, как показано на схеме: М~ Ма "н "° "ы аю ° ° ° ааа аз+ ь, аз+ ь а аь а+~ ... аы люлю ... ам„ аз+ ь а+1 ... па+ ь л аю ...а„а а„, а+, „.. ааз ап 0 о ьп ам 0 о ь, аж 0 ...
а,„о о ь, ... о ь,„ «ю 0 ... аы 0 о ь„... о ь,„ аы 0 а„а 0 ... а„„о О Ью О Ьаа О Ь ап а,э ...а„, Ьн Ь,а...ь„, а„, аа ° ° ° а Ью Ьза ° ° ° Ь Ма Ма Выразить определитель й через миноры Мо Мм Мз, М4 в следующих двух случаях: а) если все элементы Ма или Мз равны нулю; б) если все элементы М, или М4 равны нулю. 466. Пусть в определителе О порядка л=И выделены 1 миноров порядка А, расположенные вдоль второй диагонали, т. е. М, лежит в первых А строках и последних Ь столбцах. Ма в следующих А строках и предыдущих А столбцах и т. д., наконец, М~— в последних а строках и первых А столбцах. Выразить О через Мн Ма, ..., Мп если все элементы О, лежатцие по олпу сторону от указанной цепочки миноров, равны нулю. 466.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
