И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 53
Текст из файла (страница 53)
646. У н аз а н ив. При доказательстве 1) по данной паре дг!, дгг при- веденных пфаффовых произведений восстановить запись (1) подстановки искомого члена, имея в виду, что если записать этот член в виде .С аа . а аа, л ... алм л аб 5 ... аи г то /уГ! состоит из элементов, занимающих в этом произведении нечетные места, а /!Гг — четные места Например, в /уг берем элемент с первым ! индексом а, = 1. Второй его иш!екс аг даст второй элемент первого цикла В Дгг берем элемент, один нз индексов которою есть а!. Если другой индекс — аь то цинл замыкается, если аь то это третий член цикла, и т. д. Показать, что в полученной подстановке все циклы четной длины.
При докаг г зательстве 2) заметить, что /!/! =/уГ! и Дгг — — /уГг. Знак члена определить как ( — 1); где з — число циклов соответствующей подстановки. Утверждение 3) вывести из 1), 2) и теоремы предыдущей задачи. 646. У к а з а н и а Показать, что в каждое слагаемое агрегата рл входит один и только один элемент и-го столбца В„; в каждом слагаемом р„ ответы расположить элементы в порядке возрастания вторых индексов и показать, что если вынести за скобки элемент аз„ из всех слагаемых, его содержащих, то в скобках останется рг„ со знаком (-21)л 1 1= ( — 1)1 1. 647. Рз аж' Ра Йгза!4 — а!заз, + а„а„; Р — ЙЗ4йзбй13 Й24ЙЗВЙ18+ О28Й4бйю Йыйзбйм + + й и ОЗЬОЗ — Й 1вйабйм+ Овал! ВОЗ в — й! Вйгбйбб+ + О!Зйаьйзв — Йгзй!Зйав+ йззазбааз — а !Вйзьааа+ + 482242!4аьбв О! ЗО24ОВВ + й!2О34ЙВВ 646.
1 ° 3 ° 5 ... (Π— 1). 646. У к а за н ие. Определитель йц ... Ою х! — й,„... Йлл — х,...— х„О полученный окаймлением В, разложить по формуле задачи 541 н приравнять к квадрату пфаффова агрегата для В', применив к нему формулу задачи 546. В полученном равенстве положить ха=ха= 1, х»=О при !+»~у. 66ву.
Указание. Используя то, что произведение двух многочленов, отличных от нуля, само отлично от нуля, показать, что если В = А — предполагаемое разложение и какой-нибудь член многочлена А содержит ац, то никакой член В не содержит злементов цервой строки (столбца). Вывести отсюла, что каковы бы ни были 1, /= 1, 2, ..., л, найдется член в А, содержащий й,б, но никакой член В не содержит а;ь 66УО У к а з а н и е. При доказательстне 2) определить Ьл ь исходя из нумерации, Гз, зь ..., Г „сочетаний из О чисел 1, 2, ..., и по Π— », л-» которая связана с нумерацией зь зз, ..., з „, определяющей Ь» так, что 21 » содержит те и — д чисел, которые не входят в з!.
Если О! — сумма чисел из сочетания в!, то вынести из Рй строки и Ого столбца ~4=1, 2,.„, ( )) О л †» определителя Ьл» множитель ( — 1) . При доказательстве пункта 4), испольл! зуя равенства йункта 3) и непрнводимость В, установленную в предыдущей вадаче, а также степень В и Ь» относительно элементов а!ь показать, что Ь» = ВВ , где с не зависит от злементов а!р Для определений с по- (»-1) (2-1 ! кззатзь что как Ь», так и В~~ 1 содержат член (йцйгз ... О„„)» с коэффициентом, равным единице.
666. Рл=з',)л 1. Указание, Показать, что ()„=Р~~ л 666. Указание. показать, что з(11 =*,5', р»зр»,ау (»), где рз — те же, »-1 что и в предыдущей задаче. ответы Отдел П. Системы линейных уравнений 664 х! «в 1, хв= «в= — 1.
666. х, = — 2, ха =0:, «, = 1„«в = — 1. 666. х,=1, хв=хв=2, хв=О. 667. х,=2, х, — 2, х,=1, х,= — 1. 566. х, — 0,4, хв= — 12, х, 34, х, 1. 3 656. х= —, у= — 1, л —, С=О. 3' ' 2* 1 2 656. х — 3, у=О, х= — — С 3 1 664. х 2, у= — 3, л= — —, 2' 2' 562. Система решений не имеет. 666 Система решений не имеет. 664. Изменение нумера!ни неизвестных вообще не переводит систему в вквивалентную, но при решении системы оно допустимо при условии, что после решения системы мы возвращаемся к исходной нумерации. У к а з а- нне. Показать.
что после преобразований типа а), б), в) любое уравнение новой системы линейно выражается через уравнения старой системы и обратно. 567 х! — 1, хв 3, хв = — 2, хв 2. 566. х! =2, хв 1, х,= — 3, хв 1. — «в=1, «в=4, та 3. 1 3 676. х! О', хв= 2, хв= —. «в= ° 3' 2' 1 2 574 хз= —, хв — —, «в=2, «4= 3. 2' 3' 6 4 676 х! = 104 — хв 7 —, ха= — 10, хв= 1 7' 7' 576. х,=5, ха=4„хв 3, хв=2, хв=1. 574. «!=3, хв= — 5, хв 4, «4= — $ хв — — 1. 1 2 1 575. х, = —, хв — 2, ха=3, «в=-3, хв= — —.
Указание. 2' Принять за новые неизвестные 2хь Зхв, 5х,. 676 х,=5, хв=4, хв= — 3, х4=3, хв= — 2. 3 5 677 х! 2, хв= —, хв= 4, хв — — 3, хв — —— 2' ' 2 ВТВ. Система неопределенна, т. е. имеет бесконечно много решений; х, и х, можно выразить через х, и хв так: х, = 6 — 26хв+ 17х„ х, = — 1+7хв — 5«в, причем х, и хв могут принимать любые значения. 1 579. Система неопределенна. Общее решение: х = — (6 — 15хв — х,), 10 1 х, = — (1+4х,)„где х! и х, принимают любые значенизь 5 566.
Система противоречива, т. е. не имеет решений. 664. Система решений не имеет. 564. Если аь ав, ..., а„— все злементы полн, то многочлен с(х) (х — а,) (х — ав) ... (х — а„) равен нулю как функция, но имеет коэффи- циент единицу при х". 565. 7(х) хв — бх+3. 666. у(х)=2х' — 5«в+7. 292 (667-696 569. При заданном асимптотическом направлении через любые л-(-1 различные точки плоскости, из которых никакие две не лежат иа прямой асимптотического направления, можно провести параболу не выше п-й сте пени и притом только одну.
566. у = З вЂ” 6 +1. 569. х = у — Зу — Ьу+ б. 1 1 596. х = — ( — а+ Ь+ с + й), у = — (а — 6+ с+ й), 4 4 1 1 '=4(+Ь '+и), г= (.+Ь+, и), 4 2 ( Ь вЂ” а Ь' — а' Ь" — а" 21 Ь вЂ” а Ь' — а' Ь" — а" +, 2 '1 Ь вЂ” а Ь' — а' Ь" — а" 1 Г с — ай с' — а'и с" — а"й) — — +,,+ 2( Ь вЂ” а 6' — а' Ь" — а" У к алан ке.
Лля доказательства единственности решения показать, что определитель системы .равен 2 (Ь вЂ” а) (Ь' — а') (Ь" — а") ф О. Лля нахождения решения из первого, второго и третьего уравнений вычесть четвертое, умноженное соответственно на а, а' и а'. 1 -1 596. х= — (ар — Ьд — ст — йз), у = — г,Ьр+ад — й + сз), А А 1 1 х = — (ср+ йд+ аг — бз), Ф = — (йр — сд+ Ьг+ аз), А А где А= ах+ Ьт+ст+йт. Указание.
Воспользоваться задачей 468. 593. ха=( — 1)" Рл, где Рл — сумма всевозможных произведений по 6 чисел аь аь ..., а,„Указание. Воспользоваться радачей 346. П (6 — а ) 594 — тчьл у(Ь) Д (аз — а ) (Ь вЂ” аз) у' (ал) 1фл где у(х) = (х — а,)(х — а,) ... (х — а„). и 595 х ( 1)~+з ' бал — Х (ат — а,) ...(а1 — а~ д (а, — аьг,) ... (аг — ал) ' г 1 где угл есть сумма всевозможных произведений по я — 6 из я — 1 чисел аь" аг-ь аг+~ ", а а 596. хз— 1 Ьсрзб (ал — а,) ... (ал — ал,) (ал — ал+,) ...
(ал — а„) лял 1 1 где улг есть сумма всевозможных произведений по л — ! из л — 1 чисел аь ..., ал, аз+и ..., а„. ОТВЕТЫ 2п 1 1 1 (2п+ 1) ! (2п — 2)! (2п — 4) ! "" 2! Указание. Получить тождество хз ха хг х — — + — — + 3! 5! 7! хл хч ха =х(1 — + — — — +" )(1+!Ил+6х"+" ). 2! 4! о! 1 1 (2и — 3)! " 3! (2 + 1)! (2 — 1)! О 1 аз= и! . 1 1! 1 1 1 1 1 г1! (и — 1)! (и — 2)! (п — 3)! " П У к а з ан и е. Используя тождество х хт хе 1=(1 — а,х+аЫР— а,х'+ ...) ~1+ — + — + — + ...), 1! 2! 3! получить уравнения для определении аь ат, ..., а„. ВЭВ. 2. ВВЭ. 3.
610. 3. 647. 2 О!0. При Х =О ранг матрицы равен 2, при л + О он равен 3. 646. При Х = 3 ранг рамн 2, при Х + 3 ранг равен 3, 01Э. 3. 660, 2. ВЩ 3. 662. 2. ВВЭ. Указание. Используя линейное выражение всех столбцов матрицы А через столбцы, проходящие через минор гг, показать, что если И = О, то строки матрицы А, проходящие через г!, линейно зависимы. ВЗВ. Если О(г~ и — 2, то г=О.
Если г=п — 1, то г= 1. Если г=п, то г= и. У казани е. Использовать задачу 509 или задачу 747. 2 ЗГ 4 5! б 7! 2 31 4 5! е 7! 1 1! 1 21 1 3! 1 2! 1 4! 1 3! 1 5! 1 1! 1 2! О ... О ... О 1 — ... О О ... О 1 ... О 1 3, ° О О ... О О ... О 1 ... О %3! — 070) отввты 295 631. Решение. Локажем 1). При г 0 все главные миноры первого и второго порядков равны нулю. Если А = (а8)„, то ап — атз — — ... а„„О и 1 аи аО ! з ~=а ау! — а!7= — а 0 вй аЛ! для любых 1, /=1, 2, ..., л; ! < 7! Отсюла аО О, 1, 7'=1, 2, ..., и; А =0; ранг А равен нулю, что и нужно доказать. Прн г=л — 1 имеем М„, чь О, М„= ~А~=О, ранг А равен и — 1.
Пусть 0 < г~п — 2. Главный минор М + О. Переставляя соответственно строки н столбцы матрицы А (что не нарушит симметрии матрицы А и не изменит ее ранга), мы можем перевести минор Мг в левый верхний угол матрицы А. Лля доказательства 1) достаточно показать, что все миноры «г+1)-го порядка, окаймляющие Мг, равны нулю. Пусть МΠ— минор, полученнйй из М окаймлением 1-й строкой н .7-и столбцом (4 7'>г). По условию МО=О при 1=7'. Пусть ! фу' н Х) — определитель, полученный нз М окаймлением Ьй н 7'-й строками н тчм и у-м столбцами. По условию Р=О. Пусть С вЂ” матрица определителя В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
