И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 51
Текст из файла (страница 51)
О 1 хт О ... О 1 хл О ... О у, О ... О „ 1 у, О ... О 1 у„ О ... О 471. О, если п > 2, з!п(а,— ал) з!п(()1 — 6»), если л=2. 47а О, если л > 2, з!п'(а, — аи), если л =2. 47(й. О, если л > 2, — з!пи(а,— аи), если и=2. 474. вл2т (а! — а ) (Ь вЂ” Ь») л>! >»>1 476 фф... С„"П (а„— а!) (Ь вЂ” 5»). л>7>»>е л (л-1) 476. ( — 1) 2 ((п — 1)!)л. Указание. Элемент в тчй строке и А-и столбце записать в виде (1+(й — 1))л ' и разложить по формуле степени бинома илн прямо воспользоваться результатом предыдущей задачи. и 477. П (х) — х»)л, 47В Д (х — х!) Д (х! — х»)л.
У к аз>!>»>1 Г=! л>) > л» з а н и е. Представить в виде произведения определителей: 1 1 ...1 1 1 1 ... 1 О х, х» ... хл О х12 х2 2... хт О и .С1 ХИ ° ° ХЛ хт хт ...хт хя 1 2 ' ' л хл-1 и — 1 л-1 л — 1 »1 Хз ...Хл Х О К, Хт ...Хл О О ... О 1 4 »2 ''' Хи причем произведение составляется по строкам. Значения да пр начения всех полученных определителей равны — 5!). 466» (аи+ 5»+ сз+ 81)и. 463. (ал+ Ьи+ си+ Ф+ ет+ Ут+ 82+ Ли)1, 470. О при л>2; (хи — х,)(ул — 71) при л=2 Указание. Представить в виде произведения опрсделителеис 47%. Указание. )(анный Вандермонда отвиты определитель помножить на определитель еп-1 1 !" 1 Эт пэ" Ез 1 ел 4...ели 1 491.
(1 — ап) . У к а з а н н е. Использовать результат задачи 479 -и равенство (1 — аз,) (1 — аап) ... (1 — аеп)=1 — а, где еь зп, ...„еп— корни и-й степени из единицы. Проще, однако, вычислить этот определитель как частный случай определителя задачи 325. 483 (а+ Ь+ с+ 1!) (а — Ь+ с — 1!) (а+ б! — с — 3!) (а — б! — с+ 3!) = а' — Ь4 + сп — ап — 2апсл+ 2бпг(1 — 4аЛЬВ+ 4блас — 4спбД+ 4г(пас, В4 + „„и ) О при и нечежюм, (2п и и четном. [(и+1) ап Цп ливи (и+1! 435. ( 1)" , п)л 4ЗВ.
Указание. Вычислить первый определитель, используя резул1 тат задачи 479. 497. ( — 2) '(и — 2р), если и и р взаимно просты; О, если л и р не взаимно просты. Указание. Использовать результат задачи 479 и свой- етва корней и-й степени из единицы, в частности то, что при р, взаимно и простом с и, числа еп1, а[; ..., эл снова являются всеми значениями ~l 1 л при р, не взаимно простом с гс найдется ел+ 1, для которого зб' 1. 486. [3+(и — р) Ь[ (а — б) 1, если й и р взаимно просты; О, если и и р не взаимно просты.
У к а за и не. Воспользоваться указанием к предыдущей задаче. Л-2 Л Уп а[+ з! 7 4ВВ. 2" 2!1соэ" — — 1). указание. Положить соп — = и ) и 2 где з, соз — +!з!и —, испольаовать результат задачи 479 и то, что для и и' п-1 любого а имеем Я (а — ет ) = ал — 1 и еп1 — 1. 2Ю л -е [соз Π— соэ (и+ 1) О)п — (1 — соз ЛО)" (1 —. О) 2 ~ и = 2 э!и — з!пп — э!пп —, и 2 п-2 лО [ (и+2)О пО [ 2 ! 2я 2п Указание. Положить а=соз — +12!и —, 1!= созО+!в!пбивос- мользоваться результатом задачи 479.
491. ( — 1)" 2Л 2 э!пп — ~соз" (а+ — ) — сопи ~а+ )~. п 2 4ВВ. ( — 1)п 1 (и+ ) ( + ) [(и-[-2)п — ип). Указание. Ис- 12 пользовать результат задачи 479 н соотношения 11+22+31+ ... фи' ( + ( + ) М 1+4а+9Э'+ ... +атаи-1пп — (,Гдв О (1 — э ОТВЕТЫ 493 — 499) е — корень л-й степени из 1, отличный от 1. Для получения последнего равенства умножить и разделить левую часть на 1 — э. 499. у(Ч1) у(Ч2) ... у(Чл), где г (х) а, +атх+а,хл+ ...
+ал.лл ю н л (29 — 1) и Чь Ч„ ..., Чл — все эначеиив коРнЯ У' — 1, напРимеР„ т! соэ (2Ь вЂ” 1) и +)э!и . У каз ание. Данный определитель умножить на опрея делитель Вандермонда, составленный из чисел Чь Чь ..., т!м 494. у(а1)у(ал) ... у(ал), Гдс у(Х)= а, +а Х+а Х'+ ... +алле-~ и аь аь „ал — все значейия корня л-й степени из х. 499. У к а з а и и е.
Обозначив корни степени 2л из 1 через ээ Ьп Ьп соэ — +12!п —, 1=0, 1, 2, ..., 2л — 1, показать, что числа ел счетными индексамн Ь дают все корни и-й степени нз еднницьь причем а,+а,сэ+ +лэеэ+ - +лтлээ =(лт+лл+г)+(ля+ля+2) зэ+(лэ+лл+з) ел+ 2 тл-г 2 + ... +(ал+лт„)зэ, а числа зэ с нечетными индексами Ь дают все корин и-й степени из — 1, причем а +а ээ+аэээ+ ... +а лети = (пг — л,+г)+(лт — л„+ ) за+(лэ — лл+з) ээт+ ... +(ал — ат.) еэ-'. 499.
Произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов четырех целых чисел, само будет суммой квадратов четырех целых чисеюь У к аз акис. Каждый иэ определителей возвысить в квадрат. 499. Произведение двух чисел, каждое из которых равно значению формы хэ+у'+лэ — Зхух, при целик значениях х, у, х само будет числом того же рода У к а з а и и е.
Вычислить произведение определителей а Ь с а' Ь' с' с а Ь ° с' а' Ь' помножая строки первого иа столбцы второго. 4ВВ. Указание. В произведении определителей л 1 Ь а' Ь' 1 Ь 1 а с' а' 1 с 1 Ь Ь' с' 1 ююставлениом путем умножения столбцов иа столбцы, третий столбец помнонсить иа э' =л +Ь'+ с' н множитель э' вынести из второй строки аа знак юпределителя. Затем из тре~ьего столбца вычесть первый и второй. 499. У каза вне. Записав определитель Р в виде ~~~',аг э Ь, э ч~',а, лЬЕ» ...
~~~~~аг э Ь Р Х лдэ1 Еэ, Х лт,лл 2, эт "' Х %зщ м эщ ~а,„, Ьгэ ~ч~',а,„лада ... ~ч~~а,„э Ьм э ы У-го столбца берутся о одному и тоыу де все сумм же индексу !2=1, 2, ..., и, разложить Р в сумму пм определителей относительно .'толбцов, в каждом слагаемом из у-го столбца вынести Ьу э эа знак опре!елителя и показать, что у л Р= Ч'„Ь, „Ь,„...Ь „А„, ответы (000 — 011 где индексы суммирования меняются от единицы до л независимо друг от друга. Заметить, что Ал л „ = О, если среди индексов ль йь ..., йт есть равные. Вывести отсюда утверждение (2), а при т < л доказать, что для любых индексов (ь (ь ..., 1,„где 1~1, < (э < ... < 1,„<л, все слагаемые суммы (3), в которых индексы аь аэ, ..., «т образуют любые пере- СтаИОВКИ ЧИСЕЛ 1„)ь ..., 1, ИМЕЮТ СУММУ, РаВНУЮ Аг 1 г ° В и отсюда получить утверждение (1).
560. Указание. Матрицы А и В дополнить до квадратных при помощи т — л столбцов, состоящих нз одних нулей. 500. Укааание. Применить теорему задачи 499 к матрицам 563. У к а з а н и е. Воспользоваться тождеством предыдущей задачи. 504 Указание. Применить теорему задачи 499 к матрицам (~И аэ °" ал) „(а, аг ... ал) 595.
Указание. Воспользоваться тождеством предыдущей задачи. 565. Указание. Перемножая Р и В'по строкам, показать, что ВР' = В", откуда при Р ф 0 и следует (1). При В=О рассмотреть случай, когда все элементы Р равны нулю. Если В=О, ив хотя бы один элемент аВ ф О, то к 1-0 строке Р', помноженной на аОт прибавить первую строку, помноженную на а,д 2-ю, помноженную на.атр ..., л-ю, помноженную на аль и показать, что а1)Р'=О. Случай Р=О можно обойти, если считать элементы Р ие числами, а независимыми переменными. Тогда определитель будет многочленом, отличным от нуля, и мы докажем, что (1) есть тождество, значит, оно верно при любых числовых значениях переменных аВ независимо от обращения Р в нуль. 597.
У к аз а н не. Сначала рассмотреть случаК когда М лежит в левом верхнем углу. Помножая по строкам Р на минор М', записанный в виде Ап ... Аьз 'А„л,„, А~л Али " Аат Ат, а+1 ° ° ° Алл О ... О 1 ... 0 О ... 0 О ... 1 показать, что ВМ'=В~А и Мг=Рт |А (случай Р=О можно обойти аналогично тому, как указано в предыдущей задаче, т. е. считать Р миогочленом от лэ неизвестных аВ). Затем общее расположение М свести к рассмотренному перестановками строк и столбцоц для чего показать, что при перестановке двух соседних строк (или столбцов) во взаимном определителе В' происходит такая же перестановка строп (или столбцов) ц кроме того, все элемента Р' меняют знак.
566. у казвина. Использоватя предыдущую задачу. 566. у к а з а н и е. Использовать предыдущую задачу. 561. Указание. Применить равенство задачи 507 при т=л — 1. 5Я. Указание. Применить равенствозадачиб07сзаменойт пал — гл. х = х' соз а — у' з!ив+хм у = л' з!и а+ у' соэ а+уа Отсюда, умножая по строкам, находим: I ! х! у! 1 Р г Уз г г Уз х! у, 1 хз уз 1 х,у,1 соэ а — з!и а х„ з!и а соз а ус О О 1 Но второй определитель в левой части равенства равен 1. Этим неизменность данного в задаче определителя прн указанных преобразованиях доказана.
Перенесем начало координат в точку Мэ и повернем осн тац чтобы новая ось абсцисс пошла по МэМь Новые координаты точек Мь Мь Мг будут I г х! — — МзМг, уз — — ~Ь, где Л вЂ” высота треугольника М!М Мэ опущенная из вершины Мь причем выбор знака плюс нлн минус связан с ориентацией гРеУгольника Указанным выше пРавилом, У! —— хг =Уз — — О. ПоэтомУ опРе- х О 1 аелитель принимает внд ' уг 1 = ~М,М, л = ~28, где Я вЂ” площадь О О ! !Реутольника М,МгМь 66$.
Определитель равен площади параллелограмма, построенного на !гречках, соединяющих начало координат с точками М, н Мь взятой со !паком плюс, если направление кратчайшего поворота от ОМ, к ОМ, и от Эх к Оу совпадают, и со знаком минус, если эти направления противоположны. .гпределитель не меняется при повороте осей но может меняться прн переюсе начала. у к аз ание. Применить результат предыдущей задачи, приняв !а третью точку начало координат. 512 †!1 285 626. У к а закис. По значению взаимного определителя В' найти значение определителя В н применить равенство задачи 510. Показать, что задача имеет л — 1 решений.
65$. У к а з а н н е. Первый определитель представить как квадрат определителя Вандермонда, составленного из чисел О, хь х„..., х„. л 655. А!1= ~', ац,агу (1, У=1, 2 ..., л). л-1 616. Указание. Рассмотреть произведения ВЛ н ЛВ, где  — данный определитель, а Л вЂ” определитель того же порядка, что н В, полученный перестановкой 1-й н 1'-й строк нз определителя, имеющего единицы на главной диагоналя и нули вне ее. 66!. У к а з а н и е. Рассмотреть произведения ВЛ и ЛВ, где  — данный определитель, а в Л элементы главной диагонали равны 1, элемент в 1-й строке и в /-и столбце равен с, а остальные элементы равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
