И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 69
Текст из файла (страница 69)
6549. 2) и 3) для 1); 4) н !1) для 1О); 1), 2) 3), 13). 14) для 8); 16) для 16); 20) и 21) для 18); 26) для 21); 24) для 23); 23) и 24) для 26); 29) и ЗО для 31); 34) для 36). 55. Бесконечная циклическая группа, исе циклические группы про- стых порядков и единичная группа. 6554. а) 6-(а), (аз), (аз), (е); Ц 6 =(а), (дз) (аз) (а4) (дз) '(аз) (д42) (е). в) С =(е, а. Ь, е), (а», (Ь), (е) (е); г) применяя запись подстановок в циклах, получим подгруппы! Юз. ((1 2 3)). ((1 2)), ((1 3)), ((2 3)), (е); д) нормальными делителями будут За ((.1 2 3)), (е). е) Указание.
Разложение на циклы подстановки нз А, может содер- жать лишь циклы длины 1, два цикла длины 2 или один цикл длины 3. Поэтому А, не имеет циклической подгруппы шестого порядка (см. задачу 1648 а), б) ) и все ее элементы второго порядка перестановочны. Значит, А4 не имеет подгруппы, изоморфной Лз. Но любая группа шестого порядка либо является цикличесиой, либо изоморфна 34 (задача 1638 в) ). ° 555* Выбираем в 6 любые злемекты: сначала .ачье, затем Ьчье, а, затем ечь е, а,'Ь, аЬ.
Тогда остальными элементами группы 6 будут аЬ, ае, Ье, аЬе. Группа 6 абелева (задача 1636). Группа 6 имеетследующие!бпод- групп: (е), (е, а), (е, Ь), (е, е), (е, аЬ). (е, ае), (е, Ье), (е, аЬе), (е, а, Ь, аЦ, ), -(, е. а, е, ае), -(е, Ь, е, Ье), (е, а, Ье, аЬе), (е, Ь, ае, абе), (е, е, аЬ, абе), е, аЬ. ае, Ье», (е, а, Ь, е, аЬ, ае, Ье, аЬе) = 6. ° 657. В аддитнвиой записи все подгруппы имеют вид 64 (а), 6! (ра), 62=(р а! ., Сз-! =(р аб Сь=(р аг=(О). ° Оии образуют убызаюшую цепочку подгрупп соответственно порядков: .рэ ь-! ь-2 Ук а з а н и В Использовать задачу 1666 б) или показат4ь что под- группа (за), где О < з < ре, совпадает с подгруппой (рга), где з р46 0~1<В и 1 ве делится на р, ° 555.
а) Указание. Разложить подстановку ва циклы и проверить, что (!4!4!4 .. ° п4) = (44!2) (44!4) . ° (44!э). б) Указание. Проверить равенство (!1)(!!)(П) (1)). в) Указание. Проверить, что произведение двух транспозиций сле- дующим образом выражается через тройные циклы: (Щ (Ьб) (!»Ь).
(1!) (Д!) = (1)14) (41Ь). г) Решение. Пусть 6 — подгруппа знакопеременной группы А4ь по. рожденная множеством указанных тройных циклов, и 1, », Й-различные числа, большие двух (прн а=3 утверждение очевидно, а при а =4 данное 368 ОТВЕТЫ (1669-!662 ниже доказательство сокращается). Вместе с циклом (1 2 1) группа О содержит обратный элемент (1 2 1), затем б содержит (1 2 Я (1 2 1) (у 2 1) = (1 ! Я; (У 2 1) (1 2 1) (1 2 у) = (2 1 Я. При п = 4 группа О уже содержит все тройные циклы.
Прн л > 4 она содержит (1 2 й) (1 1 /) (Л 2 1) =(1 У й). Значит, б содержит все тройные циклы и по пункту в) совпадает с Аж 8ВВО.. Указание. Пусть К вЂ” множество всех элементов группы О, не принадлежащих к Н, и а — любой элемент из К. Показать, что, умножая а на все элементы нз Н, получим все элементы К. Вывести отсюда, что, умножая л на все элементы из К, получим все элементы из Н. В частности, ат принадлежит к Н.
аВВ8. Примером может служить четверная группа с элементами л,а, Ь, с (см. ответ задачи 1638). Она имеет три циклические подгруппы второго порядка: (а), (б) и (с). Указание. Доказать, что при возведении в квадрат всех тройных циклов мы получим снова все тройные циклы, и использовать задачи 1658 и 1660. эВВм. а) Указание. Каждому вращению тетраэдра АВСО соответствует подстановка его вершин. Произведению двух вращений соответствует произведение соответствующих подстановок. Двум различным вращениям з и Г соответствуют две различные подстановки, так как иначе нетождественному вращению зт соответстновала бы тождественная подстановка, сохраняющая все вершины на месте.
По ответу задачи 1639 группа тетраэдра изоморфна подгруппе двенадцатого порядка симметрической группы Юн Далее, можно либо проверить, что все подстановки, соответствующие вращениям тетраэдра, четные, либо использовать задачу 1661. б) Р е ш е н и е. !(вихры граней октаэдра являются вершинами куба. Поэтому группы кубб и октаэдра изоморфны. Каждому вращению куба- соответствует подстановка его четырех диагоналей. Произведению вращений соответствует прбййвМение соответствующих подстановок.
Рассмотрим все вращения куба. Это †тождественн вращение, восемь вращений вокруг 2п 4п диагоналей на углы — и †. шесть вращений вокруг осей, проходящих 3 3 ' через середину противоположных ребер, на угол и и девять вращений вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней, на углы —. — н —. Число этих вращений: 1+8+6+9=24. По ответу задачи 1639 2п 3п 4 4 ' ими исчерпываются все вращения куба. Непосредственной проверкой убеждаемся.
что только при тождественном вращении все четыре диагонали остаются на месте. Отсюда, как в пункте а), выводим, что группа куба изоморфна группе подстановок четырех элементов, имеющей порядок 24, т. е. симметрической группе вн в) Решение. Венгры граней додекаэдра являются вершинами икосаздра. Поэтому группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны. Для каждого ребра икасаэдра имеется одно противоположное параллельное ему ребро и дне пары перпендикулярных к нему ребер: ребра одной пары начинаются в вершинах граней, примыкающих к данному ребру, а ребра другой пары принадлежат граням, имеющим вершинами концы данного ребра.
Ребра одной из этих цар параллельны, а разных пар в перпендикулярны между собой. Таким образом, псе Ю ребер делятся на пять систем по шести в каждой системе. Ребра одной системы либо параллельны, либо перпендикулярны, а ребра разных систем не параллельны н не перпендикулярны. С каждой системой ребер связан октаэдр, вершинами которого служат середины ребер 1668 — 1676) ОТВЕТЫ 369 данной системы. Этим определены пять октаэдров, вписанных в икосаэлр. Каждому вращению икосаэдра соответствует подстановка пяти указанных систем ребер (или соответствующих им октаэдров). Произведению двух вращений соответствует произведение соответствующих подстзновок.
Рассмотрим все вращения икосаэдра. Это — тождественное вращение; 24 вращения вокруг каждой из шести осей, проходящих через противоположные вершины, 2п 4п бп 8п на углы †, †, — и †; 20 вращений вокруг каждой из десяти осей 5 5 5 5 ' 2п 4п проходящих через центры противоположных граней, на углы — и —; 3 3' 15 вращений вокруг кюкдой из пятнадцати осей, проходящих через середины противоположных ребер, на угол и. Число этих вращений: 1+ 24+ 20+ 15 =60. По ответу задачи 1бЗВ ими исчерпываются все вращения икосаэдра.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что для каждого нетождественного вращения найдется ребро, переводяшееся данным вращением в другое ребро, не параллельное и не перпендикулярное к данному ребру. Поэтому только тождественному вращени1о соответствует тождественная подстановка систем ребер. Отсюдц как в пункте а), выводим, что группа нкосаэдра изоморфна подгруппе порядка 60 симметрической группы 3ь По задаче 1661 эта подгруппа совпадает со знакопеременной группой А,. 7ВВВ.
Указания. а) Применить залачу. 1667. 6) Показать, что каждый смежный класс содержит точно одну подстановку, оставляющую на месте число 4. 4669. Если в разложении данной подстановки з на независимые циклы встречается А1 циклов длины 11, 1= 1, 2, ..., г, причем учтены все циклы, включая и циклы длины 1, то число подстановок, перестановочных с подстаповкой з; равно Ц(л )! ° 1"1. Считая О! = 1, можно искомое число запи- 1 1 сать иначе. Пусть Л вЂ” число циклов длины 1, входящих в разложение подстановки з, где 1= 1, 2, ..., л, и если циклов длины ! в разложении нет. то положено 71=0. тогда искомое число раино И(7)! ° 1Г1.
1 1 Указание. циклы одной и той же длины 1, входящие в разложение з, нри трансформировании подстановкой л, перестановочной с з, могут лишь переставляться между. собой, причем первое число какого-либо цикла может перейти в любое число любого цикла той же длины, входящего я разложение подстановки з. 4670. У к а запив. Рассмотреть коммутатор ГГ1зя)11 ~Ля ' этих элементов. 1673. У к а з э н и е. Использовать задачи: 1671 в случае а), 1672 в случае б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
