И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Применить задачи 1426 и 1429. ИЗВ. Решение. а) пусть числа системы (1) являются расстояниями всевозможных пар вершин Мд, Мь .... М„и-мериого симплекса, причем агу= МюМ) (1, /= О, 1, 2, ..., и; ю > ю), (2) Обозначим через ею вектор, идущий из Мд в Мю (! = 1, 2, ..., и). Тогда имеем: ад (е ° е) (ю'=1, 2, ..., и); (3) аю) — — (е,— е;, Ею — е!) (ю', У'=1, 2...., и; ю'>У).
Из зтик равенств находим скалярные произведении векторов еь ..., е„ю (ею, ею)=ам (! = 1, 2, ..., и), аюд+ аюд аюю' (4) (ес е)= (1, т'= 1, 2, ..., и; ! > Я. Применяя зги соотношения, напишем матрицу Грама векторов еь ..., еюр аюд+ аюд — ам адд+ аюд — ащ аюд 3322+ 3232 3323 адд+ аюд — адю аюд (5) 'юдд+ аюд ююю 'юдд+ 3222 'ююа 2 2 аид Так как точки М„Мь ..., М„не лежат в (и — 1)-мерном многообразии, то векторы еь еь ..., е„ линейно независимы. Обозначая через Ва угловой минор порядка я матрицы (5) и применяя задачу 1419, получаем Вл>0 (1=1.
2 ... и). (6) Итак, условия (6) являются необходимыми для того, чтобы числа снютемы (1) были расстояниими вершин и-мерного симплекса Покюкем, что дти условия достаточны. При выполнении условий (6) матрица (5) является чатрицей Грама линейно независимой системы векторов еь ..., е„(см, затачу 1352 или 1210, в)), Позтому верны равенства (4), откуда вытекают юавенства (3). Принимая начало координат за М а конец вектора ею за Мю ю'= 1, 2, ..., и), получим выполнение равенств (2), что и требовалось.
В случае б) необходимым и достаточным условием является неотрицащльность всех главных (а не только угловых) миноров матрицы (5). Необхогимость доказывается так же, как в случае а), с той разницей, что векторы 'ь ..., е„могут быть линейно зависимы. Достаточность докатывается при юмощи залачн 1425 или 1210 г). ИЗ4. (доза — зюпа1 (гз!и и соз аю [!435 — !459 отвити МЬЭ. О О 1, уО ! О! 1 0 О ), если е, переходит в е, и ~ О 0 1 ), если е, пе- 0 1 0 ~! О О) Р'""и' ' '.
1 1 11 3 3 3 1 1 1 3 3 3 1 1 1 ~'3 $' 3 ГО И4$. Э линейно. АŠ— — ~2 0 1). И4Э. 0 не является линейнмм. 3 — 1 1 у1 -1 1~ М43. Э не является лннейимм. М44. и линейно. А, ~0 0 1 0 1 0 2 — 11 6 — 6 11 5 $440 1 7 4 ' М40 3 12 13 1О И4Э. В базисе еь ев е, матрица л1 2 3 ь 2 4 6 3 6 9 5 — — 5 3 ф — ! 20 3 16 3 8 в базисе Ьь Ьи Ь, матрица б) при умножении справа М4Э.
а) при умножении слева аЬОО се'00 ООаЬ1 ООса а О с 0 0 а 0 с Ь 0 а 0 0 Ь О М5Э. а) О 1 0 0...0 О О ! О ... О 0 0 0 1 ... О О 1 0 0...0 О О 2 0 ... 0 0 О 0 3 ... О 0 0 0 О ... 1 1О 0 0 0...0 О О 0 О...и 0 0 О 0 ... 0 ИЗЭ. Первые Ь элементов главной диагонали матрицы преобразованви равны единице, а все остальные злементы равны нулю. М49.
В 1-м столбце матрицы преобразования стоят координаты вектора Ь! в базисе аь ..., а~ 4451 — 1482! отняты 351 МВ1. В матрице переставятсн з-я н )-я строки н 1-й н )-й столбцы. МВЙ«а) 1 0 2 1 2 3 5 1 3 — 1 0 2 1 1 2 3 -2 0 1 0 1 -4 -8 -7 1 4 6 4 1 3 4 7 б) '( '..') ( 29з7з — 25 ) ' (! —: -',) МВВ. ( 109 93) И31. а, (1, 1, О, 0), аз-(1, О, 1, 0), аз=(1, О, О, 1), а, (1, — 1, — 1, — 1); ИВЙ Матрица к диагональному 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 — 2 виду не приводится 9494 У к а з а н н е. Применить предыдущую задачу н определение функции от матрнцы (задача 1148).
9499. Л,=Лз=Л, — 1. Собственные векторы имеют внд с(1, 1. — 1), где с~О. МВВ. Л,=Лз=Л, 2. Собственные векторы имеют внд с,(1, 2, 0)+ + сз(0, О, 1), где сз н сз не равны нулю одновременно. ИВ7. Лз 1. Лз — — Лз О. Собственные векторы для значения 1 имезот вид с(1, !, 1). а для Л=О-внд с(1, 2, 3), где счьО. МВВ. Л, =Лз Лз= 1. Собственные векторм имеют внд с(3, 1, 1), где сФО. 1499. Л,=З, Лз Лз= — !. Собственные векторы для Л=З нмеют вид с(1, 2, 2), а для Л вЂ” 1 — внд с(1, 2, 1), где счьО.
М79. Лз Лз-1, Л,= — 1. Собственные векторы для Л=1 имеют вид сз (2, 1, 0)+ сз(1. О, — 1), а для Л вЂ” 1 вид с (3, 5, 6), где сз н сз не равны нулю одновременно н с~О. И79. Л, 1, Лз=2+Зз, Ля=2 — 31. Собственные векторы длк Л-1 имеют знд с(1, 2, 1), для Л 2+Зз — внд с(З вЂ” ЗЛ 5-35 4), для Л 2— - 3! — вид с (3+ Зз, 5+ Зз', 4).
М7Й. Лз-Лз 1; Лз=Л,=О. Собственные векторы для Л=1 имеют вид з (О, О, О, 1), а для' Л О вЂ” вид сз (О, 1, О, 0) + сз (О, О, 1, 0), где сМО н с, и сз не равны нулю одновременно. М79. Л, -Лз 1, Л, Л,=О. Собственные векторы для Л= 1 имеют внд ц (1, О, 1, 0) + с, (О, О, О, !), а для Л= 0- внд с, (О, 1, О. 0)+ сз (О, О, 1, 0), де числа с, н сз не разны нулю одновременно. И74. Л 2. Собственные векторы имеют внд с, (1, 1,0, 0)+аз(0, О. 1, 1), 'де сз н сз не равны нулю одновременно. 1477. У к а ванне.
Применить задачи 820 и 1476. М79. а,=И, 1, 1), 71 0 О( аз (1 0 0). 0 2 0 а,-(1, О, -3); 0 0 2 МВ9. Матраца к диагональному виду не приводится. 11483 — 1491 отвнты М63. а, =(1, О, 0:, 1), п,=(О 1, 1, О), аз=(0, — 1 1 О)* а,=( — 1, О, О, 1); М34 Например: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 — 1 1 0 ... 0 — 1 0 1...— 1 0 0 1 ... 1 0 1 0 ... 0 1 где по второй диагонали злементы выше главной диагонали равны — 1, а ниже +1; при нечетном и на пересечении диагоналей может стоять как +1, так и — 1. Лиагональная матрица В имеет на главной диагонали сверху и и+1 2 — при четном и и — при нечетном и элементов, равных +1, а остальные 2 злзменты р вны — 1.
Указание. Рассмотреть линейное преобразование ф и-мерного пространства, имеющее матрицу А в некотором базисе, найти базис, состоящий из собственных векторов етого преобразования, и применить задачу 1477. М66. Любые два злемента аа и а„а+ь равноотстоящие от ноицоз побочной диагонали, должны либо оба быть отличим от нуля, либо оба обращаться в нуль. Указание. Рассмотреть линейное преобразование ьр а-мерного пространства, соответствующее матрице Я в некотором базисе, и применить задачи 1117, 1132, 1484. М(УУ. Единственное собственное значение — 71=0; собственные векторы— многочлены нулевой степени. МЭх. Р е ш е н и е.
Сначала докажем равенство рази. Е = рази. ЧьЕ+ рази. Е (1) Лалее, разы.ьрЕ раям. Š†ра. Ер.4 рази. Е. где Е,— пересечение Е. с ялром ь!ь ьб преобразования Чь. Лля етого базу пь ах,..., аа подпространства Ед дополним векторамн Ьь Ьь..., Ь! ло базы Е (при Е, = 0 отсутствуют векторы а1, при Еа — — Š— векторы Ь!). Векторы ьрЬь дьбь ..., ьрЬ! образуют базу ь)Е. В самом деле, если уЕОЕ, то у = ьух, где хС Е. Если л = ~~ пьа!+ ~я~~ р!Ьь то у = ьрх = ~~ р!ьрЬ1, так как ! 1 ! 1 1-1 Чььх1=0 (! = 1, 2, ...„й).
Векторы ьуЬь ьаЬ1, ..., Чьй! линейно независимы, а так как из ~~Р 13ььрЬ1=0 следует ~ч', Ь!Ь1~Ц, откуда лг', р!Ь! ~ч~~~ а!а! и, ь 1 1-1 1-1 1 значит, 131=0 (1=1, 2, ..., 1). Итак, рази. Е = 1+ й = раям. 41Е+ рази. Еа. а) Из (1) в силу Еят=ь!ь '0 находим: раям. Е = разм. ьрЕ+ разм. Еа 4 раям. ЧьЕ+ деф. ь!Х рази. Š— деф.
ьг ~ раям. ь)Е И92 — 1515) отняты 353 б) Положим и 1Е=Е'. Так как ОСЕ, то и 10с:г) 'Е=Е' и Е'Дп '0= = ф 'О. Применяя (1) с заменой Е на Е', получим: разм. Е' = разм. ОЕ'+деф.9. (2) Так как грЕ'с= Е, то раем. ~рЕ'< рази. Е и по (2) раям. Е' рази. Е+дефлф чем доказано второе из неравенств 5). Покажем, что ОЕ' ЕПгр)1„. Так как ~рЕ'~Е и ЧЕ'<:Тйл, то ~рЕ'~ЕДЧЖ„. Если х~ЕПграг„, то х =их', где х'~ р 'Е= Е', т. е. хС~рЕ'. Отсюда ЕПи)та с: гуЕ'. Так как рази.
(Е+пЯ„) ~ л, то, используя связь размерности суммы и пересечения подпространств (задача 1315), получим: рази. 9Е' = рази. (Е() ~рй'„) = разм. Е+ разм. ~р̄— рази. (Е+ и)1я);» > раям. Е+ раем. вй'„— и = разы. Š— деф. ~р. Отсюда в силу (2) находим: рази. Е' = разм. ОЕ' + деф.
и ~ (раям. Š— деф. 9) + деф. ф = раям. Е, чем доказано первое из неравенств б). М99. У к а з а н и е. Рассмотреть преобразования и и ф пространства )сл с матрицами А и В и применить предыдущую задачу к подпространству Е=ф)1л. 2494. Единственное собственное зяачеаие Л = 1. Собственные векторй имеют внд с, (а, +2ат)+ст (аз+а,+ 2а,), где си ст не равны нулю одновременно. 2496. У каза ни е. Рассмотреть матрицу преобразования гр в базисе, первыми векторамн которого являются линейно независимые собственные векторы гр, принадлежащие Ла.
Другой путь связан с применением задачи 1074. М(И. Нулевое подпространство и подпростраиство Ею состоящие нз всех многочленов степени <Д (5 =0, 1, 2, ..., л). М96. Ииварнантйыин подпростраистаами буду~: нулевое подпространспю н любое подпространство, натянутое на какую угодно подсистему векторов базиса ан ат,..., а„; их число равно 2". У к а з а н н е. Применяя задачи 1495, 1502, показать, что любое ненулевое инвариантное подпространство Е имеет базис, являющийся подсистемой векторов аь а„..., а„.
М04. Прямая с базисным вектором а, =(2, 2, — 1), любая прямая плоскости Е с базиснымн векторами а, == (1, 1, 0) и аз = (1, О, — 1), т. е. плоскости х, — х, +х, = О, сама зта плоскость Е, любая плоскость, проходящая через вектор аи все пространство и нулевое подпространство. 1606. Прямая с базисным вектором (1, — 2. 1), плоскость с базиснымн векторами (1, 1, 1) и (1, 2,от, т. е. плоскость с уравнением х, — 2хт + хт = О, все пространство и нулевое подпространство. М09. Л, = 1, Лм, = О. Корневые надпространства состоят из векторов для Л, = 1: с (1, 1, !); для Лт,, = 0 с, (1, 1, 0)+ст (1, О, — 3).
ММ. Л, = 3, Лт, т = — 1. Корневые подпространства состоят из векторов для Л= 3: с(1, 2, 2); для Лт, т= — 1: с, (1, 1, 0)+ст(1, О, — 1). МФ. Ль т, т = — 1. Все пространство является коркевым подпространством. ММ. Л,, т =2, Лт, т = О. Корневые подпространства состоит из векторов: для Ль т = 2: с, (1, О, 1, 0)+ст (1, О, О, 1); для Л„, =0: с,(1, О, О, 0)+ст(0, 1, О, 1). М16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
