И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 50
Текст из файла (страница 50)
з1 1 1 1 ... + 1 ). Указание. Из каждой строки, начинка со второй, а (и — 1) Ь вычесть следующую, нз первой строки вычесть последнюю и получить опре- делитель того же типа, что и в предыдущей задаче. ° зз. ~ 1-~~ ~ Д ( — л, ). з х — 2«~хг ~ Ц вать результат задачи 3бб. л ат ! г ~г — ~гхг \ 403. 1 — Ь,+Ь Ьз — Ь ЬзЬз+... +( — 1)" Ь Ьз ... Ьл. Указание. Ло- лучнть соотношение Рл=1 — ЬзРл 403 ( — 1)л з (Ь,азаз -.. аз+ ЬзЬзаз ° .. ал+ ."" +Ь!Ьз ° ° ° Ьл-зал). 409. ( — 1)" 'хл з.
указание. Из каждой строки вычесть следующую. 430. ( — 1)" ((х — 1)" — х"'). Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую, в правом нижнем углу положить 1=х+(1 — х) и предста- вить в виде суммы двух определителей. л 433. азхлЦ(Ьз — аз). Указание. Умножить вторую строкуна х" третью — на хл-з и т. д., и-ю — на х. Вынести из первого столбца хл, из. второго хл-', из третьего хл-' и т. д„из и-го х. лсл+В ( + +2+3+"'+ и)' Г + ( 2л)1 л1л+П 278 ОтВети [416-437 где произведение в знаменателе [(а — аа) (Ь вЂ” Ьа)[ $) газ< ал Ц (аг + Ьа) 1, -1 берется по всем 1, Ь, пробегающим независимо друг от друга все значения от 1 до л. Указание. Из каждой строки вынести за знак определителя общий знаменатель элементов втой строки.
Показать, что полученный опре- делитель Р' делится иа все разности вида аз — аа и Ьг — Ьа(1+Ь). Пока- зать, что частное от деления Р' на П [(аз — аа) (Ь1 — Ьа)[ есть кои1<1<а <л станта, для определения которой положить в Р' а, = — Ьэ, аь= — Ьь ..., ал= — Ьл.
Можно решать иначе, а именнсс из каждой строки вычесть первую, а за- тем нз каждого столбца вычесть первый. Ц [(хг — ха) (аа — аз)) 4эь. 1а!С ал . У каза и не. Воспользоваться укау (хз — аа) -1 занием к предыдущей задаче. [П 2! Ж ... (л — 1)1]ь + 1), (и+ 2), (2 1)1 . У к а з а н и е. Воспользоваться результатами задачи 416.
4 1 1 1 1 4з$. аьа,а,... ал1 — + — + ... + — 1. У к а з а и и е. Получить ре- 41Ь аз зэл куррентное соотношение Р„=(а„1+аз) Рл 1 — ал 1Рл т и применить я метод математической индукции. 4$$. Коэпинуанта (а,а, ... ал) равна сумме всевозможных произведений злементов а,, аь ..., ал, одно из которых содержит все эти элементы, а другие получаются из кего выбрасыванием одной или нескольких пар сомножителей с соседними ьюмерамн. При этом член, получаемый выбрасыванием всех сомножителей (при четном и) считается равным 1; (а азаза) = а,аза,а,+азль+аза, +аза,+1, (а4азаэа4аь) а4азазаьа, + азаьаь+ а,а4аь+ а,азаь + а,азль+ а4+аз+ аь (аазаза~аьаь) = а азазааьа, + аза4аьа, + а,ааьаь+ аэазйаэ+ азааза, + + а,плаза, + алоэ+ аэа, + а,аь+ азаь+ азаь+ азаз+ 1.
У к а з а н и е. Проверить справедливость указанного закона для конти- нузит 1-го и 2-го порядков и, предположив его справедливость для контн- нуаит (л — 1)-го и (л — 2)-го порядков, доказать справедливость его для континуант и-го порядка. Лля етого вывести рекурреитное соотношение (а!аз ... ал) ал (й1аз ... ал 1)+(азйз ... ал э), 4$(.
[Са)'. 4$4. Указание. Показать, что число инверсий в обеих строках дан- ной подстановки равной,+о+...+аз+61+[)з+...+6л — 2(1+2+" +Ь). 42$. 10. 4$$. 100. 4$7. 60. 4$$. 10. 439. — 4. 4$$. — 2. 43йл 106. 43$. 90. 433. 8.
434 4. 43$. 1000. 4$6. 12. 4$7. (хз — хз) з1п (Т вЂ” Р) + +(уз — у,) ь1п(а — у)+(хэ — х,) з)п([) — а). 438 — 464] отввты 279 4$3. Ах,+В х,+ С х,+2ВСу,+2САу,+2АВу„где А = Ьс' — Ь с, В са' — с'а, С=аЬ' — а'Ь. 439. — (аул+Ьхл+сху). 449.
— (аа'+ЬЬ'+се'). 441. аЬс— — х (Ьс+ са+ аЬ). 443. (хз — хз) ((хз хз) (хз хз) — 2 (хз хз) (хз — хз)). и 443 П(адаази и+з,з л+1 — ам ли «+палл л+з,з). 444. ( — 1у' П (х( — «)з. л>1>Л>1 44$. — 84. Указан не. Из второй строки вычесть удвоенную первую, к третьей строке прибавить удвоенную четвертую. 44$. — 84. 447.
98. 449. 43. 449. 81. 4$9. 14. 4$1. ( — 1)л(ах+ 1) хл 4$9. ЬшЬз,,, ... Ьи, (аш — с1л) (ад,, — с,„,) ... (ал, — си,). 4$3.хзл — х и-з(а, + а,+...+аи)'. 4$4. а) Р М(М4 б) В =( — 1)лМ,Мз. Л(Л+1)1 4$$. В = ( — 1) л+ М,Мз... М(. Правило знаков иначе можно сформулировать так: при четном 1 берется знак ( — 1)л, а при нечетном Л(Л-1) ! — знак ( — 1) 4$9. (2"+' — 1) (31+' — 21+') — 4(2" — 1) (31 — 21). У к а за н ив. Разложить по первым Ь строкам и црнменить метал рекуррентных соотношений. 4$6. (а,а, ... аи) =(а,аз ... ал) (аз+,альт ... ал)+ (а,а, ... ал,) К )((аз+,аз+э ...
а„). Полагая здесь а= 23, а, =а,= ... = ал=1 и обозначал чеРез ал а-е число РЯда Фибоиаччи, полУчим атл — — аз+аз („т. е. т т сумма квадратов двух соседних чисел ряда Фибоначчи также является числом этого ряда. 4$9. Указание. Рассмотреть определитель порядка 2п матрицы, полученной из данной приписыванием снизу тех же и строк в том же порядке. 483. Указание. Разложив Р по 1-й, З-й и б-й строкам, показать, что В = А(зз, где А не зависит от элементов б.
Лля определения А положить элементы на главной диагонали Л разними 1, а вне главной диагонали Л равными нулю. 484. У казан не. Определитель в левой части равенства разложить на сумму определителей относительно каждой строки и представить в виде ' ()1 у( а(Ь)сл Выл, где Рзуз = а( р) т1, (,ДЛ-О а" Показах(ь что последнюю сумму можно брать лишь по всем тройкам 1УЬ, не содержащим равных чисел, разлагая определитель б-го порядка в правой части равенства по первым трем строкам, представить правую часть в виде ~Ч ', а(Ь)сэС()л, где сумма берется по всем тройкам различных чисел (УЬ, изменяющихся от б до 4.
Наконец показать, что имеет место ВВл= С()л,. для этого любую тройку чисел зул свести к случаю 1 < у < Ь перестановкой строк и столбцов определителей н рассмотреть все десять возможных слу- 1 1 1 чаев. НапРимеР, Лз,(,з= а Д У =(а+Р+У)(Р— а)(У вЂ” а)(У вЂ” ()). Но аз вз тз отвиты (46б 1 ««з !р б! и Смьз= — ~ ~. 1 р рз =(«+й+у)((! — «)(у — «)(у — !!), так как 1 у Тз Л = — («+ й+У). Фйй. решение. Локазательство проходит по тому же плану, как н в теореме Лапласа Покажем, что любой член произведения зМ,Мз ...
Мр есть член определителя Р. Пусть сначала М, лежит в первых А строках й первых А столбцах, Мз — в следующих ! строках и следующих ! столбцах и т. д. Мр — в последних з строках и последних з столбцах. В этом случае подстановка (1) является тождественной и е = + 1. Берем произведение любых членов миноров Мь Мь ...,Мр в порядке возрастания первых индексов элементов. Оно содержит по одному элементу из нзждой строки и кюкдого столбца и, значит, по составу злементов будет членом Р. Если во вторых индексах элементов члена минора М! есть ит инверсий, то знак этого произведения будет ( — 1)в>+'"+ор, Но индексы элементов двух разных миноров М! и Му инверсий ие образуют.
Значит, о, + .„. +«р есть общее число инверсий во вторых индексах элементов взятого произведения, и оно будет членом Р также и по знаку. Пусть теперь миноры М! расположены произвольно. Переведем нх в рассмотренное выше положение на главной диагонали такими перестановками строк и столб.цов Р. Сначала первую строку минора Мь имеющую номер «ь переводим на первое место, переставляя со всеми вышележащими строками Р. При этом мы совершим а, — 1 транспозиций строк, т. е. столько, сколько инверсий образует число «, в верхней строке подстановки (1) со следующими за ним числами. Затем строку с номером «т тем же путем переводим на второе место, совершая от«высо траиспозиций строк, сколько инверсий образует «з в верхней строке подстановки (1) с числами, следующими за ним, и т.
д. Так же переставляем столбцы Р. Если в первой строке подстановки (1) о, а во второй т инверсий, то з ( — 1)е+т и всего мы совершим о+т траиспозиций строк и столбцов Р. Поэтому мы придем к новому определителю Р', для которого Р = зР'. (2) По доказанному ранее любой член произведения М,М, ... М будет членом определителя Р; а в силу (2) любой член произведения еМ,э(,...
Мр будет членом определителя Р. Все члены одного и того же или двух разных произведений еМ,Мю ..М .отличаются друг ог друга по составу алементов и потому будут разлйчнымй членами определителя Р. Остается доказать, что общее число членов всех таких произведений равно л! Число миноров М, равно Сь. Если М уже выбран, то миноры М„могут лежать лишь в оставшихся и — А строках н их число (для каждого выбора М!) равно С~ . При выбранных М! и Мз число миноров М равно С'„" и т. д.; наконец, при выбранных М, Мь ..., Мр, число миноров М равно С~~ 1.
Поэтому всех произведений вида аМ,М, ... Мр будет С„С! С„„...С = и ! ( и А ) ! ( и А 1 ) ! 8 ! л ! И(п — А)! Л(п — к — 1)! т!(л — А — ! — т)! ' з! ИЛт! ...!з! Но число членов определителя Р в каждом произведении еМ,М, ... Мр равно к! Л гл! .. З з!. Значит, число членов во всех произведениях зМ,Мз...Мр и! ,равно, Ийт)...!з!=пй И Л т! .. З з! 467 — 478) ответы 467 Получим при умножении — 1 2 строки на строки: — 4 — 7 — '3 — 4 7 — 26 строки на столбцы: 12 — 35 17 — 52 13 19, 27 — 3 1 — 6 столбцы на строки: — 3 1 — 8, 4 7 1 9 — 35 18 столбцы на столбцм: 13 — 47 24 12 — 37 17 нных о еделителей — 5 и 16, а з 1 х, О ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
