И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда получим: Р' Р-)-х ~ч~~~ АЬ что и требовалось. 1,/ 1 Таким образом, вычисление определителя Р' сводится к вычислению )пределителя Р и суммы его алгебраических дополнений. П р и мер 8. Вычислим определитель Р„примера 2. Вычитая из всех его элементов число х, получим определитель а,— х О ... О О аэ — х... О Вычис виду '): 279, лить следующие определители приведением к треугольному 1 2 3 ... и — О 3 ... и — 1 — 2 0 ... и — 1 — 2 — 3 ... 0 23...и — 2и — !и 2 3 4...и — 1 и и 3 4 5 ... и и и и и и ... и и и аж а1З °,.
агэ х, х азз ... аач хз хз ° - азэ Х1 ХЗ ХЗ ХФ 1 1 1 а, ... а, а,— 31 а, аз ... аз в бз аз аз ак — оэ ... а„ аэ ал 3 2 2 ... 2 2 3 2 ... 2 2 2 3 ... 2 ае а, аз ... а„ вЂ” х х 0 ... О 0 — х х ... О 2 2 2 ... 3 0 0 0 ... х ') Всю полагаетс ду, где. по виду определителя нельзя узнать его порядок, пре11 я, что порядок ранен и. 36 ОТДЕЛ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1279 — ке4 Алгебраические дополнения элементов ь1, не лежащих на главной диагонали, равны нулю, а каждого элемента на главной диагонали — произнеденив остальных мементов главной диагонали. Поэтому т'.)э = (а1 — х) ... (а„ вЂ” х) + х ,~~~ (п~ — х)...(а, ,-х) (аг+, — х)...(а„ вЂ” х) 1-1 !1 1 1 х (а, — ) (а, — х) ...
(а„—.к) 1 — + — + ... + — ). (х а,— х " а„— хг .'285 — 294! $ б ВНЧИСЛЕНИЗ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ л.ГО ПОРЯДКА а, ' и, аз ... а„ вЂ” х, хя 0 ... 0 0 — хя хо ... 0 0 О 0 ... х„ 286. Вычислить определитель порядка и, элементы которого зз.даны условиями а,! — т1п 1е, г).
287. Вычислить определитель порядка и. элементы которого зз.даны условиями а,! — гпах(1, Я. 288е. Вычислить определитель порядка и. элементы которого за.даны условиями а,~ — ~! — у~. Вычислить следуюшие определители методом выделения линейных .множителей: 289.
1 2 3 ... и 1 х+1 3 ... и 1 2 х+1 ... и 1 2 3 1 1 1 1 2 — х 1 1 1 3 — х х+1 1 1 1 ! 1 1 291. ао а, ая ... ао х аз °- а а, х и+-1 — х — х а Ь с ао — х с Ь с — х а Ь а — х а„ 1+х 1 1 1 — х 1 1 1 1 1 — г ао а, 293. 1 1 2 1 2 — хо 2 2 3 1 2 3 1 3 3 5 9 — хз 1 1 1+я 1 отдгл ь оппедилитили Вычислить следующие определители методом рекурреитныл соотношений: азбз азбз " а~б, арз азбз ... азб„ азбз азбз ° ° ° азбе а,б„азб„азб„...
а„Ь„ ае а, аз...а„ вЂ” у! х1 0 ... О 0 — уз х,... 0 ° 0 0 0 ... х„ 298 297. 1 0 О ... а„ о о о ЗОО. 3 2 О...О ! 3 2 ... 0 0 1 3...0 0 0...3 6 0 0 0...0 0 0 0 0...2 7 5 0...0 2 7 5...0 0 2 7...0 301. О О О ... 7 0 0 О 0 ... 3 2 О О О О ... 1 3 0 0 0 0 6 3 2 5 0 О 0 0 0 0 0 0 0 0 а,Ь, а,Ьз азбз 0 1 1 а, 1 0 2 1 1 2 О 1 1 2 3 4 0 2 0 0 1 ... 1 0 ... 0 аз ...
0 0 ...0 1 ...О 2...0 0 0 О 3 О О 5 3 0 2 5 3 0 0 0 0 0 0 О 5 4 0 0 1 0 О 0 ° .. 0 1 а, О О ... О О 1 1 а О ... 0 0 1 0 1 аз ... 0 О 5 2 О 0 ... 0 0 1 3 2 0 ... О 0 0 1 3 2 ... 0 0 30с-ав) е а вычпслвкин опевдвлитвлии л-го повядкл 0 0 0 0 ... «+р Вычислить определители методом представления нх в виде суммы юпределнтелейз аз аз аз ... х+а„ аз ° ° . аз а, хз...а а, аз ... х, хе хз хл х„ ... х„ а„ а„Ь, а„Ьз а„Ь ... х Вычислить определители з)! 1 2 3...2а — 3 а 1 2 3... а — 1 2а — 1 ') Всюду, где пенсне, чему равен поряд«в определителе, ои иредисзаеаетсе равным л.
«+р «Ь 0 0 ... 0 1 «+3 «Ь 0 ... 0 0 1 «+Р «3 ... 0 х+аз аз аз ° ° ° а, аз х+ аз аз . ° . а„ аз аз х+аз - ° . а„ 307е. 0 1 1 х, а, 0 хз хз а ха хз хз а,ь, ,Ь, ... «,Ьз аА хз азЬз ° ° ° азЬ„ 3 1 азЬз хз .. азЬЛ 1 2 3 ... л — 1 л 1 3 3 ... и — 1 л 1 2 5 ... и — 1 л 1 ... 1 1 О ° ° * 0 0 0 ...
0 0 аз ° ° - 0 0 !3!Π†3 з!о. зи з!з 3!б И 1 1 ! 1 з!в зп ЬЬ...ЕЬ Ь Ь ... Ь а Ио ОТДЕЛ Е ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1 а, ае ... а„ 1 а1 +Ь1 а2 ... ад 1 а, ае+Ье ... а„ 1 а, а ...а+Ь„ 2 2 ... 2 2 1 2 2 ... 2 2 2 2 2 ... 3 2 2 2 и — 1...2 2 2 п 2 ... 2 2 2 х у 0 О ... 0 О 0 х у 0 ... О 0 0 0 х у ... 0 0 0 0 0 0 ... х у у 0 0 0 ...
0 х ! — и ! — п 1 1 1 — и ... 1 1 1 1 1 ... 1 — п ... — п 1 — и ... — 1 п 1 1 ... 1 1 п 1 ... 1 1 1 п ... 1 1 1 1 ... и 1 2 0 0 ... 0 3 2 О ... О О 1 3 2 ... О 0 0 0 О ... 3 1 п п...и п 2 п ... и и п 3 ... и О О 1 1 0 ... 1 ! ...О а Ь ... Ь Ь Ь а ... Ь Ь 3 Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕИ л-ГО ПОРЯДКА ь, о о ... о о — ! — ь, ь о ... о о о — ! ! — ь,ь,... о о о о о о . Ьл х а, аз ... а„ , 1 а, х аз ... ал , 1 ал-1 а, аз аз ... х 1 аз .
. а„ 1 — о о ... о а1 х — 1 0...0 аз О х — 1...0 ал , 0 0 0 ... х а„ 0 0 0 ... 0 — 1 О 0 0 ... х 0 0 0 0 ... — 1 х о' 2 0 0 О...х о о о ... о ал1 алй алз ал4 . * Д!20-3йз! З2О, 1 2 3 — ! х 0 0 — 1 х и — 1 а — 1 х е — 2 0 аи 1 х аз1 аз 1 ... а — 1 п о о о о о о ... о — о ... о х — 1...О хз хл ХЗ, Хл-1 х ° ° ° хл о о о о о 1326-33$ ОТЛИЛ 2. ОПРЕЛЕ!2ИТЕЛ22 Сл Сл ° .. Сл Сл с„', с'.
, с„"-! о с„', с'„,... о о с,' с,' ... о о с1 о ... о о ао а2 а2 .. ал-1 ал 327, О 1 О х ... х х 1 х О ... х х 1 х х ... О х 1 х х ... х О 328. 1 1 1 1 2 22 3 32 2л 1 а+1 (а+1)2 ... (а+1)" 329. ал (а — 1)" ... (а — и)л ал"! (а — 1)л ... (а — а)л а а — 1 1 1 Хл-1 ! Хл-2 Хл-1 ! Хл-2 ! + 1 2 + 2 (х+а,)л (х+ а!)" ' ( +)" ( +")" ' ". ~л- ! + Хл-2 л л 331 х+а, 1 х+а, 1 (х+ а„+!) (х+ а„+,) .. ° х+ал„1 1 х,+1 х',+ х, хл!+ х2! 1 х2+ 1 Х,'+Хл Х22+ х! Хл+ 1 х2 +х„ Х'л+ Х*„ з33 3381 % в Вычисление ОпРеделителей и-ГО НОРЙЕЕА 1 21пф, 21П»ф, ...
21пи-' Ф, 1 21пфв 21пвфв ... 21п" 'Ф2 21п Фи 21пвфи ' ' 21пи 1 Фи 1 совф, соввф, ... сов" 'ф, 1 сов ф2 созе ф2 ... сове-2 ф 1 совф„соввф„... сове 'ф„ 1 % (х1) Ф2 (хь) ° ° ° Фи-1 (х,) 1 ф, (хв) фв(хД .. Ф„, (хв) 1 Ф1(х„) ф (х,) " ф, (х,) тле 'р»(х)=х»+а»2х» '+а»»х» 2+ ...
+а»». ~„,(совф,) ~„,(совфв) ... ~„,(совф„) где У»(х) =а»ех»+а»,х» '+а»вх» 2+ ... +а»». »+ 1) » хх — 1 х — ...х где С„ ( )( 2) ( (2и 1)и (2и 2)и ии (2и)и (2и — 1)' (2и — 2)и ... и' ' (2и) 2и — 1 2и — 2 к, х,— 1 Хи хи Хи †и 2 и-2 1 2 и 1 ~,(сов ф,) ~2(сов ф,) х, х2 1 1 ... 1 Д,(сов ф2) ... Л (сов фи) )'2(совф2) ... Ув(совф„) и 2и 1 1 отдел 1. оппеделитгли 1339-3ет 33а. 1 2 3 1 Яз 32 ... нз 32и-1 32и-1 2л-1 л-!Ь и-232 и п !Ь . и 2ЬЗ Ьл л аг л п-1 и-2 2 аи,! а Е,Ь„1 аи+!Ь +1 ° З1ни ' а, З!Пи 2 а! СОЗ а, я'Пи 1 О З1ни 2 а СОЗ а л Ьл+1 л-1 соз а, СОЗи 'аз 21ни 'аи 2[ни Зал СОЗаи ...
СОЗи 'а 343. У.(Х1 У!) УА (х! У)) " У" 'У1(х! У1) гл(х2' У2) Уггл 1( г У2) '' У2 г!(хз У2) уп уп у (х, уи,) у„11'„1(х„г. ул,) ...ул-1~!(Х„~„у„~г) уи, где 1!1х, у) — однородный ыногочден от х, у степенн 1. а Х ХЗ ...Хл-' 1 х х" ... хи-' хи 1 ! ' 1 1 1 х х2 ..
х." 2 хл 2 г ' и г хи 1 хл 2 1 х2 хт ...хи Х'+1 ... Хи 1 ' ' 1 х.'+' ... х ХЗ Хи-! Хи+1 Хл и и ''' и 1 х,(х — 1) хз(х, — 1) ... х,"-'(х, — 1) 1 х,(х, — 1) х,'(хи — 1) ... хл-'(хз — 1) 1 хи(хи — 1) х2 (хи — 1) ... х"„-'(хи — 1) О Х Х2 Хл 1 1 ! 1 ''' 1 аи ХЗ Х; ...Х.,"' Х ХЗ ... Хи-2 и л '' л 1 х хт ... х'-' ! 1''' 1 1 х х.' ...
х.'-' г и ' ' 2 1 х2 хз 1 ХЗ Хг ° Ззп-ЗЛ) 343л. $ В. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕИ л-ГО ПОРЯЛКА х2 1+ хл 1+х 1+х2 ... 1+хл 1+хл 1+хз ... 1-+хл 1 сов1р, соз21р, ... сов(л — 1)1р, ! соз 1р2 соз 21рв ... сов(а — 1) 1рв 1 сов 1Рл соз 21Рл в!и ср1 в!п 21р1 и!п гр2 в!и 2гр2 ... сов (л — 1) ~р„ 21П ШР, в!и лгр2 а Ь З!П<Рл З!П2ГРл ... В!ПП1Рл 362, 333*. х а, а, к а, ав а1 а2 аз ° ° ° а1 Ьл ав — Ь„ ал — Ь, ал — Ьз ... ал — Ьл 1+х1у1 1+х1у ...
1+ х1ул 1+хву 1+х у ... 1.+х ул 1+хну, 1+хлу, ... 1+хлул 333. Л(~~) .р1( ) " Л(а) Л (а1) Ув (аз) ° Л (а.) где Г1 (х) — многочлен сгепени не ныгпе н — 2. р„(а1) у„(аз) ... Г'„(а„) 1+а,+Ь, а,+Ь, а +Ь, 1+ав+Ь а1+ Ьл аз+Ьл ал+Ь, а„+Ьз ... 1+ал+Ьл а Ь с ь а р с Ф а а с Ь е У б" е Й а й е й а а,— б, аз а е р' с р' е Ь а Ь а Ь е Ь а Ь а Ь а / с и' е аг с а,— Ь2 а2 Ь2 е' б Ь а е е с с а Ь Ь а Ь с 11 а 2( с а Ь с Ь а а, ... а, а2 '' ал х ... ал отдел и огн нднлитнли х,у, 1+х,уя ... 1+х,у„ 1+«ту, хну ...
1+ху„ 1+ х»у~ 1+ хпуя ° - ° «иу» а,— Ь~+х а,— Ьт ... а,— Ь„ ат — Ь, а,— Ь,+х ... а,— Ь„ 366». а„— Ь, а„— Ья ... а„— Ь„+ х~+ аф~ лая .. ° аф„ аяЬ, х~+ аяЬт ... аф„ 360. а„Ь, а„Ья ... х„+ а„Ь„ ОЬ...аО Ь О ... 0 а а, 0 ... 0 Ь~ 0 а, , Ья 0 О Ь„...а О Ь „ О ... О а „ — 1, О О...О О 1 — — 0 ... 0 О 2 1 х х' О 1 — —...О О 0 0 0 0 ... 1 2 364». 1 1 0 0... О 0 1 1 1 О...О О 0 1 1 1...0 0 0 О 0 0 ... 1 1 361». а О ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
