И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047)
Текст из файла
ББПР ур СБОРННКЗАДАЧ ПОЛННЕПНОЙ АЛГЕБРЕ ОГЯАВЛЕННЕ Пр л р л 5 И» р бр Прд р у л 7 р Р Од 1Ощд л 9 3 17 Е д у р ° 175 9 1 О Р Д 2- 3- 9 Рл Р ! л р бр бгпр д м р* р узорл«р *Р 20 р р ил Или 6 9 19 В В р бр 201 ! д и 1» бдп Рл й 28 лл р Р 215 бл М ° л г! 120 Гуи 211 226 8 б М др, бр л М 5 М ду.
235 б 23 Л й щ*лф 238 рд. И М, Ф р бр 38Р л ьб р РФ, !0! О д П С И 82 19г ур ' й 629 Л й .б й 252 89С. ур и 82 -~~ фу рл л„р, удр р Ыб Р РФУ15г б!0! р, л и 90 бгулфф ! - 2м р 1 р р Ф "Р* 926 Т р .бр 2 1 1ПО . и 99 П й ОТВЕТЫ О Л и! !Лл Р. 9. 1!2 О. 1 0 р Л 265 др" Ф Р О д П С . И 291 812ДИ .л рщи 112 ур .
и боп . и р ы гзз од шмр 305 б!лпд6 9 р !12 Лру ФРЛ Од 19В р рл*р лпо И й р бр 365 .р ФИ рш 915 Кмр ФР 155 О*д !Р В р р р Мб ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ За последние годы в содержание обязательных алгебраических курсов, читаемых на механико-математическом факультете Московского университета, внесены значительные изменения. С 1964 года на втором семестре читается нурс «Линейная алгебра и геометрия», в котором изучаются л-мерное аффинное (точечно-векторное) пространство, тензорная алгебра и другие вопросы, не входившие ранее в курс высшей алгебры. С другой стороны. в курсе высшей алгебры на первом семестре рассматриваются понятия идеала, фактор-кольца и связанные с ними свойства полей и многочленов, а на третьем семестре одним из основных стало понятие модуля над кольцом.
В связи с этим в третье издание этого задачника внесены дополнения. Расширен параграф о кольцах и полях и добавлены пять новых параграфов. содержащие дополнительный материал о линейных пространствах. линейных и билинейных функциях, модулях, аффинных пространствах и тензорах. Кроме того, заменены новыми или существенно изменены некоторые задачи или их решения, а также исправлены замеченные неточности и опечатки. Для удобства использования третьего издания задачника наряду с прежними укажем, что в третьем издании заменены новыми или существенно изменены задачи (или их решения) с номерами: 629.
631, 1339, 1374, 1375, 1491, 1647, 1654, 1689, 1705, 1706, 1708. Все задачи, начиная с 1754. являются новыми. Выражаю свою благодарность за предложенные задачи и ценные советы Н. В. Ефимову, И. Р. Шафаревичу, Л. А. Скорнякову, А. П. Мишиной, Э. Б. Винбергу и всем работникам кафедры высшей алгебры Московского университета. И. Проскуряков Москва, . 7 октября 1966 года ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Во втором издании устранены замеченные опечатки н неточности формулировок первого издания. Задачи ММ 1226, 1227 и 1228 заменены новыми.
более удобными для решения. Нумерация задач сохранена всюду, кроме 9 20. В связи с включением в программу понятия прямой суммы абелевых групп н разложения конечной абелевой группы в прямую„ сумму прнмарных циклических подгрупп 9 20 написан заново.
Ввиду значительного расширения содержания этого параграфа при сохранении общего числа задач родственные задачи объединены под литерами с общим номером. Пользуюсь случаем выразить благодарность работникам кафедры высшей алгебры МГУ за ряд полезных замечаний по предыдущему изданию. И. Проскуряков Москва, 16 апреля 1961 года ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ При составлении настоящего пособия автор стремился„во-первых, дать достаточное число упражнений для выработки навыков решения типовых задач (например, вычисление определителей с числовыми элементами, решение систем линейных уравнений с числовыми коэффициентами и т.
и.), во-вторых, пать задачи. способствующие уяснению основных понятий и их взаимной связи (например, связь свойств матриц со свойствами квадратичных форм, с одной стороны, и линейных преобразованэй — с другой), в-третьих, дать задачи, дополняющие лекционные курсы и содействующие расширению математического кругозора (например, свойства пфаффова агрегата кососимметрического определителя, свойства ассоциированных матриц и т. п.). В ряде задач предлагается доказать теоремы, которые можно найти в учебниках. Помещая такие задачи.
автор исходил из того, что лектор при недостатке времени дает изучить часть материала по книге самим учащимся и это можно делать по задачнику, где даны указания, помогающие самостоятельно провести доказательство, что способствует развитию начальных навыков научного исследования. Новыми по сравнению с существующими пособиями являются (если не говорить о деталях) задачи на полиномнальные матрицы 5 13), иа линейные преобразования аффинных и метрических пространств (Я 18, 19) и стоящее особняком дополнение, посвященное группам, кольцам и полям.
В этом отделе даны задачи на самые начальные разделы теории. Тем не менее нам кажется, что его можно испольэовать в работе учебных просемннаров на младших курсах. Содержание и порядок изложения материала на лекциях во многом зависят от лектора. Автор старвюя дать задачи, учитывающие это разнообразие изложения. Отсюда некоторый параллелизм и повторяемость материала.
Так, одни и те же факты даны сначала в разделе квадратичных форм, а затем в разделе линейных преобразований, некоторые задачи формулированы так, что их можно решать как в случае вещественного евклидова, так и в случае комплексного унитарного пространства. Нам кажется, что для задачника это желательно, так как дает большую гибкость при его использовании. ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИГО В начале некоторых параграфов помещены введения. Они содержат лишь краткие указания терминологии и обозначений в тех случаях„ когда в учебниках нет полного единства В указанном отношении.
Исключением является введение к 9 5, где даны Основные методы Вычисления определителей любого порядка и приведены примеры на каждый метод. Автор считал это полезным ввиду того.что в учебниках эти указания отсутствуют, а учащиеся встречают здесь значительные трудности. Номера залач, в ответах на которые имеются решения или указания, снабжены звездочкой. Решения даны для небольшого числа задач. Это или задачи, содержащие общий метод, применяемый затем к ряду других задач (например, задача 1151, дающая метод вычисления функции от матрицы, и задача 1529, содержащая построение базиса, в котором матрица линейного преобразования имеет жорданову форму), или задачи повышенной трудности (например, задачи 1433, 1614.
1617). Указания содержат, как правило, лишь идею или метод решения и оставляют учащимся проведение самого решения. Лишь лля более трудных задач онн содержат краткий план решения (например. в задачах 546, 1492, 1632). При составлении задачника автор использовал следующие источники: 1. В.
Ф. Каган, Основания теории определителей, Одесса, 1922. 2. А. М. Журавский. Сборник задач по высшей алгебре. ГТТИ, 1933. 3. Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский, Сборник задач по высшей алгебре, изд. 1-е — 5-е. Гостехиздат, 1945 — 1954. 4. А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, Гостехиздат. 1948. 5. И. М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре, изд. 1-е и 2-е, Гостехиздат, 1948 †19. 6. Ф. Р.
Гантмахер, Теория матриц, Гостехиздат, 1953. Ряд задач заимствован (с согласия их авторов) из числа упражнений, дававшихся на лекциях по высшей алгебре в Московском университете, или указан автору следующими лицами: И. М. Гельфандом, А. И. Узковым, Л.
Я. Окуневым, А. П. Мишиной, И. Р. 1Вафаревичем, Е. В. Дынкиным. Всем им автор приносит сердечную благодарность. Москва, 20 октября 1955 г. И. Проскуряков ОТДЕЛ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 9 1. Определители 2-го и 3-го порядка Вычислить определители б 2 2. 1 2 3. 3 2 4. 6 9 аз аЬ 6. а+1 л 7 а-+Ь а — Ь аз+- аЬ+ Ьз а+Ь в!п а сова и!п () сов 3 з!па+в!п б совр — сова 10 (1 — !)в й 1+9 1+9 2! (1+К)в 1+ Р ! -)- !в 16.
16. 17. 1 1орз а !о3. Ь Вычислить определители, в которых 1= Ь' — 1: +«1! 19. !а+ Ь! Ь с — а! Ь 2а а — Ь! сова-)-!з!па 1 ~ 21. ~ а+Ь! с+гй 1 сова — Ьз!па ~ ~ — с+И а — Ь1 20. 1 Р 1+!в — и 1+ !в 1+ !в Р и 1 — зв 2! 1-(-!в 1 — Р 1-(-Св 2( 1 — Св 1+ !в 1 — св аз — аЬ+ Ьз ~ 9. 1 соз а — в)п а а — Ь ~ ~ в!па сова !1. соз а в!п а в!пб соз б совр+сова ~ 13. ~ 2в!пфсовф 2в!пзф — 1 ! з!па — в!пр ~ ~ 2совзф — 1 2в!пфсовф ~ [22 — 40 ОТДЕЛ Ь ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1а Пользуясь определителями, решить системы уравнений; 23, 2х — Зу=4, 4х — 5у = 10, 22. 2х + 5у = 1, зх+ Уу = 2. 26. 4х+ 7у+ 13 = О, бх+ 8у+14=0. 27.
х!За+у=а!п(а+5), х — у !ба=сов(а+5), 24. 5х — 7у=1, х — 2у=О. 28. хсоза — уз!па=созб, х з(п а + у сов а = а!п 8. (=о. где а+ — +Ал (А — целое число). 2 Исследовать, будет ли система уравнений определенна (имеет единственное решение). неопределенна (имеет бесконечно много реше- ний) или противоречива (не имеет решения): 28. 4х+бу=2, Дают ли здесь формулы Крамера верный бх+ 9у = 3.
Ответу 29. Зх — 2у=2, 30. (а — Ь)х=Ь вЂ” с. бх — 4у=З. 31. хз!па=1+э!па. 32. хз!па=1+сова. 38. хз!п(а+5)=з!па+в!пб. 34. Лтх=аб. 35. ах+Ьу=ЛН, лбх = Ьз. Ьх+ су = Ы. 38. Лх + 4у = 2, 37. ах — 9у=б, 9х+ ау=3. 10х — Ьу = 10. 38. Доказать. что для равенства нулю определителя второго порядка необходимо и достаточно. чтобы его строки были пропор- циональны.
То же верно и для столбцов (если некоторые элементы определителя равны нулю, то пропорциональность можно понимать в том смысле, что элементы одной строчки получаются из соответ- ствующих элементов другой строчки умножением на одно и то же число, быть может, равное нулю). 39*. Докааать, что при действительных а, Ь, с корни уравнении ! а — х Ь = 0 будут действительными. Ь с — х~ 40*.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
