И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Прибавление к 1'-й строке гмй строки. умноженной иа с получается при умножении слева на матрицу, отличающуюся .от единичной лишь тем, что элемент р0= 6. Для аналогичного преобразования столбцов надо умножить на аналогичную матрицу, у которой р(1 = с. У к а з а н и е. Для определения вида искомых матриц проделать данное злементарное преобразование над единичной матрицей, порядок которой равен числу строк матрицы А в случае преобразования строк и числу столбцов А в случае преобразования столбцов. Проверить, что полученные матрицы удовлетворяют требованиям задачи.
999. Указа ние. Испольэовать задачу 927 и показать, что преобразование типа а) можно заменить несколькими преобразованиями типов б) и в). 999. У каза ни е. Воспользоваться задачами 617 и 927. 939. Указание. Испольэовать задачу 623. 931. Указание. Применить к матрице А задачу 929 и воспользо-ваться задачами 915, 930 и 914. 933. У к а з а н и е.
Использовать задачу 927. 933. 24 3 — 4 — 6 ) 983. — 1 — '6/2 — 1 2 "/2 10 1 — 2 — 3 — 5 0 1 1 (4 1/4 989. /6 /2 /6 (6 /2 (6 /2 /2 /2 1/ 1( 1/ 989. У к а за ни е. Для доказательства необходимости принять за В лю.бой ненулевой столбец матрицы А. 939. Указание. При доказательстве необходимости принять за В матрицу из любых г линейно независимых столбцов матрицы А; 1-й столбец матрицы С составить из коэффициентов в выражении 1-го столбца А через .столбцы В. Испольэовать задачу 914.
941. Указание. Использовать задачи 626 и 931. 948. Указание. 11елочисленнымн элементарными преобразованиями привести данную матрицу А к нормальной матрице. Для этого, выбрав наименьший по абсолютной величине из не равных нулю элементоц путем целочисленных элементарных преобразований заменить элементы строки н столбцц в которых стоит этот элемент, ик остатками прн делении на него. Повто.рять так, пока все злементы 1-й строки н (-го столбца, кроме а1(, ие обратятся в нуль.
Если какой-то элемент а»2 в ионой матрице не делится на а28 то к Вй строке прибавить»-ю и вновь перейти к остатку. Повторять так, пока все элементы некотоРых Р-й стРоки и д-го столбца, кРоме арэ, бУдУТ нулями и все другие элементы будут делиться на ар . Затем перевести арч в левый верхний угол и начать аналогичные преобразования с уменьшенной -матрицей, полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, и т. д. Для доказательства единственности иормалыюй формы обозначим чеРез 4/» наибольший общий делитель всех элементов матрицы А, ранга г с т строками н п столбцами при » = 1, 2, ..., 1 н положим 41» = О при г <»~(т, я.
Показать, что делители миноров 41» не изменяются при цело- ОТВЕТЫ 944 — 949) З)б численных элементарных преобразованиях и что злементы еь еэ, ... на главной диагонали нормальной матрицы, эквивалентной А связанной с делителями миноров равенствами аэ=еь еь ....
еэ (Ь (т, л), откуда еэ= — (я=1, 2, ..., г) и ел=О для г<л~т, и. аэ аз-! 944. У к а з а н и е. Прн доказательстве возможности требуемого пред-. ставления использовать задачу 927. При доказательстве единственности из двук представлений А = Р,)7, = Рэ«1э вывести, что матрица С = Р, гР = = «7 )7 является целочисленной, унимодулярной н треугольной, элементьг которой на главной диагонали положительны н, значит, равны единице. Затем, приравнивая в равенстве С)7, =Юг (я+1)-й, (Ь+2)-й и т.
д. злементы Ь-й строки, показать, что. все элементы матрицы С справа от главной диагонали равны нулю, т. е. С =Е. 94$. Указание. Использовать задачу 927. 949. Р е ш е н и е. Приведем матрицу А к верхней треугольной матрице С' следующими злементарными преобразованиями строк: аи = а, чь О. Вычитая первую строку, умноженную на подходящие числа из остальных строк, приведем матрицу А к аиду аи аи аи ° .. аш О 44, А' = О агэз а„ ... а„„ так как при атом миноры, содержащие первую строку, не изменились, то г)э —— аиаю ~ О, откуда: агээ чЬ О. Вычитая вторую строку матрицы Аг с под-.
ходящими множителями нз нижележащих строк, обратим в нуль вторые элементы зтик строк и т. д. После г шагов обратятся в нуль все влементы первых г столбцоц стоящие ниже диагонали. Так как ранг полученной матрицы А<г) С равен рангу А, т. е. равен г, то все злементы последних и — г строк матрицы С равны нулю н, следовательно, С вЂ” верхняя треугольная матрица В силу задачи 927 С = РА, где Р— произведение ряда нижних треугольных матриц, т. е.
снова нижняя треугольная матрица А=Р 1С=ВС, где В=Р г — нижняя треугольная матрица Этим существование разложения вида (2) доказано. Пусть дано любое представление вида (2). По формуле для миноров произведения матриц (задача 913) имеем: (1,2,...,Ь вЂ” 1,() В( '2' "" ' ) С(«ь «в ""«' ', «').. Но первые Ь столбцов матрицы С содержат лишь один минор Ь-го порядка„ отличный от нуля, поэтому: (1, 2...„Ь вЂ” 1, Ь) (1, 2„..., Ь вЂ” 1, Ь) (1, 2, ..., Ь) =ЬиЬэз ... Ьа ьа,Ьшсисж ... сал()=Ь, Ь+1, ..., и; Ь=1, 2 ..„г).
(а), отввты (961-961 314 Полюая здесь )=Ь, найдем: г(а=ЬнЬ„... Ьэ„спею ... саа (Ь=1, 2, ...,г). (б) Деля (б) иа аналогичное равенство с заменой Ь иа Ь вЂ” 1, получим (3). Деля (а) на (б), получим первую из формул (4). Вторая формула получается аналогично. Пусть 1) — любая неособенная диагональная матрица с злементами Иь Нь ..., Вя на главной диагонали.
Тогда А ВС (ВО) (В ~С). МатРица ВЮ получается из В умножением столбцов иа нь йь нм ..., ню Матрица )у гС получается из С умножением строк на 1)г, Вз, ..., О„. Поэтому диаго. нальиые элементы В и С можно брать любымн при условиях (3). В произ- ведении ВС элементы последних и — г столбцов В умножаются на элементы последних я — г строк С. Поэтому если одни из зтих элементов положить равными нулю, то другие можно взять любыми. 96$.
У казан не. Применить решение задачи 949 и показать, что при / Иь условиях Ььз = слз = 1Гà — условия (3) удовлетворяются и условия (4) ='Ьг а,, дают: Ьо,=сщ (1=я+1, Ь+2, ..., и, Ь=1, 2, ..., г). 962. АВ=С=(СВ), где Си=11 ), Сш=~ ~, Сю=(В), С„= 'т9)' '19 бг'' б 2 4 =(9,1), С=( )= 9 9 б 964. У к а з а и и е. Рассмотреть произведение 1-й клеточной строки иа 1-й клеточный столбею 967.
Р— квадратная клеточная матрица с квадратными единичными клетками порядков иь шь ..., тг по главной диагонали, причем клетка, стоящая на пересечении 1-й клеточной строки и Рго клеточного столбца, совпадает с матрнцей Х, а все остальные внедиагональные клетки равны нулю. Аналогично Ц вЂ” клеточная матрица с квадратными единичными клет- ками порядков иь и„..., лг на главной диагонали, матрицей У на пересе- чении )-й клеточной строки 1-го клеточного столбца и нулевыми клетками на другик местах.
969. У казани е. Из второй клеточной строки вычесть первую, умно- женную слева на матрицу СА т, и, пользуясь предыдущей задачей, пока- вать, что при этом ранг не изменится. 969. Р е ш е н и е. Тот же ряд элементарных преобразований, который г' А В переводит матрицу Я в Яь переводит матрицу Т=~ 'т — С вЂ” СА 1В) /А, В, в матрицу Т, = ~ . По предыдущей задаче ранг Т равен и. ~ О Х вЂ” СА-'В) Так как элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы, то ранг Т, рангу Т=п и ранг А,=рангу А и. Поэтому Х вЂ” СА гВ=О; Х= СА гВ. 999.
у — 20 8 11т. 999. х=1, у 2, л=3. Аг= 1У вЂ” 7 — 9 — 2 1 1 310 902-9031 отпиты 6М. 7( 1 ). 966. Решен ив. Свойства а) и б) легко следуют иэ определения кронекеровского произведения. Для докааательства в) будем писать в качестве мндексов при злемеитах кроиекеровского произведения не номера пар, а сами пары (причем числа одной пары будем писать рядом и без скобок).
Положим АВ=Е, СО=б, ЕХб=г), А)(С=Р, В)(1У ф Тогда м л й„уу — у, уйг у =,~',аг аЬ у „.",с, А у = л-т ' ' г-г = ~~1' аг «,сг гЬ )Аг у — — ч~~~ рг О мй г у у откуда )т =РЯ. 964. а) Для правого прямого произведения надо взять лексикографическое расположение пар: (1, 1Л (1, 2), ..., (1, и), (2. 1), (2, 2), ..., (2, и), ...
..., (гл, и). Для левого — расположение (1, 1), (2, 1), ..., (ш, 1), (1, 2), (2, 2), ... ..., (и, 2), ..., (ш, и), получающееся путем лексикографической записи тех же пар, читаемых справа налево. Свойства б), в), г) непосредственно вытекают иэ определения. Свойство д) следует из соотношений в) предыдущей и г) настоящей задачи. Свойства левого произведении вытекают из соответствующих свойств правого при помощи соотношений б). 996.
Указание. Показать, что изменение нумерацик пар не меняет определители ) АХВ), и, пользуясь свойством в) задачи 933, представить его в виде 1А т( В ) = ( (АЕ ) )( (Е„В) ~ = ) А )г' ,Е„~ ° 1Е )( В ~ = ~ А')( Е„~ )( Х(Е.Х. ~. 966. У казание. Использовать положение, что из ~А) 0 следует ранг А ~ 1, доказанное в задаче 030. 967. Решение. Положим АВ= С и обозначим соответственно через Агь В;у, СВ алгебраические дополнения, а через А(гй ДГгд Ры — миноры элементов в (-й строке и )-и столбце матриц А, В, С.
Тогда, применяя выражение минора произведения двух матриц через миноры этих матриц (задача 913), находим: л сВ= СВ=( — 1)~+ тофиг=( — 1)У+г Х Л(улй1аг а-1 к л Ю = ч; ( — 1))+л муз ( — 1)'+'дга, = ч,; А)лвл, = и', ЬэХль, л-1 л-1 а-1 откуда С = В . Я. Длв неособенных матриц А н В тот же результат получается короче так: по прелыдущей задаче А=~А! ° А ', отсюда (АВ) =~АВ)(АВ) '= =1А ~ ° 1 В (В ~А ~ = ВА. Вля матриц с числовыми элементами случай вырожденных матриц получается предельным переходом.
Многочлеи от Л„ равный определителю ~А+ЛЕ), имеет степень и и не более и корней. Поэтому можно взять последовательность чисел: Ль Ль ..., Вш Лл = О з-ьсс такую, что матрицы А+ЛлЕ и В+ЛэЕ будут неособенными. По показанному ((А+ ЛлЕ) (В+ ЛлЕ)) = (В+ЛэЕ) ° (А+ЛзЕ)". Переходя к пределу прн Ь-ьсо, получим (АЪ) ЗХ 969. У к а з а и и е.
а) Следует из задачи 913; б) доказать для случая, когда )А) О, пользуясь задачей 747, а для )А.) чьΠ— соотношением Ответы ОТВЕТЫ 3УУ 967. 1 0 0 0 0 р 0 0 0 0 р 0 ООО р где р = (Л вЂ” 1) (Л вЂ” 2) (Л вЂ” 3) (Л вЂ” 4). ( А П если ~~~~ (/с — Ьг)г = О, (3) Р О, если ч»',(),— Ис)'>О, 991. аЬс 0 0 0 — 0 гкб аЬс О О УВЬ а Ь с — соотв т где е ственно .с и В, взятые со старшими аЬс — 0 сс 0 = 0 с(ауВЬ аЬс о о А=) А ~ ° СА' 1С, где С вЂ” диагональная матрица с злементамн 1, — 1, 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
