И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Найти системы линейных уравнений, задающих левое и правое ядро. 4362. Базис Ьа образует вектор (3, — 1), а базис Ье — вектор (2 — 1). 3363. 6) Указание. Пусть 1 ~ к(л. Взять функцию, матрица которой в некотором базисе имеет в левом верхнем углу квадратную невырожденную клетку порядка г, не являющуюся ни симметрической, ни кососимметрической, а на остальныл мастак — нули. 680 (1864 — 1866 6664. У к а з а н и е.
Использовать нулевое надпространство функции Ь(х, у). 1666. Указание. Показатц что координаты всех векторов из й' удовлетворяют матричному уравнению ВАУ=О; где А — матрица Ь(к, у) в некотором базисе пространства У В вЂ” матрица по строкам которой стоят координаты любого базиса надпространства В в данном базисе 1'м У вЂ столбец координат вектора у ЕУ.' в том же базисе. 1666.
Первое доказательство. Так как Ь(х, у)чьО, но Ь(к„х)=0, то существуют векторы хь х, такие, что Ь(хь хт) ~0. Умножая 1 один из зтих векторов на Ь, получим векторы еь ез, для которых Ь(хь х,) ' Ь(еь ет) =1. Векторы еь ет линейно независимы, так как если е, =аеь то Ь(еь ет) = аЬ(еь е,) =О. Пусть Е, — двумерное надпространство, натянутое на еь ет, и йз — множество всех у С У„таких, что Ь (х, у) = 0 для любого хЕйь По задаче 1865 ьг — надпространство размерности ~л — 2. Пересечение у., и Ц содержит лишь нулевой вектор, так как если к~(,, то х=ае,+ае,. Если х~Уч, то Ь(еь х)=Ь(еь Х) =0 и Ь(еь е)= =Ь(ея е,)=0; Ь(еь е,)= — Ь(ея е,)=1, откуда а, =О, а,=О, х=О.
По задаче 1296 размерность Уч равна л — 2 и Ул есть прямая сумма у,, .и Вп Если на ьт еще Ь(х,у) ФО, то, как вышц существуют векторы е„ е4Ейь для которых Ь(еь е,)=1 и т. д. После конечного числа шагов придем к надпространству йа+ь на котором Ь(х, у)= — О. Если йл+,— ненулевое, то берем в нем любой базис ела+о ..., е„. Векторы еь еь ..., е„ образуют искомый базис.. Второе доказательство '). Это доказательство дает практический метод нахождения невырожденного линейного преобрззования неизвестных, приводящего данную билинейную форму к указанному в задаче каноническому виду. л Пусть в некотором базисе Ь(х„у)= ~к~~ а1)х;уу За счет изменения й у 1 нумерации неизвестных можно считать а,т+О.
Запишем форму в виде Ь(к, у) =х,(а„уы-(- ... +ашу„) — у,(а„к,+ ... +а, .к„)+Ь,(х, у) и совершим невырожденное преобразование неизвестных l I г г к~ хн хз = а,зхз + ... + аглхю хз = х, ..., х„ =х„ и таксе же преобразование для у . Получим: Ь(х, У) =х,уз — хзт, +Ьз(х, у). г Р Если Ьз(х, у) не содержит хз, уз, то поступаем с ней аналогично. Иначе л Ьз(х У) = ~~'~ ацкгу; где азл чьО для некоторого Ь, 2а й <а. Совершив й/ з невырожденное преобразование неизвестных и г у у / и I х, = к~ — аюхз — ...
— аз„к„, хз —— хп ..., х„=х„ / и н такое же преобразование уо получим Ь(х, у) =к~уз — хзу~+Ьз(х.у), где Ь (х, у) не содержит к~, хз, у~, уз. Если Ьз(х, у) ФО, то поступаем с ней аналогично. ') А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, изд. 2, Гостехмздат, .1066, стр. 217. 1857 — 1883( отвпты 381 8687. Ь(х, у)=ивет — иве,+иве,— иве,; и,=х,+вахт из=х + + 2хв — хи из = хз, ив — — бхв и такое же выражение ез через у!. т666. Ь(х, у)=и,е,— и,е,+и,ев — иве,; и,=х, — 4х„из=х,+2х„ ив =хз ив —— — 8хв и такое же вырюкение е! через у!. $666. Нз матричном языке получаем утверждение: для того чтобы действительная симметрическая матрица А была ортогонально подобна матрице, у которой все злементы главной диагонали равны нулю, необходимо н достаточно, чтобы след А был равен нулю.
Указание. При доказательстве достаточности применить индукцщо по л. При н >! взять любой ортонормированный базис г"в,,ув . ° °,Уа. Если он не лежит на конусе. то показать, что существуют векторы,6,.~~, для которых /(Я) > О, у(Д) ( О, и за первый вектор искомого базиса взять вектор еь полученный нормированием вектора уз+)!у~, где Х найдено из условия У'( Ув+ ЗУ1) О. 8876. У к а з а н и е. Применить свойство: четыре различные точки тогда н только тогда образуют параллелограмм, когда их рздиусы-векторы удовлетворнют условию хв+ха =хз+хв.
8676. х, = — 1+31! — 41в, хв =2 — ув+(в, хз =Фв, хв = 1в. 1 1 1 1676 х! = — + — Ьв+ Ьв, хв =1! хв= 3 4(в, хв=О хв =уз. 2 2 2 ° 877. Зх, — хз — хв = 8, х, — 2хз+ х, = 3, 5х, — 2хз — хв = 7. МИ8. х, — 4хв + хз + 2 = О, 2х, — Зх, — хв + 7 = О!, Зх, — 5хв — хв + +8 =0. 1868з Пусть г и г' — соответственно ранги матриц ,га! Ь, с, а, Ь! с! А = ~ав Ьв св~ и А' ~ ~аз Ьв с, втз); аз Ьа сз аз Ь, с, втв а, Ь, с, а, Ьв сз ав Ьз св а, Ь, св "1 в(в вгв втв а, Ь, с, а, Ь, с, аз Ьз св а, Ь, с, и Возможны четыре случая: 1) г=З, г'=4; прямые скрещиваются; 2) г каются; 3) г= 2, г'= 3; прямые параллельны; 4) дают.
=г' 3; прямые пересег=!'=2; прямые совпа- г у н гг) — соответственно ранги матриц из 1-й и /-й строк матриц А и А'. Возможны следующие пять случаев, для которых необходимы и достаточна указанные значения рангов: 1) три плоскости проходят через одну точку: г = г' = 3; 2) три плоскости не имеют общих точек, но попарно пересекаются по прямым (образуют призму): г=гж — — гы — в;з — — 2, г'=3; 3) две плоскости параллельны, а третья их псресекасж гж —— 1, г Р Р =-гвз гвз —— гзз — — 2, г =3 и два аналогичных случая; 4) трн плоскости проходят через одну прямую: г=гвв=гвз гзз= =г 2; ! ! ! ! ! 5) трн плоскости параллельны: г=1, гю — — гвз — — гю=г 2.
8866. Пусть г и гв — соответственно ранги матриц 382 ОТВЕТЫ 11884 — 1885 4664 Пусть г и г' — соответственно ранги простой и расширенной матриц объединенной системы уравнений (1) и (2). Возможны пять случаеж 1) г=г'= 4; плоскости пересекаются в одной точке; 2) г=3, г'=4; плоскости скрещиваются и параллельны прямой, заданной теми тремя из уравнений (1), (2), у которых левые части линейно независимы; 3) г=г'=3; плоскости пересекаются по прямой;4) г 2, г' 6 плоскости параллельны; 5) г=г'=2; плоскости совпадают. М65. Пусть г и г' — соответственно ранги матриц (а, ат ... а~ (а, а, ... ад с) Возможны три случая: 1) г = г' = 2; гиперплоскости пересекаются по (и — 2)-мерной плоскости; 2) г=1, г'=х т.
е. — = — = ... = — ф —, гиперялоскости па|2! 4|2 |тд раллельны; 3) г = г' 1, гиперплоскости совпадают. М66. У к аз ание. Применить задачу 1874 и соответствующее свойство надпространств. М662 М69 и М96. Указание. Применить задачу 1887. М9$. Если м,1я„то н| — — иб если и|тгпт, то и, = а, +(Е2+Ет). МЭЗ. Пусть плоскость и| задана системой уравнений аих,+ ...+а|для=си ад,х, + ... +аддхд — — с, а плоскость я, — системой Ь!,х,+... +Ьшх„= 414, (2) Ь|,х, +... + Ь„,х„= 422, ! и пусть г|, г! и гт, гт — соответственно ранги матрицы из коэффициентов при неизвестных и расширенной матрицы систем (1) и (2), г и г' — ранги матрицы из коэффициентов при неизвестных и расширенной матрицы объединенной системы, состоящей из всех уравнений систем (1) и 1х). Чтобы системы (1) и (2) задавали плоскости, необходимо и достаточно, чтобы каж! / дая из них была совместна, т.
е. г =г| и гз — — гз. При выполнении зтих условий для параллельности данных плоскостей необходимы и достаточны условия: г=шах(гь г,), г'=г+1. МЭЗ. а) Многогранник Р задается системой неравенств х,3:О, хт)0, хв>0, х4>0, х4+хв<1, х4+х441, хз+хд ь1, хд+х4<П б) трехмерными гранями являются четыре четырехугольных пирамиды: ОАВСО с вершиной О, ОАВСЕ с вершиной Е, ООЕРА с вершиной А, ООЕГВ с вершиной В, и четыре тетраздра АСОР, АСЕР, ЕСОР, ВСЕГ. Указание. Через каждые четыре точки, не лежащие в одной двумерной плоскости„провести трехмерную плоскость.
Если г' атх| = Ь вЂ” уравнение такой плоскости н для координат всех данных точек или ~атх|~Ь„ нли А 'а|х|а, Ь;то соответствующее неравенство входит в систему неравенств, задюощих многогранник Р. Выпуклое замыкание всех точек, лежащих в данной трехмерной плоскости, будет трехмерной гранью данного 1886 — 1018) отняты многограш«ика. Например, точки О, А, В, О определяют трехмернув пло- скость с уравнением х, = О. Для всех данных точек х« ~0.
Поэтому нера- венство х« ~0 входит в искомую систему. На трехмерной плоскости х, 0 лежат пять данных точек: О, А, В, С, Ь. Их выпуклое замыкание есть пирамида, являвшаяся трехмерной гранью многогранника Р. Напротив, четыре точки О. А, В, Г определяют трехмерную плоскость с уравнением хв — «4=0, причем для точки О имеем хв-х«>0, а для точки Е имеем хв — х«< О. Значит„эта плоскость не приводит к искомому неравенству и не содержит грани многогранника Р.
Для уменьшения числа рассматри- ваемых четверок точек надо учест«ь что две четверки ОАВС и ООЕГ рашюправиы к лежат в двумерных плоскостях. 1999. а) Многогранник Р задается системой неравенств х«~а хе~о, хворо, х«~а х«+х«~1, хв+х«~(1, хв+х«(1. 6) Трехмерными гранями являются куб ОАВСОЕГО и шесть четырех- угольных пирамид с общей вершиной Н, а именно: ОВСГН, ОАСЕН, ОАВОН, АОЕОН, ВОРОН, СЕГОН. 1997. Пять вершин А(1, 1, 1), В(1, 1, — 2), С(1, -2, 1), Ы>(-2, 1, 1), 1 1 !! Е ( — —, — —.
— — ). Многогранник имеет шесть трехугольных граней 2' 2' 2)' АВС, АВО, АСО, ВСЕ, ВОЕ. СОЕ и представляет собой два теграэдра АВСВ и ВСВЕ с общим основанием ВСЕ. 1999. а) Тетраэдр с вершинами (1, О, О, 0), (О, 1, О, 0), (О, О, 1, 0), (О,О,О, !); 6) октаэдр с вершинами (1, 1, О, 0), (1, О, 4, 0) (1, О, О, !), (О, 1, 1, 0), (о,(,а П (о,а1,!); в) трехугольная призма с основаниями в точках (1, О, О, 0), (О, 1, О, 0), (О О, 1, 0) и (1, О, О 1) (О, 1, О, 1), (О, О, 1, 1); г) квадрат с вершинами (1, О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
