И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Указание. Применить задачу 1499. $666. Решение. а) Если ср«=М, то Орг, дж) ЛЛ(г, г)=-(г, «Л откуда ЛЛ = 1 и ~ Л1= 1. б) Пусть 1р«,=Л,«ь ~рг»=Л»з», Л, ~Л» Тогда (гь г,)=рргь ~р«») = = ЛД (гь гт), откуда, умножая на Л» и принимая во внимание, что Л Л, = 1, найдем Л,(«в «,)=Л»(гь г,) и, значит, (гь «»)=О. в) Пусть Х и 1' — столбцы координат х и у. Переходя к координатам в равенстве ~р (х+ у() = (а + Щ (х+ ур), получим АХ+ Ау! = (аХ вЂ” (1)) + +(ОХ+а?') Е откуда, приравнивая действительные и мнимые части, находим: АХ =аХ вЂ” ОУ; АУ=()Х+ау, что доказывает равенства (1). Умножав почленно первое из равенства (1) само на себя и применяя соотношение а'+й»=1, получим Орх, рх) =(х, х) =(аз+ба)1х1»= аз ~х)т+б»1у1»вЂ” — 2а(1 (х, у).
Перемножая равенства (1), находим: ( рх, ~ру) = (х, у) = (а'+ б) (х, у) = ар (1х 1» — 1у () + (а' — й) (х, у). таким образом, для величии 1х(з — 1у1» и (х, у) после сокращениа на б получаем систему уравнений; ()(1«1' — ]У)')+2а(х,У)=О; а(~хр — 1У1') — 2(1(х, У) О, так как определитель системы отличен от нуля, то ~х1» — )уЕ=О и (х,у)=О. г) Если р имеет вещественное собственное значение.
то имеется одномерное инвариантное подпространство. В противном случае переходим к унитарному пространству. Именно, берем в унитарном пространстве Я„ ортонормированный базис е, ..., е . Векторы из РР'„, имеющие в атом базисе з' вещественные координаты, образуют евклидова пространство РР», вложенное в )Р'„. Преобразование ~р 'имеет н базисе ев ..., е„вещественную ортогональную матрицу А.
Эта матрица в данном базисе определяет унитарное преобразование ~р', совпадающее с ~р на )гл. Преобразование ~р' имеет собственное значение а+()Е где б Ф О. Если х+у( — соответствующий ему собственный вектор и х, у — векторы с вещественными координатами, то выполняютса равенства (1). Значит, надпространство пространства )гя, йатянутое на векторм х и у, инвариантно относительно ~р.
$6»В. а) Для любой унитарной матрицы А существует унитарная матрица () такая, что матрица В = Я'АЯ диагональная с элементами диагонали, равными по модулю единице. 1571 — 15741 отвнты 350 б) Пространство 11в является прямой суммой попарно ортогональных одномерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно 2). Преобразование 47 оставляет векторы одномерных подпростраиств неизменными или менвет их на противоположные, а на двумерном подпростраистве вызывает поворот на угол т. Для любой ортогональной матрицы А су)цветвует ортогональная матрица 32 такая, что матрица В = ()'АВ) имеет канонический вид, указанный в заааче.
Указание. Использовать задачи 1567 и 1559 и применить метод математической индукции. В= 0 1 0 ° 4524' У) = — (1, 1 1) 1 )УЗ В= О 0 1 2222. 2 3 — 2 — 3 Г, — 4 — 23 Г, 3"2), 42 3-2В3 2 уз = — (6)22, — 2 — г)2, 2 — )У2), 1 )УИ = — 32, У42 — 22 3 2, У42 3. 22 УВ Ъ )334 0 )72.).ВВ3 2 12 — 2+7)42 0 — — )У2 1 2 — 3)У2 1 у,- — (1, О. — !).
)22 1 у = — (1, — 2, 1); )36 бай у = — 2~'2(1 ! О) 1 у, - (О. о, 1), у,= — р 2(1, — П 05 1 2 — 2 1 0 о — 2+71 2 12 3' 42.3 24) г 12 1 0 0 1 УУЗ 0 2 2 — рз 0 2 2 -' )УЗ вЂ” )43 -5)З 1 3 — 126 1 3 1 — — !)гб 6 — — ))6 1 6 !1575- 1386 збО $$75. 1 .' )/2 2 О О 1 О 2 Π— — РЗ 1 2 232 212 ΠΠ— ргЗ 1 2 1ОО О! О!О О ОО! О' О О О -! 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 О ОО~ Π— ! О О О О О!' ΠΠ— ! ΠΠ— ! О О ! О ! Π— ! О ! 0= — '$'2 2 2 1 — — — 1 3 3 1. 2 3' 3 1 2.
2 — — — 1 3 3 3 8584. ~у либо тозкдественное преобразование, либо симметрия относительно некоторого подпространства А размерности д =О, 1, 2,..., и†1, т. е. рх=х длн любого х нз В н Ч>х = — х для любого х нз ортогонального дополнения Е*. 9 О О В= О 18 О 83ав. У, =( —, —, — ), 2 2 1 В О 9 О ° (2 1 2! ля= 83ВЕ. Л=( —, —, О), 1 1 "г' 2 г'2 1 1 ~ф 18 г' Г8 ~"=~3 -3 3): 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 О 1О! ответы 2 О О в- обо. й692.
У,= — (1, — й О), У2 У,= — (1, 1, о), 1 3~2 У,=(О, О, 1); 1+1 У'б — 2 )' б 1+1 р'з 1 У'з й699. В-(~,); (О 8)' )' б ( — 1 2+1)' $699. Указание. Пусть Е — матрица, у которой в(-й строке и ~-м столбце стоит единица, а на остальных местах нули. Рассмотреть матрицы всех преобразований в ортонормированном базисе: Еп, Ем... Ель Е~т, Егг "., Ела " Еип- Ьп Ьм ап и Вг= аы Ьщ (1=1, 2, ..., л) — столбцы, являющиеся ортонормированными собственными векторами соответственно Р и (), то л' матриц хг) — — А,в)(й /= 1, ...„л), где в Ь-й строке и 1-и столбце матрицы ХВ стоит йроизведение а;аЬ)г, образуют ортонормированный базис собственных векторов преобразований ф и ф, причем любой такой базис получается указанным способом нз некоторых ортонормнрованных базисов собственных векторов матриц Р и Я. %694.
Если, например, линейное преобразование ф плоскости в ортонор- /1 — 31 мированном базисе вадано матрицей 11 ) и вектор х= (1, 1) задан коор- '(О 1) динатами в том же базисе, то Оух, х) = — 1. ° 696. Указание. Моя<но использовать задачу 12)ба).
Проще рассмотреть матрицы преобразований ф, ф, )( в ортоиормированном базисе собственных векторов преобразования )ь 969й. а) ЬГА = А'(Г; б) ЬГА= А'ЬГ. $69Й. Две вещественные квадратичные формы тогда и только тогда приводятся к каноническому виду одним и тем же ортогональным преобразованием, когда нх матрицы перестаноаочны. Две поверхности второго порядка тогда и только тогда имеют параллельные главные оси, когда ма.трицы из коэффициентов прн членах второй степени их уравнений перестановачны.
Указание. Доказать, что подпространство Е всех собственных векторов преобразования ф, принадлежюцих одному и тому же собственному значению Л, будет ннвариантным относительно второго преобразования ф. й693. Если 362 ОТВЕТЫ [1596 — 1676 4696. Указание. Существование доказывается, как в задаче 1276. Единственность проще доказать, пользуясь предыдущей задачей. Л 2! 469». Собственные значении преобразования с матрицей ( ! Раним 3. 12 1т' — 1, т. е. не являются оба положительными. 2 1 3 3 ° 600.
14 2 2 3 3 3 2 17 3 3 2 1 3 3 2 3 14 3 2 3 2 3 4 2 3 3 2 3 $609. У к а з а н и е. Найти невырожденное преобразование у. такое, что )(з = ~, н показать, что преобразование )(-~яву)( является самосопряженным. 6666. У к а з а н и е. Пусть 6, и 9,.— самосопряженные преобразования с неотрицательными собственными значениями такие, что 9 =6 и 1) =ф г т если 6 невыРожденно, то, положив т,=~у,йь показать, что тт, =~Р1 ~~у(хуи 4606. У к а з а н и е.
Рассмотреть матрицу преобразования в базисе собственных векторов. $606. Указание. Рассмотреть ортонормированный базис, в котором матрица 6 диагональна, и совершить переход к новому базису. к60 з. У к а з а н и е. Показать дистрибутивность операции перехода от А и В к С. Рассмотреть линейные преобразования ~у, г), )(, заданные в некотором ортонормированном базисе унитарного пространства )(„матрицами А, В, С. Разбить преобразования 9 и ф на суммы неотрицательных самосопряженных преобразований ранга 1 с матрицами А, ... А, и В, ...
... В, Пользуясь задачей 1606, показать, что преобразование с матрицей (Аь 4т) в том же базисе неотрицательно. Наконец, пользуясь задачей 1604, показать, что преобразование у неотрицательно. з609. У казан не. Локазывается аналогично соответствующему свойству самосопряженного преобразования. ° 640. Решение. Свойства а) и б) доказываются аналогично соответ-— ствующим свойствам самосопряженного преобразования.
Локазательство свойства в): пусть Х и У вЂ” столбцы координат соответственно х и у. Переходя к координатам в равенстве 6(«+у!) = 6!(х+у)), получим: АХ+АЛ= — 6У+6ХО откуда, приравнивая дейстиительные и мнимые части, находим: АХ= — бу, А!'= (!Х, что доказывает равенство (1). Так как матрица А вещественна, то для вещественного вектора «вектор гз« и число (6»„») вещественны. Поэтому (6», «) =(», — %«) = — («, Чж) = = — (6», «) и, значит, Ор«, «) = О. Умножая второе из равенств (1) на у, найдем: Р(х, у)=(ру, у) О, откуда (х, у)=О.
Умножая первое из ра- 1611 — 16141 ЗОЗ венств (1) на у, а второе на х и складывая, получим авилу вещественности числа (фу, х)=6(х, х), что (1(!х!з !л!з) — (4рл у)+(фл х)='(фх у)+ +(х, фу)=(фх, у) — (!рл, у) О, откуда !х~=!у~. Доказательство свойства г): если преобразование ф имеет число 0 соб- ственным значением, то имеется одномерное инвариантное нодпространство. В противном случае переходим к унитарному пространству.
Именно, берем в унитарном пространстве РР ортонормированный базис ен..., е„. Векторы нз )рю имеющие в этом базисе вещественные координаты, образуют евкли- дово пространство )тл, вложенное в М,' Преобразование ф имеет в базисе л!, ..., еа вещественную кососимметрическую матрицу А. Эта матрица в дан- ном базйсе определяет кососимметрическое преобразование ф' унитарного пространства )1'„, совпадающее с ф на М„. Преобразование ф' имеет соб- ственное значение 5! ~ О. Если к+ у! — соответствующий собственный век- тор, где х и у — векторы с вещественными координатами, то выполняются равенства (1). Значит, подпространство, натянутое на х и у, инвариантно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
