И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 49
Текст из файла (страница 49)
— . 363. Ц[(1 ал,х). (х — цз х — 1' х — 1 (х — Цз л (и+1) 366. ( — Ц (ао — а, + аз — ... + ( †Цл ). 337. ( — Ц" 1(ивЂ Ц хл л Зйй. 1)2)3) ...л(=)пйп-)зп-2 . ЗЙЭ. ПЬ) 336. Д (х,— хл). и-) п>1>Л>1 л(л-1) ау +аул фа — арл 333. Д (а) ал) Зйй. 2 2 Д соз 2 з)п 2 †' 1<1<Ъ<л+1 л>1>л>1 л (и -11 П - — "=' а ~+ Ф» ауу — рл 1<!<Лап 2 2 и (и- 1) Ч')+РЛ . Ч'1 ара. аьоаао ° .. ал ),о Д з!и 2 и!и 1<! <Л <п отвнты ЗЗУ И 2) Л ( 1)! Д (хс а) ЗЗУ ( 1У 1! 2) гй 1 л>с>а>! л 333.
И вЂ” с Д (хс — ха), 339. 1! 3! 5! .. (2и — 1)! хс — 1л а 343. Д (асЬа — ааЬс). 34в. Д э!и (ас — а„). с<с <а<л+! !<с<а<и 343. аслл ". ал Д (ху„— х„у), где а — коэффициент прн хс с <с <а<я+! в многочлене Л (х, у). л л мл.~ — 1г'Пл П ( )!Х ' ~' г(л ,>с>а>т =(х — х,) (х — хт) .„.
(х — хл). Указание. Разложить .определитель по первому столбцу. 344 (х,+ха+ ... +хл) Д (хс — ха). Указание. Опрея>с>а>т делитель 1 х, хт ... х", 1 хт хв ... хя 2 л 1 х„хв ... х'„ 1 х хв ... ал бами: азложением по после ней вычислить двумя спасо р д строке и как определитель Ваидермонда.
В обоих выражениях приравнять коэффициенты при лл /1 1 11 345. х,хв ... хл ! — + — +... + — С! Д (хс — ха). Х1 Хв хл л> с > а > 1 343 (ХХл Хл ... Х„) 11 (Хс — Ха), ГДЕ СУММа бЕРЕтСЯ ПО ' * л-л'л>С>а>с всем сочетаниям и — э чисел аь а,, „... ал из чисел 1, 2, ..., и. 34а. (хсхв ... хл — (х,— 1)(х,— 1) ...
(хл — 1)) Д (хс — ха). л>с>а>с У к аз ание. с-й элемент 1-го столбца представить в виде 1 хс — (хс — 1) и представить определитель в виде разности двух определителей. 343. (2хсхв ...хи в (х, — 1)(хв — 1) ...(хи в 1)] Д (хс — ха). л>с>а>с Указание. Приписать первую строку 1, О, 0...„0 н первый столбец из единиц первый столбец вычесть из остзльньос, единицу в левом верхнем углу представить в виде 2 в 1 н представить определитель в виде разности двух определителей относительно первой строки.
343. Ф- у -ц 3!+фа . с!!с фа Д в!и — э!и —.. Указание. Воспольс<с<а<в воваться тем, что сов Асу выражается через сов 3 в виде миогочлена со старшим членом 2а !сова сг (вто можно вывестн нэ формулы Муавра и равенства 1+С',+С',+ ... =2а-с). отвнты 274 (35о-збУ 3$6. 2л (л ') э!п!у, и!п!(л ... з!п!рл П (з!и ~!+~а ° з!п ! вл). ! < ! <') < л Указание. Локазать, что 3!пб!р можно представить в виде нроизведеиия э!п!у на многочлеи от сову со старшим членом 2" ' созл ! !р.
3$1. (а+Ь+с+!Г)(а+Ь вЂ” с — г()(а — Ь+с — И)(а — Ь вЂ” с+И). У к а з а н и е. Воспользоваться методом выделения линейных множителей. 3$3. (а+б+с+И+е+Г"+3+3)(а+Ь+с+!( — е — у — $ — Ь)Х )((а+Ь вЂ” с — г(+е+у — 3 — б)(а+Ь вЂ” с — г( — е — г"+3+А) )( Х (а — а+ с — !(+ е — г+ 3 — 'б) (а — Ь+ с — г( — а+у — д+ ц Х Х (а — Ь вЂ” с + Н + е — у — 3+ б) (а — Ь вЂ” с+ г! — е+ Г + 3 — ц.
3$3. (х+а, +а!+... +ил) (х — а,) (х — аг)... (х — ал). Указание. Применить выделение линейных множителей или иэ иаждой строки вычесть предыдущую и затем к каждому столбцу прибавить все последующие. 3$4. О при и > 2; Р, = а, — Ь!,' Рл —— (а, — ат)(Ь! — ЬД. 3$$. О при п > 2; Р, = 1+х!у!; Рл = (х! — хд(У! — Ул). 3$6. О при п>1. Указание. Разложить на сумму определителей опюснтельно каждого столбца. л 3$7.
1+ ~~~', (а,+бд+ ~ (а! — ал)(Ьл — Ьд. !-! г<! <л<а л 3$6. ( — 1)л 1 — и — ~ х!ус+ ~~~', (х! — хл)(у! — ул) . У каза! ! !<!<а<а н и е. Применить результат задачи 355. л 3$6 ха+ха ! ~ (а! — Ьд+ ха ! ~~~ (а! — ае) (Ь! — Ьь). У к а. ! 1 г<!<л<л з а и и е. Разложить определитель иа сумму двух определителей относительно каждого столбца и применить результат захачи 354. 366.
х,х, ... хл 1+у,=!' ). 361. (а' — Ьл)л. Указание. Вывестн гю~ !! рекуррентное соотношение Рлл — — (ат — б') Ртл-л. Зйа 1) (а;ат,+! ! — Ь|Ьт г д 363. 364. О, если и при делении иа б дает в остатке 2 или 5; 1, если п делится на б или дает в остатке единицу; — 1, если п при делении на б дает в остатке 3 или 4.
Ответ можно записать иначе так: Рл— 2л У к аз вин е. Применить метод рекуррентиых соотношений, разобранный во введении к настоящему параграбу. 36$. Указание. ПолучитьрекурреитиоесоотношениеРл=Рл !+Рл-!. 366. 5л+' — 4л+'. ЗЗУ. + м(1+( — 1У) 2 , где ! гг — 1, т.
е если и л нечетное, то Рл =О; если п четное, то Р„= ( — 1) . 3 368 — 378) отвнты 1 +Ст тал 4 —...+( — 1)зСз лал ~+ ... Уназаиие. Первое выражение получается непосредственно методом рекуррентных соотношений; второе легко доказать методом и(щукции, используя соотношение Сл+ Си+1 = Сл+'. ил+ С( ал-2 + С2 „л-б+ + Са л-щ 371* 2собпа = (2соза)л — п(2 соз а)л 2+ (2 соз а)л 2! % и (и — 4) (и — 5) л б ат з. п з и-2а 3! ° (2соза) +... д ( — 1) — С л(2соза) л-л л-о Гп) п где через (à — ~ обозначена целая часть числа —.
Указание. Равенство ~й 2' соб па данному определителю доказать индукцией цо п Далее, если Рл — определитель данной задачи, а Рл — опрелелитель о аалачи 389 с заменой а на 2соба, то Рл=Ро — сова Р"„1. То, что козффициенты в цолученном вырюкении соз па через соз а будут целыми, следУет из легко пРовеРЯемого Равенства —, Сл л.—— Сл л — Сл з 1 и из л з 2-1 тогс, что все члены, ироме последнего:, содержат множитель 2, а последний член не содержит 2 сова лишь при четком и, но тогда й= — н этот 2 член равен Й 373. 2(ила=в!на!(2соза)" 1 — С( 2(2соба)л з+Ст з(2соза)" б— 1Ы вЂ” Сз (2соза)" т+ ...]= з!па у Сл л 1(2соза)" ~ 1, где !Г— «-о п — 1 есть целан часть числа — . 2 373. У к а з а н и е.
Применить метод рекуррентных соотношений. л(л-ц 374. 1+ +х4+ ... +х ". 373. ( — 1) — и" — и+1 2 (и — 1) х) 376. ( — пх)л ' ~а+ 2!. У к а з а н и е. Из каждой строки 2 вычесть следующую, все столбцы прибавить к последующему, к предпоследней строке прибавить все предыдущие и зту строку прибавить ко всем поедыдущим. 377. 1 — хл)л ( (л-2)(л-1) 373. Эти циркулянты различаются лишь множителем ( — 1) 2 276 (379-392 379. 1. Указание. Пользуясь равенством ( ) =( )+( ), ~Ь 1~ вычесть из каждого столбца предыдущий, а затем из каждой строки предыдущую. Зйф. 1.
Указание. Воспользоваться указанием к предыдущей задаче. 381. 1. Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую. 366. 1. Указание. Из каждой строки, начиная со второй, вычесть предыдущую, затем из каждой строки, начиная с третьей. вычесть предыдущую и т. д. щп+и 363. ( — 1) э . Указание. Иэ каждого столбца, начиная со второго, вычесть предыдущий, затем из каждого столбца, начиная с третьего, вычесть предыдущий и т.
д. В полученном определителе то же самое проделать для строк. 396. 1. Указание. Воспользоваться указанием к задаче 362. (т+п) (т+п — 1) (т+и — Р+1) (.'+")("+ ')- (п+') зуясь соотношением = ., вынести за знак определителя из (А) д (А — 1) первой строки т, из второй т+1 и т. д„из последней т+п; нз первого 1 1 1 столбца —, из второго и т. д„из последнего . С полученным Р Р+1 р+п определителем проделать аналогичные преобразования йт. д„пока ие придем к определителю того же типа, что и в предьн1ущей аадаче. 366. и.
Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую, разложить по элементам первого столбца, в полученном определителе из первого столбца вычесть второЗ прибавить третий, вычесть четвертый и т. д. Представить определитель в виде суммы двух определителей и показать, что Р„=Р„,+1. 367. гь У к а э а н и е. Из каждого столбца вычесть предыдущий, затем из каждой стропи вычесть предыдущую.
Элемент 2 в левом верхнем углу представить как 1+1 и получить соотношение Рл т Рл з-(-Р'„, где Р„г — определитель того же вида, что и в задаче 379, но порядка п — 1. 366. (х — 1)". У к а э а и и е. Из каждой строки вычесть предыдущую и показать, что Р„+, — — (х — 1) Рт 369. В 2! 31 ... (и — 1)1(х — 1)э. Указание. Свести к предыдущей задаче.
".х -( )--+(')-.- -(:)-.-+-'- -' У к а з а н и е. Из каждой строки вычесть предыдущую, показать, что Р„+,(хь хь ..., «„)=Р„(х, — хэ, хэ — хв ..., х„— хв-ю) и применить метод математической индукции. хл-~ и-г 391. ( — 1)" ~ху ° Указание. Положить в правом нижх — у нем углу О =х — х, разложить иа два определителя и либо применить метод рекуррентных соотношений, либо найти Р„из лвух равенств: Ра — — — «Рр,+х( — у)" ', Рп= — уР -~+у( — «)' '.
396. х (а — у — у (а — х)" 393-415) от виты 893. х у (у) — у / (х) , где /(х) = (аз — л) (аз — л) ... (а„— л). х — у 394„. ° °, где У (л) = (а, — л) (а, — л) ... (ал — л), х У(у) х — у 393. «л ( бл. 39$„аз+а" '+... +«+1. (йл — + сгйл— « « 2 2 2 397. и1 (азха+ а,х"-з + азха з+ ... + ал). л 899.П(х+л — 23+1) или (хз — 1з)(хз — Зз) ... (хз — (и — 1)з1 а 1 если и четное, н х(лл — 2з)(хз — 4з) ... [хз — (и — 1)з], если и нечетное. У к а з а н и е. К каждой строке прибавить все следующие, нз каждого столбца. вычесть предыдущий и показать, что если Рл (х) — данный определитель, то Рл (х) (х+ л — 1) Рл, (х — 1).
400. Ю, если и > 2, Р, = ал — х; Рз хил(аз — 1) (1 — а). 403. ( — 1Уз ~хл — хл ' — — — Я. 1 1 11 409 азиз ° ° ° ззл (аз — — — ° ° ° — ) ° аз аз ' ал ) з сз 403. аЬс,сз ... сл( — — —, ~аЬ с, сз "' сл!* 404 а(а+Ь)(а+2Ь) ... (а+( — 1)Ь)( — + + + ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
