И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 74

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 74)

1, 0). (1, О, О, 1), (О, 1, 1, 0), (О, 1, О, 1), 1999.а)8; 6)28; в)14; г)2; д)7;е)4;ж)7;з)6;и)3;к)3;л)1; м) б; н) 5; о) 12. Указание. Ввести систему координат и рассмотреть параметрические уравнения прямой и плоскости в векторной форме. 1991' а) а! «р (е!) (! = 1, 2, ..., а). 1999 Г(«р) «р (х), «р ч 1'„. ° 994 А'- С'АС, где С вЂ” матрица перехода от старого базиса к новому, записанная по столбцам. ° 999. А'-О'АО, где О=(С') «и С вЂ” матрица перехода ст старого базиса к новому, записанная по столбцам. ° 999. А' С «АС = О АС, где С вЂ” матрица перехода от старого базиса к новому, записанная по столбцам, и В (С') ° 997. 6) Г(х, О)=ф(х).

«ЕУл Чъ !ЕУ, ° ВВВ. Указание. 6) Взять свертку а«„Ь ! тензора аНЬ, где Ь -тена ы м зор с координатами Ьлг=аа! в одном базисе. Применить задачу 1907. ,! ! "- ! "(1,)я(! ) " я(! ) 1919 а 1,«, ... ! а («,) я («,) ... (! у ° 916. а ' ' "- ( — 1) , где з — число инверсий в перестановке !! ".! +! !«!в '" «з Ьь !в, .... !а,а ! — в перестановке !«, !ь ..., !в если индексы сверху и снизу различны; в противном случае указанная координата равна нулю.

1917. Инвариант, равный числу 0 во всех базисах. 1919. У к а закис. а) Проверить это для каждого из правил эквива- лентности, указанных во введении к этому параграфу; б) для доказательства необходимости при хчьо взять свертку по 9 со свойством 0 («)чьо. Для доказательства достаточности для пары «0' положить 0 =0« в паре 00'1 384 отвиты !!928 — 1938 в) взять свертку с ьу'Е У', для ноторого ф (х ) = 1, ~р'(х)) =0 Ц ть ь)! г) использовать в). 1993. 6) д'и=хат=1. х/э=ба/='сола; в) еь! = е'т = —; 1 з!п'а ' соз а 1 еь' = еть = —,, г) е' = —, (е, — е, соз а) = (1, — сг8 а), е' з!па а ' з!и'а 1 1 = — ( — е, соз а+ е,) = ! О, — ~ ! «) (х, у) = х'у'+ (х'у'+ х'у') ~( з!и' а з!па ) ' ')( соз а+ х'ур, где х = х'е, + х'е у = у'е, + у'ер; е) з,т = — з„ )х' х'! =) з!па!, ем=а„=0; ж) 5 =а!)хуь= !з!па)~ Ь»~ 1994.

При переходе к новому базису с той же ориентацией у не изменяется, а с другой ориентацией в меняет направление. Вектор у получается из х поворотом на угол †, в отрицательном направлении по отношению 2 к ориентации базиса еь е,. У к аз анна При выяснении зависимости у от базиса использовать ийвариантность тензорных уравнений. Лля выяснении геометрической связи х и у рассмотреть ортонормированный базис.

1939. При переходе к новому базису с той же ориентацией величины ЬП изменяются как координаты дважды ковариантного тензора При переходе к базису с противоположной ориентацией величины Ь!) дополнительно меняют знак. 1933 а!)л — — е! е. а т (ь, У к зван не. СВюриуть обе ь!асти данного в зада по ь и ) использовать соотношение 9; 9 =Ьа.

и после этого изменить !а а обозначения 1, ) на а, р и а', ))' на ! /. '3 ° 939. Ю= —, 5 =1. У казанке. Пло!падь искать по формуле 5 = — Ьс з!п А или использовать задачу 1935. 1 2 1939. ()( — 4, 2, О), У каза ни е. Написать параметрические уравнения прямой Рт;! в нонтравариантных координатах. ° 939. У к а з а н и е.

При доказательстве б) взять ортонормированный базис Еь еь еь Еь где е, напРавлен по и, а Еь еь Е, лежат в одной тРехмерной плосности с х, у, з и одинаконо с ними ориентированы. Использовать выражение ориентированного объема по формулам (17) и (18) из введения к этому параграфу. 1931. Инвариант, равный числу и в любом базисе. 1933. 6. 2~ ! 2 1 — 1! ° 934. 6) б = — 5 5 — 2, в) ~=ь —. =! с точностью 2 — 2 1 до знака.

1933. У к аз ание. Первый способ: принять данные векторы за базис; второй способ: выбрать ортонормированный базис. рррр. ь=) рьр ь,/ ~. У к а з а н и е. Применить задачу 1936. ./. ь — ь/ /рррр „„,.прь, р р р „,р~ р *,ь ориентацией. .

Характеристики

Список файлов книги