И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 71
Текст из файла (страница 71)
+ (аг). Находим число всех систем (аь а„..., а!), определенных указанным образом для всех подгрупп Н порядка р!. Так как а, чь О, то для а, имеем р" — 1 возможностей. Так как ат лежит вне циклической подгруппы [а,), то для ат имеем рь — р возможностей и т. д. Аналогично находим число всех систем (аи ат, ..., а!), дающих однУ гРУппУ Н поРЯдка Рг. Число всех подгРУпп порядка рг равно частному двух найденных чисел.
1766. У к а з а н и е. Сначала рассмотреть случай примарной группы, затем взять разложение группы на примарные компоненты (задача 1703 б)) и применить задачу Г700 б). 1766. Кольцо. 1716. Кольцо. 7711. Кольца При и = 0 получаем нулевое кольцо, состоящее из одного числа О, который будет единицей кольца и сам для себя обратным. Нулевое кольцо не будет полем, так как поле должно содержать более одного элемегггэ. 1ПЙ. Поле. 1713. Поле.
1714. Поле. 1716. Кольцо. 1716. Поле. 1777. Колы!о. 7716. Поле. 1716. Кольцо. 1726. Кольцо. 1721. Кольцо. 1722. Кольцо. 1723. Кольцо. 1724. Матрицы с рациональными а. Ь образуют поле, а с действительными а, Ь вЂ” кольцо, но не поле. 1726. Полиномы от синусов и косинусов и полиномы от одних косинусов образуют кольцо, а от одних синусов не образуют. Указание. Для 1726 — 1757) ОТВЕТЫ доказательства, что полиномы от синусов не образуют кольца, испольэовать то, что прои)ведение двух нечетных функций является функцией четной„ 1733, Не образуют. У к а з а н и е. Используя непривадимость многочлена хэ — 2 над полем рациональных чисел, доказать, что )г2 ° у2 =у'4 не принаялежит рассматриваемому множеству.
1 э — 3 1737. — (5+ 012 — тг'4). У каза н не. Для доказательства одно 43 значности использовать неприводимость многочлена х' — 2 над полем рациональных чисел. Для отыскания обратного элемента применить метод неопределенных коэффициентов. 1733. -'= — „'„ОΠ— Ф'5+ 11У25). 1739. У к а з а к и е.
Использовать свойство неприводимого миогочлена быть взаимно простым с любым многочленом низшей степени. $731). 6 ' = — (101+ 37а+4а'). 1 405 У к а в а н и е. Если ф (х) = х' — х+ 3, то методом неопределенных коэффициентов найти многочлены Д (х) первой степени и Ч~, (х) нторой степени, удовлетворяющие равенству г (х) е, (х) + ф (х) ~71 (х) = 1, и положить в этом равенстве х=п. ЬΠ— для хц О, (х — лдя х~О, 1733. Например, Д (х) = 1 ут (х) (х — лли х) О, 10 — для х) О.
1734, Делители нуля имеют вид (а, 0), где а + 0 и (О, Ь), где Ь ~ О. 1737. Матрицы, в которых элемейт в левом верхнем углу отличен от нуля, не будут левыми (ио будут правыми) делителями нуля. 1733. Указание. Раскрыть скобки в произведении (а+Ь)(е+е) двумя разными способами. 7743. Матрицы порядка э ',> 2 с влементамн из данного поля при условии, что все строки, начиная со второй, состоят из нулей, образуют кольцо с несколькимн левыми единицами, а при аналогичном условии для столбцов — с несколькими правыми единицами.
7743. У к а з а и и е. Пусть э — элемент кольца, отличный от нуля. Показать„что соответствие х-и ах, где х — любой элемент, является взаимна одиазначйым отображением данного кольца на себя. 1743. У к а з а н и е. Использовать задачу 1742. 1747. Указание. Найти матрицы Е, 7, е', К, соответствующие единицам 1. 1, /, Ь, и проверить таблицу у.миожения для них: ут= Р=Кт= — Е, 77= — Л = К, УК= — КУ= К Ку= — /К=У.
1749. Возможны лишь два таких автоморфивма: токскественный н переводящий каждое число в сопряженное. 7733. Указание. Показаттччтолюбое числовоеполе содержит число1, затем целые и, наконец, дробные числа. 1731. У к а з а н и е. Рассмотреть образы единицы, целых и дробных чисел.
1732. Указание. Показать, что положительное число, как квадрат действительного числа, переходит в положительное. Затем, пользуясь тем, что между двумя различными действительными числами лежит рациональное, и сохранением рациональных чисел, доказать неизменность любого действительного числа. 1733. Возможны лишь два таких отображения: тождественное и переводящее любое комплексное число в сопряженное. 1733. По модулю 3 система несовместна, а по модулю 5 она имеет единственное решение х= 2, у = 3, х = 2. \737.
По модулю 5 система несовместна, а по модулю 7 она имеет единственное решение х=2, у=6, х=5. 374 отвнты (1718 — 1773 1766. а) х+2 б) 1. 1736. а) 1; б) бх+1. 1766. а) х'+х+2; б) 1. 1761. а) Р е ш е н и е. Предположим, что г" (х) и д (х) имеют над полем рациональных чисел общий делитель 4!(х) положительной степени. тогда у(х) = а (х) 4! (Х), д (х) = ь (х) 4! (х), где а (х), ь (х). 4! (Х) — многочлеиы с рациональными коэффициентами.
Вынося общие знаменатели и общие наибольшие делители числителей коэффициентов и применяя лемму Гаусса о произведении примитивных многочленов, получим: р(х) = а, (х) 4!4 (х), 3(х) = ь, (х) 414 (х), где все многочлены имеют целые коэффициенты, сте- пень 41,(х) равна степени 41(х) и старший коэффициент 4!4(х) не делится на р. Переходя к полю вычетов по модулю р, получим общий делитель поло- жительюй степени для г (к) и 3(к) над этим полем, что невозможно, б) Многочлены г" (х) =к, Ь (х) =х+р взаимно просты над полем ра- циональных чисел и равны х, т.
е. не взаимно просты, над полем вычетов по модулю р. 7763. У к а з а н и е. Если у' (х) и 3 (х) взаимно просты, то, получив ра- венство г (х) и (х) + 3 (х) о (х) = с, где и (к), о (х) — многочлены с целыми коэффициентами и с — целое число, доказать, что у(х) и а(х) взаимно просты над полем вычетов по любому простому р, не делящему с. При доказательстве обратного утверждения использовать задаче 1761, 1763.
(х+ 1)4 (хг+ х+ 1). 1764. (х+3) (хт+4х -(-2). 17ВВ. (хэ+() (ла+ -(-х+2). 1766. (хт+х+1) (хт+2Х+Ь). 1767 г4=хз, уз=к~+ =(х+ )э 444=к +х=х(х+1) 4г4=хт+ + х + 1 ненриводим. 1763. у, = хз, гт = кт+ 1 = (х+ 1) (х'+ х+ 1), Х4+Х Х(Х+1) у4 Х +Х Х (Х+1) у = х'-(-х+1 неприводим, уз= к'+хт+1 неприводим. у, = хз-)- хз+х = х(к'+х+1), Гэ — — хз+хт+х+1 = (х+ 1)4.
ИВЭ. /4 = х'+ 1, 7 т = ха+ х + 2, Д = ха + 2х + 2 1776. у4 = хг+ 2х -(- 1, ут = х' + 2к + 2, Уз — — х'+хт+2, /4 = х'+2хт+1 Уз=кл+кг+х+2, Ух — — х'+х'+2х+1, Ут = х'+ 2хт + х+ 1, Уз = ха+ 2хт + 2к + 2. 1771. Указание. Применяя лемму Гаусса, из разложения 7(к) на два множителя с рациональными коэффициентами получить разложение на два множителя с целыми коэффициентами. Многочлен г (к) = рх'+(р-(- +1) х+1=(рх+1)(х+1) приводим над полем рациональных чисел, но по мол лю р равен х + 1 и, значит, неприводим.
1776. У к а з а и и е. Предположить противюе, применить разложение группы б в прямое произведение примарных циклических подгрупп, ис- пользовать задачу 1700 в) и теорему о том, что уравнение х" 1 в поле Е„ имеет не более и различных корней. 1773. Р еще ни е. Сначала докажем лемму из теории групп. Если два злемента а и Ь циклической группы б не являются квадратами, то их произ- ведение является квадратом. Множество Н элементов из б, являющихся квадратами, есть подгруппа.
Фактор-группа б/Н вЂ” циклическая, Если С=сН вЂ” ее образующая, то из сг ~ Н следует Ст = стН = Н. Значит, или Н = б, или б(~Н вЂ” группа второго порядка и аЬЕаН ° ЬН= Н, т. е. аЬ есть квадрат. Отсюда следует, что по любому простому модулю р одно из чисел 2, 3, 6 сравнимо с квадратом. В самом деле, при р=2 имеем 2=04, прн р = 3 также Зев 04. Если р ) 3, то 2 и 3 можно рассматривать как элементы мультипликативной группы 'б поли вычетов по модулю р. Согласно за- даче 1772 группа б — циклическая и по лемме, доказанной выше, если 2 и 3 — не квадраты, то 2 3 =6 в квадрат.
1774 — 1609) Многочлен отввты У (х) = (х — Р 2 — ЬгЗ) (х — )' 2 + )' 3 ) (х+)' 2 — )~ 3) (х + )"2 + ) '3 ) = = х' — 10«т+ 1 непрнводим над полем рациональных чисел, так как линейные множители и ик произведения по два не являются миогочленами с рациональными коэффициентами.
Пусть Ея — поле вычетов по простому модулю р. По доказанному существует элемент а~Ею для которого а! = 2, или а» 3, или а' = б. Если а' 2, то х< — 10хз+ 1 (хз+2»х — 1)(х! — 2ах — 1); если аз = 3, то х< — 10хт+ 1 = (хт+2»х+1) (хт — 2»х+1); если а' = 6, то х' — 10хк(-1 = = (х! — 5+ 2а) (хт — 5 — 2а). $774. Указание. Показать, что если а=а», то « — единица $779.
а) а = р в кольце вычетов по модулю рт; 6) а= р в кольце вычетов по модулю р". Здесь р — любое целое число, большее 1. $779. Указание. Лля числа «= а+Ь г' — 3 ввести норму Д!(«) а" «= а'+ЗЬ'. Локазать, что Ф(«! ° «) =Ф(«!)<т<(«<), для данного М ) 0 существует лишь конечное множество чисел «с Ф(«) «И, делителями единицы являются лишь ~1, делитель «с наименьшей нормой, большей 1, является простым. ! 1 1 ! 1 7799.
Указан не. Рассмотреть разложения 2=2т ° 2з=2т 2< ° 2 =... $797. а) Идеал; 6) подкольцо; в) идеал; г) не является подгруппой аддитивной группы; д) подкольцо; е) подгруппа аддитнвной группы," ж) идеал; з) подкольцо; и) идеал; к) идеал; л) не является подгруппой аддитивной группы. 7799. Указание. Показать, что любой идеал 1 порождается своим злементом а, отличным от нуля и наименьшим в следующем смысле: а) по абсолютной величине; б) по степени; в) по модулю. В каждом случае использовать существование деления с' остатком на злемент Ь чь О, причем остаток или равен нулю, или меньше делителя в указанном выше смысле.
$797. Если»е чЬ 0 для любого н ~ 0 из Е, то <р — изоморфизм, и «р(Е) изоморфно Е. Если н«=0 для некоторого и+ 0 из Е и н,— наименьшее положительное число, для которого п<«=0, то ф(З) изоморфно кольцу вычетов по модулю пь 7799. 6) Четыре смежных класса, состоящие из чисел а+Ы со свойствами: 1) а и Ь четны; 2) а четно, а Ь нечетно; 3) а нечетно, а Ь четно; 4) а и Ь нечетны; в) класс В, содержащий 1 +<, является делителем нуля, причем В! = О. 6799. Число злемеитов равно р».
° 999. 1. <<†кольцо с делителями нуля, рассматриваемое как модуль над самим собой, Д и а †делите нуля, для которых Да = О. 2. О = (»]— циклическая группа порядка в (с аддитивной записью операции), рассматриваемая как модуль над кольцом целык чисел. Тогда иа = О. 7994. У к а з а н и е. Применить задачу 16»У в). 7997. 6) Пусть а и Ь вЂ” два различных злемента второго порядка четверной группы (см. ответ задачи 1638 6)), Если рассматривать зту группу как унитарный модуль над кольцом целых чисел (прн обычном умножении злементов группы на числа), то О(а) и 0(Ь) совпадают с множеством четиык чисел, но (а) чь (Ь). 7999. Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
