И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 66
Текст из файла (страница 66)
а) Любое число и является собственным значением. Соответствующие ему собственные векторм имеют вид са"", где с чь 0; б) корневое подпространство, соответствующее числу и, состоит из всех функций вида (а, +а,х+ ... +а„х") ея". где аа, л„..., а„— любые числа н и — любое целое неотрицательное число. 354 отвнты (1517 — 1529 4617. Если мянимальный многочлен 5 (Л) = Лз — с„Л" т — сз,Лз з —... ... — сь то матрица преобразования ф имеет вил 0 О 0...0 с, 1 0 О .. ° 0 ст 0 1 0...0 с, 0 0 0 ... 1 сз 5616. Жорданова клетка а 1 О ...
О 0 а 1 ... 0 О О 0 ... а 56ЙВ. При н= 2 поворот плоскости на угол а Ф Ип ие обладает инвариантными прямыми. Подпространство Ь тогда и только тогда содержит прямую неподвижных точек, когда преобразование фь индуцироваиное преобразованием д на Ь, обладает собственным значением, равным единице. $6ЙВ* Указание. При доказательстве утверждения а) использовать равенстно 1=И,(Л)и,(Л)+Ит(Л)ит(ЛЛ где и,(Л) и и,(Л) — многочлены от Л; б) вывести из а). 1666 д(Л)=(Л вЂ” 1)'(Л вЂ” л).
Йт=Ь,+Ьь где Ь, имеет базис.У,=»ь уз=»,— »н а Ье — базис уз=»т. Указание. При отыскании»(Л) использовать задачу 1485. $6Й6 5(Л)=(Л вЂ” 2)(Л вЂ” 3). Йт Ь,+Ьь где Ь! имеет, например, базис Д»,+»ь.ут=»,— »ь а Ь,— базис 2»,— 5»,— б»ь 56ЙВ. л(Л) = (Л вЂ” (а, а)) Л. Йл = Ь|+ Ьв где Ь, натянуто на вектор а и Ьт об вковано всеми векторами, ортогональнмми к а. .
Если Лз — собственное значение ть то жорланова форма состоит нз одной клетки йорядка л с Л, ид диагонали. 56ЙВ. Решение. А) Положим: у!(Л)=, (1= 1, 2, ..., з). У(Л) (Л вЂ” Лд ю Многочлеиы у~(Л) взаимно просты. Значит. существуют многочленм Иг(Л) (1 = 1, 2, ..., з) такие, что 1 = ~ у! (Ц Иг(ЛЛ откуда для любого вектора х: г-г х= ~~~~ х„ где хг=уг(ф) ° Иг(ф) хЕРь так как (р — Рчс) 'хг=У(ф)Иг(г))х=0 по тео- реме Гамильтона — Кали, в силу которой т" (~р) =О.
Единственность разложения (1) достаточно доказать для х = О. Применяв к обеим частям равенства ~~~', х~ = 0 преобразование У! (6), получим: 1 ! Х~Щх,=О, так как Г' (ф)х)=0 при у+Ь Далее, уг(Л) и (Л вЂ” Л) взаимно зг просты. Значит, существуют многочленм р(Л) и д(Л) такие, что з, 1= р(ЛУ,(Л)+д(Л)(Л вЂ” Л,), откуда х~ = р (ф) У~ (6) хг +» (е) (ф — Л~з) т х! = О.
1529) отвнты 355 Этим доказано, что пространство Ю» есть прямая сумма подпространств Р! (1= 1, 2, ..., з), и построение искомого базиса сведено к случаю Б). В случае минимального многочлена рассуждения аналогичны (см. задачу 1523). Б) Достато()!о доказать, что указанное построение на каждом шаге возможно (то есть векторы, дополняемые до базиса )г~ линейно независимы) и что векторы всех построенных серий образуют базис пространства )г».
Кюкдой серии в матрице преобразования !) соответствует, очевидно, жорданова клетка с нулем, а в матрице преобразования 2=)чз+!) соответствует клетка с Х» на диагонали. Возможность построения на каждом шаге доказывается ицлуктивно для И=И, И вЂ” 1... „1. При И= И векторы любого базиса 11» ! вместе с векторами высоты И, начинающими серии первого шага, по построению образуют базис )1». Предположим, что уже построены серии с начальными векторами высоты ~;И+1, причем все векторы высоты И+1 построенных серий х, ..., х вместе свекторамиу, ...,у любогобазисай»обраэуютбазис)!»+!. !'"' р !'"' э Покажем, что векторы высоты И! !)х!, ..., !)хр построенных серий вместе с любым базисом лв ..., к для Я» ! линейно независимы. Пусть ~ с!!)х!+ г' аулу = О. ! ! ! (2) Применяя к обеим частям этого равенства преобразование !)» г, получим л т)И ~ч~~~ с!к!=О.
Поэтому вектор ч,'сгх! принадлежит Ю» и линейно выра! ! ! ! жается через его базис уь ..., у . Из линейной независимости векторов хи.... хм уь ..., уэ (как базиса й»!.!) вытекает, что с! = О (1 = 1, 2, ..., р). Поэтому из равенства (2) вытекает, что 4! = О (г'= 1, 2, ..., г); этим доказано, что векторы высоты И построенных ранее серий вместе с векторами любого базиса )гз ! можно дополнить до базиса Я». Приняв дополнительные векторы (если они существуют) за начальные векторы новых серий, мы находим, что предположение, сделанное выше для Яз+ь выполнено теперь для»1», и построение можно вести дальше. Пусть указанное построение выполнено для И = И, И вЂ” 1, ..., 1 (в действительности базис всего пространства может получиться н раньше, чем мы дойдем до И = 1).
Так как Ю» не имеет базиса, то по доказанному векторы высоты 1 построенных серий образуют базис для 11!! значит, эти векторы вместе с векторами высоты 2 построенных серий образуют базис Ю» и так да»ее. Наконе!ь венторы высоты (И вЂ” 1 построенных серий вместе с векторами высоты И этих серий образуют базис М». Иными словами, векторы .всех построенных серий образуют базис всего пространства. В) Пусть С= А — Л В. Так как матрицы В" и С" подобны, то ранг матрицы С" равен г (И=О, 1, ..., И, И+1).
Каждой жордановой клетке матрицы А с Х на диагонали в матрице С соответствует клетка того же порядка с йулем на диагонали, Если Π— такая клетка порядка р, то ранг клетки ВЗ при И = О, 1, 2, ..., р равен р — И, а при И = р, р+1, ..., И, И+ 1 равен нулю. Клетке с И ~ Х матрицы А соответствует в матрице С клетка с числом Х! — И» чь О на диагонвэи. Ранг любой ее степени равен ее порядку. Ранг,матрицы С" равен сумме рангов ее клеток. Поэтому при переходе от матрицы С» ! к матрице Сл ранг понижается ровно на число клеток (!630-1637 ОТВЕТЫ матрицы С с нулем на диагонали, имеющих порядки ,'н. И. Отсюда ~Ч~~хз=г» з — г» (»= 1, 2, ..., И).
(3) з» Вычитая отсюда аналогичное равенство с заменой И на »+1 (при И < И), получим соотношения (а) для » =1, 2, ..., И вЂ” 1, Так как клетки порядков выше И с Ха на диагонали в матрице А отсутствуют, то г, г», и при »+з' И = » соотношение (3) дает: х»= г», — г» =г», — 2г»+г»+з, то есть соотношение (а) верно и для И= И. йззз. у, = (1, 4, зь у,=(1„0, о), у,=(з, о, 1), $337.
Уу — — (1, — 3, — 2). уз =(1, О, 0), Уз = (1. О' 1'ь 7333. Уз =(6, 6:, — 8), у,=(з, 1, о), Уа —— (2, 1,— 11 ййа. У, =(З, 1, 1), Уз= П, о, о)„ Уз =*(6 (( 1)' А = 0 2 0 А = ΠΠΠ— 1 1 0 А = О 3 О 733* Уз-(1, 1, 1, 1), У,=( — 1,0,О,О1 У, =(1, 1, О, О), у, =(о, о, — 1, о); 7333. Уз ( — 1, — 1, — 1, 0), Уз= (2, 1, О, О), У, =(1, О, О, — 1), Уз=(3, 6, У, 1); 7333. При четном и: 1 1 0 0 0 ! О 0 0 0 1 1 0 0 О 1 2 1 0 0 О 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 уз=е„уа=еь уз=еь ..., у„=е„н у„еь ..., уз=ел. 2 — +1 2 Матрица А состоит из двух клеток Жордана порядка — с нулем по глав- У 2 ной диагонали.
При нечетном л: уз=ив уз=на, уз=ни "° у»+з =е» уз~из =еа ° ° ° уз=ел-з. 3 — +1 3 и+1 .и — 1 Матрица А состоит из двух клеток Жордана порядков — и— з 2 2 с нулем по главной диагонали. 7337. з) является отражением пространства Ял в некотором подпространстве й, параллельно некоторому дополнительному подпространству ьз. Инмми словами 3» есть прямая сумма Ьз и ьь причем Зх=х, если х~й„ и Зх= — х, если хайя.
1538 — 15%1 отвиты 357 Указание. Первый способ: принять за Ег и Р.т совокупности всех тц лля которых соответственно ~рх=х и ~рх= — х. и положить 1 1 х = — (х+йх) + — (х — Чх). 2 2 Второй способ: рассмотреть базис, в котором матрица Аи имеет жорданову орму.
6'Р 69. ~р является проектированием пространства Я„ на некоторое надпространство 1., параллельно некоторому дополнительному подпространству (.л, Иными словами, )2„ есть прямая сумма р.г и ьь причем грх = х, если Х~у.г, и гРх=б, если Х~йл. Указа ние. Первый способ: принять за ьг и кч совокупности всех х, для которых соответственно ~рх = х и ~рх = О, н положить х = ~рх+ (х — ~рх). Второй способ: рассмотреть базис, в котором матрица А~р имеет жордаиову рму.
49 . 69. а) Для базиса еь еь е, преобразование ~р определено таж ре, =е чел=еь цел=О„. б) ~рел =е„ягел = — еь ц:ел =О (в случае ортонормированного базиса гр будет проектированием на плоскость еь ел, соединенным с поворотом втой (-'-) "(.";,' ",) (', =:,') $644. гр" — проентирование иа биссектрису второй и четвертой четверти параллельно оси Оу. т646.
Указание. Показать, что если яЕЕ,, и~у.з то ~р л=О, лр*и = и. 2647. У к аа ание. Показать, что ортогональное дополнение к одномерному надпространству, иивариантному относительно сопряженного преобразования ~р*, инвариантно относительно ~р. ° 649. У к а з а н и е. Пользуясь предыдущей задачей, построить цепочку подпростраиств )1„:л Р.ч г:л ... =ля.ь где йл — д-мерное подпространство, инвариантное относительно гр, и применить аадачу 1355. 2649.
Зх, — Зхл+ хл = О. 2666. У к зван не. Рассмотреть равенства Орел Д) =(еь р*уг) (1, У= 1, 2, ..., и). ° 66* У казанке. Перейти к ортонормированному базису. 2666. 5 5 3 А,= — 5 — У вЂ” 2 " -(,'=.') Фрйй, Наприлгер, преобразование ~р, переводящее вектор х =(хи хт, ..., х„), иаданный координатами в ортоиормированном базисе, в вектор ~рх (1хг~, хл, ..., хл), сохраняет скалярные квадраты, но ие линейно. Збй ответы (1ООЗ-(буо У к аз ание.
Для доказательства утверждения о линейности 9 показать, что (6 (ах+ Ьу) — шрх — (»ру, ~р (яХ+ Ьу) — арх — (чру) = О. ° 663. а) (ГА '=А(Р; б) О'А '=А'сг. »-1 9666. Указание. Поназать. что сУществУет вектоР х» х» — ~ч~', а~хт 1 ! (быть может, равный нулю), для которого (х», х~)=О (1 1, 2, ..., » — 1), »-1 т l что, положив у» — — у» — ~и~', а у, пол;чим системы векторов хь ..., х,, х, р-г г и ув ..., у„н у» с равными матрицами Грана, и применить метод математической индукции. 9667.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
