И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 70
Текст из файла (страница 70)
6674. Если в разложении данной подстановки з иа независимые циклы встречается л1 циклов длины !1, 1=1, 2, ..., г, причем учтены все циклы, л! включая и циклы длины 1, то искомое число равно Г . Это число П(Д1)! !11 1-1 можно записать иначе, пользуясь другим выражением знаменателя, указанным з ответе задачи 1669. а676. Указание: Обозначить через ал число классов сопряженных элементов с рл элементами и, пользуясь задачей 1673„показат1ь что аз+ а,р+ + аГР'+ ... = Р".
370 ОТВЕТЫ !1676 †16 ° 676. Указание. Если Н содержит цикл (а()у) и а', 6', у' — любые различные числа от 1 до в, то трансформировать цикл (а() у) подстановкой а (1 у Ь е х= а' ()' ' 6' а' )' где Ь' и з' выбраны так, что подстановка х четка.
Использовагь задачи 1667 и 1658 в). %6лл. Решение. а) Все 60 вращений, составляющие группу икосаэдра, указаны в ответе задачи 1662 в). Тождественное вращение является единицей группы и составляет один класс. Сопрюкенные элементы имеют одинаковый 2йп порвдок. Элементами пятого порядка являются 24 вращения на углы —, 5 й= 1, 2, 3, 4, вокруг каждой из шести осей, проходя!йих через противопо- ложнйе вершины, Под вращением вокруг вершины А Йа угол а будем пони- мать вращение вокруг оси, проходящей через А и противоположную вершину, на угол а против часовой стрелки, если сиотреть вдоль оси от А к проти- воположной вершине.
У каждой вершины отметим один из плоских углов с данной вершиной. Каждое вращение икосаэдра вполне характеризуется указанием вершины В, в которую переходит данная вершина А (В может совпадать с А), и плоского угла при В, в который переходит отмеченный угол при А. Поэтому каждое вращение х, переводящее А в В, представляется в виде произведения х = ух, где у переводит отмеченный угол А в отмечен- ный угол В, а х есть вращение вокруг вершины В на угол а. Обратный эле- мент х-1= х 'у — ' есть произведение вращения х-' вокруг В на угол — а н вращеинв у ', переводящего отмеченный угол В в отмеченный угол А.
Пусть теперь д — вращение вокруг вершины А иа угол а и х — любой элемент группы, переводящий А в В. Представляя х в виде произведения х = ух, как указано выше, найдем, что сопряженный элемент х '8х=з 'у 'Еух является поворотом снова на угол а, но уже вокруг вершины В. В частности, если А и  — противоположные вершины, то поворот вокруг В на угол а совпадает с поворотом вокруг А на угол 2п — а. Таким образом, все враще2п 8п ния вокруг вершин на углы — и — принадлежат одному нлассу сопря- 5 5 4н бп женных элементов, так же как и все вращения иа углы — и —.
Пока- 5 5 2п 4н жем, что вращения хч и и, вокруг вершины А на углы — и — принад- 5 5 лежат различным классам. Если х переводит А в другую вершину В, то х 'х,х есть вращение вокруг В и либо не будет вращением вокруг А, либо 8я (если В противоположна А) будет вращением вокруг А на угол —, т. е. 5 х '8дх ~ им Если же х — вращение вокруг А, то н, и х — элементы цик- лической (и, значит, коммутативной) подгруппы вращений вокруг А и снова х ',х = х1 + хь '$ =, так, все элементы пятого порядка раэбиваотся иа два класса но 12 элементов.
Аналогично, отмечая по плоскому углу каждой грани и но вер- шине каждого ребра, убедимся, что 20 элементов третьего порядка (враще2я 4п ния на углы — и — вокруг осей, проходящих через центры противопо- 3 3 ложных граней) составляют один класс и 15 элементов второго порядка (вра- щения на угол и вокруг осей, проходящих через середины противоположных Ребер) также составляют один класс.
б) Нормальный делитель должен состоять из целых классов, должен со- держать единицу, и его порядок должен делить порядок 60 группы икосаэдра По пункту а)' классы сопряженных элементов содержат соответственно отвкты 1673 — 1701) 371 1, 12, 12, 20, 15 элементов. Из этих чисел можно составить лишь две суммы, включающие слагаемое 1 и делящие число 60, именно 1 и 60. Это дает лишь два нормальных делителя — единичную подгруппу и всю группу.
1678. Указание Применить задачи 1662 в) и 1677 6). 1681. Гомоморфизм вполне определяется образом образующего элемента а. Ниже указаны возможные образы этого элемента: а) любой влемент грУппы; число гомоморфизмов равно и; б) е Ьэ Ьв Ьэ Ьы Ьй в) е, Ь Ьл Ьз Ь' Ьэ й[.
г е,бт,Ь]", д)е. . а) Пиклическая группа [ф) четвертого поршща, где аф = а', б) циклическая группа (9) второго порядка, где а47 = аа; д) поле вычетов по модулю 5; е) кольцо вычетов по модулю 6; ж кольцо вычетов по модулю и. . а) Пиклическая группа порядка и; б) циклическая группа порядка 6; в) циклическая группа порядка 6; г) циклическая группа порядка 2. 1888. Указания. В случаях г), д) и з) рассмотреть отображение лл у(л) = л", а в случае е) — отображение а(л) = —. [я]" 1691. В группе Юа подгруппа ( (1 2) ) имеет индекс 3, но не содержит элемента (1 3) порядка 2.
1666. У к а з а н и е. Предположив, что С/Š— циклическая группа, выбрать в классе, служащем для нее образующим элементом, злемент а и показать, что а и Е порождают всю группу б. 1694. Решение. Применим индукцию по порядку и группы б. Для и=2 группа б — циклическая второго порядка, и теорема для нее верна. Пусть теорема верна для всех групп, порядок которых меньше и, и б — группа порядка и.
Пусть сначала б коммутатнвна Берем любой элемент а, отличный от единицы е группы б. Его порядок Д > 1. Если Д делится на р, Ь = р1, то влемент ае имеет порядок р. Если Ь не делится на р, то порядок и' фактор- группы С' = б/(а) группы С по циклической подгруппе [а) равен — с и Ь и делится на р. По предположению индукции б' содержит элемент Ь' порядка р. Пусть Ь вЂ” алемеит группы б, входящий в смежный класс Ь'. Из Ь"'= е', где е' — единица группы б'„следует, что Ьл содержится в подгруппе [а]„т.е.
ЬР = аг, откуда Ьл" = ага = ж Если Ь* = е, то Ь'а =е' и Ь делится на порядок р элемента Ь', что невозможно. Значит, Ьае = е, ио Ь" чь е, т. е. элемент Ь" имеет порядок р. Пусть теперь труппа б некоммутативна Если существует подгруппа Н, отличная от б, индекс которой не делится на р, то порядок Н меньше и и делится на р. По предположению индукции Н содержит элемент порядка р. Если же индексы всех подгрупп группы б, отличных от б, делятся на р, го число элементов, сопряженных любому элементу группы б, не входящему в ее центр Х (здаача 1664), делится на р (задача 1671).
Так как порядок и группы б также делится на р, то и порядок центра Е делится на р и меньше и, так как С некоммутатиина По предположению индукции лР содержит элемент порядка р. 1896. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей. 171П. а) ~а] = (За)+(2а); б) (а) = 4а) -[- (За]; в) (а) = [15а) +(20а]+(12а]; г) [а» = (223а] -[- (100а] + (Зба). 372 отвнты [1702-1725 1762. У к аз ание.
В случае в) использовать задачу 1700 6). 1763. Указания. а) Принять соответственно за А и В множества всех элементов а и Ь из б, для которых ра= О и аЬ= О; б) рассмотреть разложения а = р,'рз' ... р,л порядка и группы б на простые множители и применить а). 1764. а) 0 (3); б) б (4), С (2, 2); в) б (2, 3); г) 0 (8), б (2, 4), б (2, 2, 2); д) б (9), б (ц 3); е) б (4, 3), б (2, 2, 3); ж) б (!6), б (2, 8), б (4, 4), б (2, 2, 4), 0 (2, 2 2, 2)", з) 0 (8, 3), С (2, 4, 3), С (2, 2, 2, 3); и) б (2, 3, 5); к) б (4, 9). 0(2, 2, 9), 0(4, 3, 3), 0(2, 2,3,3);л) 0(16,3), 0(2,8,3), б(4, 4,3), 0(2,2,4,3), б(2,2,2,2,3); и) б(4,3,5), 0(2,2,3,5); и) 0(9,7), б(3,3,7); о) б(8,9), б (2, 4, 9), б (2, 2, 2, 9), б (8, 3, 3), 0 (2, 4, 3, 3), б (2, 2, 2, 3, 3); п) б (4, 25), С (2, 2, 25), б (4, 5, 5), б (2, 2, 5, 5). 1766. Если аа — циклическая группа порядка Ь и а †бесконечн циклическая группа, то искомое прямое разложение фактор-группы ЦН имеет вид: а) а,+аз+а„б) Ел+28 в) аз+2,+аз; г) а,+Лб д) 3;+У; е) Ел+ аз+а; ж) 3з,.
з) 3+ а; и) Е; к) ЦН вЂ” нулевая группа. Искомого раэложе~щя не существует. 1766. в) Группа б единственным образом разлагается в прямую сумму подгрупп: б = А, + Ат +... + Ам гле Аг — циклическая подгруппа парадна рь Любая подгруппа Н группы б, отличная от нулевой, является прямой суммой некоторых иэ подгрупп Аг. Число всех подгрупп равно 2г. У казани е.
Использовать пункт б) и показать, что если Ь вЂ” образующая подгруппы Н, то Н является прямой суммой тех подгрупп Аь которые содержат ненулевые компоненты элемента Ь. 7767. У к а з а и и я. в) Для доказательства разложения 0= Н -[- К взять любой элемент а, вие Н, затем любой элемент ат вне [Н, а,) и т. д. и положить К= (аь а,, ...). г) Любая подгруппа Н порядка рг разлагается в прямую сумму ! циклических подгрупп порядка р. Пусть это разложение имеет внд Н = (а,) + [а,) + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
