И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Указании Показать, что корни Л-уравнения пары форм не изменяются прн любом невырожденном линейном преобразовании неизвестных. 1. 1231. Нельзя, так как корни Л-уравнения 1 ~ — а. 2 1232. Нельзя, так как корни Л-уравнения ~ — 1'[/5. 1. 2 ЯЗЗ. Прн подходящей нумерации имеет место: Л„р = 1 (а' = 1, 2 ..., л). 1234. Зугз — Уг — 5уз. 1233.
5У1 — Уг — 2Узг. 1237. Эквивалентны. 1233. Эквивалентны. 1232. х, = — 12У, — 17у,; х,=5у, +7уз. 2543. х, =у,+2уз, хз = Зуа+ 2уь 1242. Указание. Показать, что характеристический многочлен [А — ЛЕ[ не изменяется при ортогональном преобразовании формы У.
1243. 4уга+ 4угг — 2узг. 1244 буг+ буга+ 9узг. 1243 у[+[/Зугг — [/Зу~~ 1243 Зуг!+(!+)/!7) угг+(1 [Г!7)у[. и 1247. ~~!~сов — у . Указание Рассмотреть удвоенную форму и г л+1 2-1 решать аналогично задаче 1084. юзем. ЗУ1+буг+9уа хз =-У! — 3 Уг+ 3 Уз) .Хг= 3 У,+ 3 Уг— 1 . ! 2 2 — — Уа' хв = — — У1+ — Уа+ — Уз. 3 ' 3 3 3 [1262-1275 ОТВЕТЫ 2 2 11 3 3 3 2 1 2 3 3 3 В= 0 4 0 1 2 2 3 3 3 15) 5 1 3 — )г5 — — )г5 3 1 0 0 В= 0 1 Ю 1 3 2 3 ° 671.
У к аз ание. Пользуясь указанием к задаче 1074„показать, что характеристические числа матрицы А — лвВ получаются вычитанием ге из карактеристических чисел матрицы А, и применить задачу 12.42. 4676. Указание. Применить предыдущую задачу. 4674.
Матрица с положительными угловыми минорами тогда и только тогда ортогонэльна, когда она является единичной. 4676 Решение. Квадратичная форма У с матрицей А'А положительно определенна (задача 1Зл); значит, треугольным преобразованием ее можно привести к каноническому виду с положителы1ыми коэффициентами Хь дь ..., Хл (задача 1222). Если С вЂ” матрица этого преобразования,  — диагональная матрица с влемыпами $~61ь, $~ хь ..., )'7„на диагонали (причем все значения корней взяты положительными), и В = ОС, то А'А = С'ВтС= В'В, где матрица В удовлетворяет требованиям задачи, Положим () = АВ 1. Тогда Я'() = (АВ 1)' ° (АВ 1) = (В ) (А А) ° В МЙЙ.
5У',— бу,'+5у,— був+5>,. х,= — )'5(2у,+у,); д 1 1 — 1 хв - †.~ Ф' 5 (У1 — 2ув): ха = — У!0 (Зув+ Ув); х, = — $' 1О ( — Уз+ Зув)1 1 1 ха= — )Гб(2ув+ув)' ха= — У 5(ув 2ув). 5 5 7666. — У1+ — у,'+ " +- У.: у1-— — (х1+ха+" +хл); л+1 з 1 1 т 1 1 у = — [х, +ха+ ... +хг,— (в — 1)хг[ (1=2, 3, ..., и). )тг(! — 1) и — 1 т 1 т 1 в 1 ° Ййм — у1 — — ут — — уз — ... — — у; преобразование можно 2 2 2аэ ° ° ° 2 в взять то же, что и в предыдущей задаче.
4666. Указание. Показать, что при ортогональном преобразовании квадратичной формы характеристический многочлен ее матрицы не изменяется. 4666. Формы У и Ь ортогонально эквивалентны между собой, но не ортогонально эквивалентны форме и. 4667. Формы 3 и Л ортогонально эквивалентны между собой, ио не ортогональио эквивалентны форме /. $276) ответы 339 (В ) . В В . В = Е, и е. матрица О ортогоиальна и А = ()В; если еще т-1 т А = О,Вь то матрица () т ° О1= В В, 1 ортогональна и треугольна, с положительными элементами на диагонали. Значит, это единичная -матрица, откуда О=О, и В=В,.
яйТВ. Решение. Докажем утверждение а) для представления А = ОВ требуемого вида. Матрица А'А симметричнц н квадратичная форма с втой матрицей положительно определенна (задача 1207). Поэтому существует ортогональная матрица Р такая, что А'А = Р'СР, где С вЂ” диагональная матрица с положительными элементами Ль Ль ..., Л„па диагонюнь Пусть Р— диагональная матрица с элементами У Ль )' Л„ ..., )г Л„ на диагонали, причем взяты положительные значения корня. Положим В = Р РР = Р 'РР. Отсюда следует, что  — симметрическая матрица с положительными характеристическими числами.
Значит, квадратичная форма с матрицей В положительно определенна и угловые миноры ее положительны, Далее А'А = = Р 'СР = Р 'РзР = Р 'РР ° Р тРР = Вз. Положим О = АВ '. Тогда А=()В и () О=(АВ ') (АВ ')=В (А А) В '=В 'Вз В ' Е.Значит, матрица О ортогональна. Пусть даны два представления требуемого вида: А = О,В, = ОзВт. Тогда А А = В1 — — ов Обозначим через Ль Лв ..., Л„; ри ря, ..., рэ; чи чз, ..., ч„ т 3 з характеристические числа соответственно для А'А, Вь Вь расположенные в невозрастающем порядке. Все эти числа положительны и р =Л =ч 3 я (1 = 1, 2, ..., и) (задача 1077), Значит, р = ч (7= 1, 2, ..., и).
Пусть С з Р— диагональные матрицы с элементами Ль Ль ..., Л„и рь рь ..., )д„иа диагонали. Существуют ортогональные матрицы (7 н Уч такие, что В, = (ггтРУ, В = У РУ.Значит, В, =(7~С(7, Вз тУ СУ;откуда(7 С(Г= У СУ,С()У = = (ГУ'С. Матрица (У = (юг))~ — — (7У' перестановочна с С. Покажем что опа перестановочна с Р. Если Л1 + Лд то, вычисляя злемент матрицы Сйг = йГС в Рй строке и 7-и столбце, найдем, что юВ = О.
Таким образом, если представить матрицу С в виде клеточно диагональной матрицы с диагональными клетками Сь Сь .. „ Сл так, что в каждой клетке диагональные элементы одинаковы, а в разных клетках — различны, то матрица яг является клеточно диагональной с диагональными клетками 1Гь 1Гь ..., йга тех же порядков, что и Сь Сь ...,' Сл. По построению матрицы Р она также будет клеточно диагональной с диагональными клетками Рь Рз, ..., О» тех же порядков и равными диагональными элементамн в каждой клетке. Так как О(ЯГ~ = %71Ог (7 = 1, 2, ..., й), то Р)УГ= 17гР.
Отсюда О(ГУ' = (7У'Р; (7 Р(7 = У'О У, т. е. В, = В,. Пользуясь функциями от матриц, можно провести доказательство короче. Если А = О — представление искомого вида, то А'А = В', В = 1" А'А, причем характеристические числа В положительны. Таким образом, В является значением функции )'Л (где берется арифметическое значение корня) при Л = А'А. Так как характеристические числа матрицы А'А положительны, то это значение имеет смысц определено однозначно и, как многочлен от симметричной матрицы А'А, будет матрицей симметрической (задачи 1148, 1131). Полагая 1;) = АВ ~, убедимся, как выше, что О ортогональва.
Представление А = ВзОз получается айалогичио при помои(и матрицы АА'. Утверждение б) доказывается так же, как а), с заменой положительно определенных форм эрмнтовымн положительно определенными формами. Утверждение в) следует из единственности представлений, указанных в а) и в 6). Оно может быть доказано также приведением матрицы В в случае 1) и 340 ответы [1217 — 1300 матрнцы А в случае 2) к диагональному виду прн помощи ортогоналыюй (уннтарной) матрнцы (см. задачу 1593). Тогда вз утверждения 1) легко следует единственность представленнй, указанных в а) в б). Отдел 17. Векторные пространства и их линейные преобразования И77.
(1, 2, 3). 197В. (1, 1, 1). 197Э. (О, 2, 1. 2), 1999. х! = — 27Х! — 71хз — 41хз, х» — — Ох!+ 20хт+ 9хз, 'хз — 4хт + + !2хт+ бхз. г г г г Р г у, l 1991. х! —— 2Х!+Хз — х; хз — — — 3хт+хз — 2хз+х»1 хз —— х,— 2хз+ Р ~ г г г I + 2хз — х4, 'х4 =хт — ха+ха — х4. 1ЙВЙ. а) а аь а»...., а„; б) У(а), У'(а), —, ул (а) у(я) (а) 0 1 2о 3н» ( !)»-1 лпл-г 0 О 0 0 ... 1 В втой матрице в (» + 1)-м столбце стоят числа ( — а)», С» ( — а)» С» т( — а)» Я, ..., Ст» ( — а), 1, О, О, О, ..., О. 1994. а) Поменяются местами две строкн; б) номена|ется местами два столбца; в) произойдет симметричное отраженне матрицы относительно ее центра.
19ВИ. Не является, 1999. Не является. ИВ7. Является, если данная прямая проходит через начало координат, не является в противном случае. ИЭВ. Является. 1999. Йе является. 1999. Не является. 1991. Является. 1999. Не является. 1999. Является. И94 Все пространство; векторы, лежащие в любой плоскоств, проходя- щей через начало коордннат; векторы, лежащие на любой прямой, проходя- щей через начало координат, н само начало ноордннат, т. е.
один нулевой вектор. 1999. Не верно. 1997. Базис образуют, например, векторы (1, О, О, ..., О, 1), (О, 1,0, ...,О, 0), (О, О, 1, ..., О, 0),, (О, О, О, ..., 1, 0). Размерность равна и — 1. 1ЙЭВ. Базис образуют следующие векторы: еслн» вЂ” номер базисного вектора, то его координата с номером 2» — 1 равна 1, а остальные коордн- наты равны нулю, »=1, 2, ..., ~ — 1, где [х) обозначает наибольшее гл-[-11 2 Г я+1 1 целое число, не превосходящее х.
Размерность равна !е — 1. 2 1ЙЭЭ. Базис образуют векторы, указанные как базнспые в ответе пре- дыдущей зздачн, с добавлением еще одного вектора, у которого коордннаты с четными номерамн равны еднннце, а с нечетными — пулю. Размерность равна 1+~— ИВЭ. Базнс образуют векторы (1, О, 1, О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
