И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Доказать, что множество / всех А~В, для которых Аа А, есть идеал кольца Л. й. Множество А всех злемеитов с конечным числом ненулевых компонент. 376 ответы ! 18!Π— !836 ММ. б) Пример 1. В кольце Еэ вычетов по модулю б как модуле над самим собой элементы 2 и 3 являются периодическимц а их сумма 5 не ивляется периодическим элементом.
Пример 2. Пусть !! — кольцо пар (х, у), где х и у — целые числа, а сложение и умножение пар производятся по компонентам (задача 173ч). Элементы а = (1,0) и Ь = (О, 1) являются делителями нуля. Если )7 рассматривать как модуль над самим собой, то а и Ь будут периодическими злементами, так как 0(а) — множество всех пар вида (О, у) и 0(Ь) — всех пар вида (х, 0).Но элемент а+6 = (1, 1) имеет порядком нулевой злемент (О, 0).
° Зэф. У к звание. Положить и= а'6, 5 = б'6 и показать. что о'(!'6(а+Ь) =0 и оуЬ = О. МЙ!. Указание. Показать, что М есть прямая сумма ненулевых подмодулей М!, казщый из которых состоит из всех элементов М, порядки которых порождены степенями простого элемента Р из )!.
ММ. Указание. Рассмотреть объединение модулей М!. 8989. Указание. Показать, что Ь-ьА+Ь есть гомоморфное отображение В на (А+В)/А, и нрименить теорему о гомоморфизмах для модуле!ь МЙЗ. Указание. Применить индукцию по л. При л=! применить задачи 1815 и 1818. При л ) 1 предположить, что в М существует бесконечная возрастакицая цепь различных подмодулей М, ~ М! <= ..., положить О! ! А=(х!), ВЦМ!.М! — — М!ПА и показать, что цепь М стабилизируется на ! 1-! некотором Мл — — АПВ. Затем применить теорему об изоморфизме (см.
задачу 1819) и использовать то, что фактор-модуль М/А имеет л — 1 образующих. МЙЙ. У к а з а н и е. При доказательстве б) рассмотреть выражение (1+1)(х+у). МЙЗ. в) Пространство У бесконечноиерно. МЙЗ. Указании Доказывать по индукции или положить в линейном соотношении х = 1, 2, 2!...,, 2" '. МЙЗ. У калай ив. В случаях в), г), д) дифференцировать два раза и применить индукцию. ЬЗЙУ. У к звание.
Использовать определитель Ваидермонда. МЙ9. Размерность равна Сл+! ! — Сла+„и Указание. Взять забаву все одночлены и каждому одночлену вида х 'х ' ...х„" поставить в соответствие строку 1 ... 1 х, 1 ... 1х! ... 1 ... 1 х„. и раз а рю яэ раз МЗ9. С„„. Указание. Положить х!= — и свести к предыэ Уг уз+1 дущей задаче. 8999 б) Размерность Е равна л; в) размерность бл равна ивЂ Ь + 1; г) Е' ие является подпространством. МЗЙ. У к а з а н и е.
При доказательстве необходимости получить равенство В = СА, где С вЂ” невырожденная матрица из коэффициентов в выражениях системы (2) через (1). При доказательстве достаточности приписать к матрице А снизу строку координат вектора Ь! и, вычисляя ранг методом окаймлениц показат!ь что ранг полученной матрицы равен Ь. МЗЗ. г) Пусть иа плоскости хОу Е= Ох, М= Оу, ь' — любая прямая, проходищая через начало координат и отличная от осей, !р,— проектирова- 1837 — 186 Ц 377 ние на 6 параллельно М, Рз — проектирование на Е' параллельно М. Тогда з)зсзз =аз ~ ~рз = ~рззрз. Условие (3) не выполнено, но (з,рз и дзяр, шзляютсн проектированиями.
Указания. 6) Показать, что если 9, и 9, идемпотеитны, то 9,+9 идемпотентно тогда и только тогДа, когда Рзйз+з)ззэ~ =О. Умножая это ра- .венство слева и справа на Рь доказать его эквивалентность условию (1). в) Используя а), свести в) к б). г) Из зр,зззх=х вывести й,х=йзх=х, Ватам использовать представление х = Р,х+ (а — згз) х. М81. у каза н и е.
Рассмотреть (9 (хз+ хз), у) и (Ф (лх), у). МЗ9. — У 10. 1899. Если й — надпространство всех вектороц у каждого из которых лишь конечное число координат отлично от нуля, то Аз=О, Е+бз=бчьУ, (зэ)Ф вЂ” У чь з М41. Пусть А — матрица преобразования в ортонормированном базисе.
а) Поворот плоскости на некоторыи угол вокруг начала координат, если ) А ~ =+ 1; зеркальное отражение плоскости в некоторой прямой, проходящей через начало координат, если 1 А1= — 1. 6) Поворот пространства на веко- торый угол, вокруг оси, проходящей через начало координат, если ~ А1=+ 1; поворот, указанный выше, с последующим зеркальныи отражением простран- ства в плоскости, проходящей через начало и перпендикулярной к оси вра- щения, если 1А ~ = — 1.
М49. Поворот вокруг оси, определенной вектором у= (1, 1, О), иа угол а=60' в отрицательном направлении. Указание. Вектор г" ищем как собственный вектор, принэдлюказций собственному значению 1. Угол пово- рота и находим из условия 2соза+1=ам+ам+азь полученного из инвариантности следа матрицы преобразования зз. Для определения направле- ния поворота берем вектор, не лежащий на оси вращения, например еь его обРазззез и вектоР оси У и ищем знак опРеделитела иэ кооРдинат этих тРех векторов, т.
е. ориентацию тройки векторов еь Чеь у. М49. а) Нулевое преобразование; б) поворот на угол и/2 в положи- тельном или отрицательном направлении с последующим умножением на не- отрицательное число; в) дзх = а )( х. При а Ф 0 преобразование 9 сводится к проектированию вектора х на плоскость, перпендикулярную к вектору а, повороту вокруг а на угол и/2 в положительном направлении и умножению на длину а. У казан не. Рассмотреть матрицу преобразования чз в орто- 0 ам ам з, нормированном базисе А = — а,з 0 азз и положить а=-(аь аь а,), 1 — азз — азз 0 где а, = — азз а,= — азз =а~э аз= — ам. М44, У казан и е.
При доказательстве достаточности рассмотреть ска- лярное произведение (зз (х+у), х+у). М4%. У казан не. Найти базис еь еь ..., е, для которого 1(е,) = 1, 1(е ) = ... ! (е„) = О. фйзйй. Указание. Предположить, что 1,(а) чьО; 1з(Ь) чьб,: н рас- смотреть вектор а+Ь. 1949. Указание. Локазать, что если Ь(х,у) ~0; то — = — =д~а )з (х) )з (У) 1з (х) 1з Ы Рассмотреть произведение (1(х) — л)з (х) ) 1з(х) и применить задачу 1848. М99. Указание. Применить задачи 1846 и 1849. 1991. У казани е.
Применить задачу 1848. Ответы (1332 — 1ВЕО ТВВВ. Указание. Положить у =х — — ° а. 1(х) 1(а) 1663. У к а ванне. Для ненулевых функций взять вектор а, не лежа- кцнй в 8, положить А= — и применить задачу 1332 6). 1~ (а) Ют (а) 1В54. а) Однополостный гиперболоид; б) двуполостный гиперболоид. Указание. Перейти к однородным координатам. ° В66. Если еь ..., е„— нормальный базис (в котором у'(х) записы- вается квадратичной формой нормального вида), причем Х(ег) =1 (1 =1, .2, ..., р); у(еу) = — 1 О=р+1, ..., г); л (ел)=0 (А = г+1, .... л), то за .искомый базис можно взять, например, Л = ег+ ек ш (1 = 1, ..., р);,уу = — е + еу (/ = р + 1, ..., г); уа = еа (А = г+ 1, ..., л). У к а ванне.
Доказать, что векторы уы =ег+е) (1=1,..., р; т'=р+1, ..., г); й В = ег — е) (1 = 1, ..., р; у = р + 1, ..., г); лл = ел (л = г+ 1, ..., л) иэотропиы и через них выражается базис е„.. е„. 1В$7. Указание. Использовать задачи 1306 и 1856. 1ВВВ. Ук азание. Рассмотрим случай б) при условии р.ц;е. Взяв запись у (х) хг+ ° ° . +х,— хл+г — ... — х +е формой нормального 2 т з вида, проверить, что К содержит подпространство А, заданное уравнениями хг — хе+,— — О...., хр — хтр — — О, хтяш — — О, ..., хр+е О, (1) причем размерность Х, равна и — д. Затем предположить, что К содержит подпространство Ь' размерности з > л — лу, заданное уравнениями ~ч~' аг)х)=0 (1= 1, 2, ..., л — з), (2) / ! .добавить к ним уравнения хг 0 хр Ю' хрее+1 О хя 0 (3) и прийти к противоречию.
1ЕВЭ. а) Решение. Если у(х) в подходящем базисе записать и нор- мальном виде, то уравнение поверхности 8 запишется так: т хт (1) Если р = О, то на 8 нет действительных точек. При этом ш1п (р — 1, е) = — 1. Теорема верна, если считать размерность пустого множества равной — 1. Пусть р э О. Тогда на 8 имеются точки, например, (1, О, ..., 0). т. е. нульмерные многообразия.
Пусть Р— многообразие максимальной размер- ности л, входящее в 8. Р задается системой л — А линейно независимых уравнений л ~ч~~~ аг)х)=(ь (1= 1, 2, ..., л — А). (2) у 1 .Эта система не может быть однородной, так как нулевое решение не удовлетворяет уравнению (1). Для простоты предположим, что определитель Н порядка л — х из коэффициентов при первых л — л неизвестных отличен от .нулю Тогда общее решение системы (2) можно записать таю хг = са „л+,х„л+, + ... + св,ха+ сь „+г (1 = 1, 2, ..., л — й).
(3) 1860 — 1863] 379 Рассмотрим (и+ 1)-мерное пространство У„+ь Берем в нем любой базис и считаем, что 1'„натянуто на первые и векторов базиса. Рассмотрим однородную систему уравнений к ~ а!)ху — Ь!хаю — — 0 (1=1, 2, ..., л — л); (4) ! козффициенты такие же, как в (2). Ее общее решение имеет вид хг=с!,„а+,х„л+,+ ...
+агах„+сья-ьхк+1 (1=1 2. °" и — А) (5) такими же коэффициентами, как в (3). Затем рассмотрим конус К, заданный уравнением х,+ ... + ',— ';„— ... — „-х„„=а (6) Докажем, что (л + 1)-мерное подпространство Ь, чеканное системой (4), лежит в конусе К. Любое решение системы (4), в котором х„+, = 1, после отбрасывания х„+, дает решение системы (2), т. е. вектор из Р~3. Но такое решение удовлетворяет уравнению (6) и, значит, лежит в К.
Если х — любое решение системы (4), в котором хаю —— ачьО, то 1 — хЕК, откуда хЕК. Пусть х=(пь ..., о„г„о„а+ь ..., и„, 0) — решение системы (4) с х„+, ='О. Существует решение х! системы (4), в котором свободные неизвестные имеют значению 1 х„л+,—— а„а+„..., х„а,„х„+, — (1=1, 2, ...). Из формул (5) ясно, что 1!ш х! = х. По доказанному выше х! КК. Переходя !.+ в равенстве (6) после подстановки в нем координат х! к пределу при ! — ьсо получим х ЕК. Итак, Ь~К. Индексы инерции К равны р, 4+1. По задаче 1858 к-(-1~ ш!п(р, и-(-1), откуда й~ ш!п(р — 1, 4). Пусть К вЂ” конус с уравнением з':хт~...— х —... — х =О, П) где знаки совпадают со знаками соответствующих членов уравнения (1). По задаче 1858 конус К' содержит подпространство Ь' размерности к = ш!и (р — 1, 4), лежащее в подпространстве с уравнением х, = О.
Возьмем в У„вектор а, = (1, О, ..., 0). Тогда 5 содержит многообразие Р' = аз+ Ь' размерности А = гя!и (р — 1, я). Утверждение а) доказано. 4 . б Указание. При г<и свести б) к а) в г-мерном пространстве. а)1; б)0; в)1; г)0; д)1;е)1;ж)л — 1;з)п — 2;и)Ок)1. л — 1 1 если л > 2; О', если и = 2; л) 1; м) целая часть — или — и†1, если и 2 1 четно; — (и†1)„ если и нечетко. 2 Ф)64. 6) У к аза н ие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
