И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 47
Текст из файла (страница 47)
1. й. — 2. 3. — 1. 4. О. 6. О. 6. — 1. а. 4аЬ. 6. — 2Ь'. 6. 1. М. з(п (а — 5). ка. соя(а+(1). Мй. О. $3. 1. з4. 1. 16. — 1. 16 1. эз, О. МЭ аЬ вЂ” сз — с(з. 'Ьй. (а — Ь)с. ЙЗ. О. ЙФ. ас+Ьс+ст+ссс. Йй. х=З; у= — 1. й3. х=5; 2, 1 у 2. 64. х — . 'у = —. 36. х=2; у= — 3. 36. х сов(() — а); 3* 3 у=вся(5 — а). Йл. х=соэасозб; у=совка!пб. йй. Система неопределенна, формулы Крамера не дают верного ответа, 0 так как по этим формулам х и у равны —, т.
е. могут принимать произ- 0' вольные значения, тогда как они связаны соотношением 2х+Зу = 1, откуда по значению одного неизвестного определяется единственное значение другого. 66. Система противоречива. 36. При а+Ь уравнение определенно, при а=Ь+с — противоречиво, при а = Ь = с — неопределенно. ЗФ. При и=ля, где А — целое число, уравнение противоречиво, при остальиык значениях а †определен.
Зй. При а = 2йя, где Д вЂ” целое число, уравнение противоречиво, при о = (2А + 1) и †неопределен, при остальных значениях а †определен. 33. При а+5+Ась где А — целое число, уравнение определенно, при о+ 5 = 2ля и при а+ 5 = (2дс+ 1) я, а = Асм, где Ас и Ьс — целые числа.— неопределенно, при а+5=(2дс+1)я, а+лап — противоречиво. 34. При а4=0 система определенна, прн а = Ь = 0 — неопределенна, при а =ОчЬЬ вЂ” протиноречива.
36. При ас — Ьс+О система определенна, при ас — Ьс= Π— неопределенна. Противоречивой она быть не может. 36. При ачь~ 6 система определенна, при а=б — неопределенна, при а = — б — противоречива. Зл. При аЬчь90 система определенна, прн а = б, Ь = 15 — неопределенна, при аЬ= 90, но а+б, Ь+15 — противоречива. 36. У к а за и не. Убедиться, что в формуле решений квадратного уранпення подкоренное выражение положительно. 46.
Решение Пусть данный трехчлен является полным квадратом, т. е. лхс+2Ьх+с (рх+д)'. Сравниван коэффициенты при одинаковых степенях х, находим: а = р', Ь = рс), с = дс, откуда ас — Ьс = рсяз — (ря)с = 0 Пусть, обратно, ас — Ьс = О. Тогда ахс+2Ьх+ с = — (азха+ 2аЬх+ ас) = — ((ах+ Ь)'+(ас — Ьт)) 1 1 а л 1 1 = — (ах+ Ь)с есть полный квадрат, так как из комплексного числа— а а можно извлечь квадратный корень. ответы 42. Решение. Если спрн любом х, тоах+Ь=в)(ех+е(1 ах+ Ь ех+ в( а=в)е, Ь=дв( н авв' — Ье=О.
06Ратна, Если аЗ вЂ” Ье=О, то пРи ечЬОчий а Ь имеем — = — =в), а де, Ь в)А При с=О+в( будет а=О н, полагая е в( Ь в) = —, снова имеем а = де, Ь = в)А При с+ 0 = в( получим то же самое, в(' а ах+ Ь в) (ех+вО полагая в)= —. Поэтому = =4 при зобом х. 43. 40. 44. — 3. 46. 100. 46.
— 5. 47. О. 4В. 1. 49. 1. БВ. 2. 6$, 4. 62. — 8. 63. б. 64. 20., ББ. О. ББ. ЗаЬе — а' — бв — ев 67. ав+ Ьв+ . + св — Забе. БВ. О, БВ. 2хв — (а+ Ь+ е) хв+ абс. 66. (аЬ+ Ье+ еа) х+ абе. $. 1+ив+ ()в+уз. 62, 1. 63. з1и ()) — у)+ з(п (у — а)+ з)п (а — ()). 64. созга+созе()+савву= 1. ВВ. — 2. 67. хух+ 2 (асе — бе Г+ ав(у+ Ые) — х (е' +ув) — у (е'+ ге.) — г (аз+ ба). ВВ. О.
66. З. 76. З()'а 72. 4. У к а з а н н е. Все шесть членов определителя не могут равняться+1, так кзк тогда произведение трех членов: а„аввавь аыаввавь а,вав,аы было бы равно произнедению трех остальных члевовь в то время как первое из этих нронзведеиий равно произведению всех девяти элементов определителя, а второе †то же произведению девяти элементов с противоположным знаком.
Далее, убедиться, что определитель отличен от 5 и что — 1 1 1 1 — 1 1 =4. 1 1 — 1 73. 2. У каза вне. Показать, что все три положительных члена, шюдящих в определитель, не могут равняться 1, н учесть, что 1 0 1 =2. 74. х=З. у = — 2, х=2. 76.
х= у = х= 1. 7Б.х 1, у =2. х = — 1. 77. х=2, у= — З, х= — 2. 76. х= — а, у=б, л =е. Указание. Палозвить — = х', — = у', — =х'. 76. х=Ьс, у=ае, х=аЬ. ВБ. х=а, у=2Ь, х=Зе. Указание. Каждое из уравнений разделить на аЬе и положить — =х', — =у', — = л'. а+Ь+е а+Ьев+ее а+бе+сев У=; л= . Указание. Эту систему можно решать по формулам Крамера. Проще сначала сложить все уравнения, затем сложить после умножения второго уравнения на ев, а третьего на с, и, наконец, сложить после умножения второго уравнения на в, а третьего на ев.
Использовать соотношение 1+с+се О. 62. Система неопределенна, так как третье уравнение есть сумма двух остальных н, значит, любое решение двух первых уравнений удовлетворяет и третьему. Первые дза уравнения имеют бесконечно много решений, например, х и у выражаются через л так: х=10л+1, у=уж Давая х произвольнаа значение, найдем значения х и у.
63. Система неопределенна. 64. Система противоречива, так как если бы при некоторых числовых значениях неизвестных все уравнения системы обращались в равенство, то, 85 — 14!1 отвнты вычитая первое равенство из суммы двух остальных, мы получили бы своза равенство. Но получается О = 4. 69. Система противоречива. 66. При азчь27 система определенна„при аз = 27 — противоречива. В7. При 4а' — 45а+58+О система определенна, при 4а' — 45а+58=0— противоречива. ВВ.
При азчь15 система определенна, при а =3, Ь = 5 — неопределенна, цри аЬ = 15, но а+3, Ь+5 — противоречива. 69. При аЬ ф12 система определенна, цри а = 3, Ь = 4 — неопределенна, при аз= 12, ио а+3, Ь+4 — противоречива. 99. У к а з а н и е. Рассмотреть определитель, в котором первые две строки не пропорциональны (в частности, ни одна из этих строк не должна содержать только нули), а третья строка равна сумме первых двух, т. е. каждый ее элемент равен сумме соответствующих элел~ентов первых двтх строк. 166 О. Юэ. О. ЮЙ. О. ЮВ. О.
Ю4. О. ЮЭ. О. ЮВ. О! 167. О. ЮВ. О. 169. О. Две точки (хь у ) и (хь уз) плоскости лежат на одной прямой с точкой, делящей отрезок между ними в данном отношении л. $86. О. У к а ванне. К первой строке прибавить вторую н третью и воспользоватьси формулой Виета. МО. У к а з а н и е. К третьему столбцу определителя, стоящего в леной части. равенства, прибавить второй„умноженный на а+Ь+с, и вычесть первый, умножейный иа аЬ+Ьс+са. ° 99.
5. Ю4. 8. М$. 13. ЮВ. 18. Ю7. ( . ИВ + 2 2 Зп (в — 1) МЙЭ. инверсий. Перестановка четна при и, равном 48, 4Ь + 1, 2 н нечетна прн л, равном 4А+2, 48+3, где Ь вЂ” любое целое неотрицательное число. Зв (л -)- 1) 839. инверсий. Перестановка четна при в=зй, 41+3 н не- 2 четна при и 48+1, 4Ь+2, где Ь вЂ” любое целое неотрицательное число. в(Зп+1) 194. инверсий. Перестановка четна при в=41, 41+1 и не- 2 четна при и = 41+2, 48 +3, где л — любое целое неотрицательное число. л (Зп — 1) 199.
инверсий. Перестановка четна при л = 4А, 4А + 3 и не- 2 четна при п=4л+1, 41+2, где А — любое целое неотрицательное число. 199. Зп(л — 1) инверсий. Перестановка четна при любом л. Ю4. п(Зп — 2) ииверсик. Четность перестановки совпадает с четностью л, МЗЭ. л (би + 1) инверсий. Перестановка четная при любом и. ЮВ.
В перестановке и, и — 1, и — 2,..., 3, 2, 1. Число инверсий в ней равно С'„= . Ю7. А — 1. Юй. и — Ь. ЮЭ. С„. з ..л(п — 1) з 146. Юля л=4Ь, 41+1 — одинакова, а для л =48+2, 41+3 — противоположна. Здесь Ь вЂ” любое целое неотрицательное число. 14$. Реше нне. Берем два любых элемента аь а) в данной перестановке (г < Л Если в данной перестановке эти злементы образуют порядок, то и в исходном расположении а1 стоит раньше ай к индексы г, г' будут образовывать порвдок. Если же в данной перестановке элементы аь а) образуют инверсию, то в исходном расположении а) стоит раньше аь поэтому их индексы /, г также образуют инверсию. Поэтому инверсии данной перестановки взаимно однозначно соответствуют инверсиям перестановки индексов злрментов при нормальном расположении этих элементов, и значит, число тех и других инверсий одинаково.
ОТВЕТЫ [142 — 149 Мм. Указа н не. В перестановке аь аз, ..., Лл элемент Ь, переводим на первое место. в полученной перестанонке Ьз переводим на второе место н т. д. ° 43. Например:2,3,4,...,л,1 илн л,1,2, ...,п — 1. Указание. При доказательстве использовать то, что одна транспозиция может уменьшить число элементов, стоящих в перестановке правее (левее) их места в нормальном расположении, не более чем нэ единицу. М4. Указание. В перестановке аь а,, ..., а„элемент Ь, смежными транспозициями перевестн иа первое место, в полученной перестановке элемент Ьз смежными транспозициями перевести на второе место и т. д. ййй.
С вЂ” Ь. $46. — л1С . Указание. Воспользоваться предыдущей 2 1 2 Л ' 2 Л' задачей. МТ. Указание, Смежными транспознциями перевести 1 на первое. место„затем 2 на второе место и т. д. Учесть, что одна смежная транспозиция изменяет число инверсий на единицу. МВ. У к а з а н и е. Рассмотреть ряд перестановок, начинающийся с перестановки 1, 2, ..., л, полученный следующим рядом трасяоэицнй: сначала единицу переводим на последнее место, переставляя ее с каждым числом справа, затем двойку тем же путем переставляем на предпоследнее место и т. д., пока не придем к перестановке и, л — 1, ..., 2, 1, Утверждение можно также доказать индукцией по числу Ь. МИ.
Решение. Для вывода рекуррентного соотношения заметим, что если в перестановке с А инверсиями число л + 1 стоит на последнем месте. то есе А инверсий образуются числами 1, 2...., и, н таких перестановок будет (л, Ь); если л + 1 стоит на предпоследнем месте, то оно образует одну инверсию, а числа 1, 2, ..., л образуют А — 1 инверсий, и таких перестановок будет (л, Ь вЂ” 1), н т. д.; наконец, если л + ! стоит на первом месте, то оно образует л инверсий (это возможно лишь йри А ) л), а числа 1, 2,...,л образуют А — п инверсий, н таких перестановок будет (и, А — а). Располагая числа (л, Ф) в таблице по строкам с данным л и по столбцам с данным Ф. л1ы из рекуррентиого соотношения видим, что каждое число (л + 1)-й строки равно сумме л + 1 чисел предыдущей строки, считая их влево от числа, стоящего иад искомым числом (включая и числа, равные нулю).
Выписывая для удобства отсчета мест также и нулевые значения (л. 1) при )> С„ и учитывая, что (1, 0)= 1, (1, !) = 0 при ! э 1, получаем таблицу значений (л, Ь): 0 ! 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 5 6 5 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 О 4 5 ! 1 4 9 15 20 22 20 15 9 4 1 0 0 0 0 О 6 1 5 14 29 49 71 90 101 101 90 71 49 29 14 5 1 150 1821 ответы зо9 Например, число перестановок шести элементов с семью илн восемью инв сиями равно 101. Ъ. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
