И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Для этого, выбрав одно из нозможных значений для р, определяем координаты тензора в данном базисе ег по формулам„ аналогичным (6), где е~ — вэанмкый базис, связанный с базисом ег формулами (8). Обратно по данному текзору типа (р, е) значение соответствующей полилинейной функции на . данных векторах определяется формулой, аналогичной (7). При этом в формулах (6) и (7) под ~Р', ~Р'... „ мэ надо понимать вектоРы из того же пРостРанства Мю э ЭВ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА ЕЕЕ-Е(ес. еЕ) (Е, 1=1, 2...., и); ЕЕЕ= 8(е', ес) (Е, у= 1, 2, ..., и), (11) (12) называемые соответственно коварнантным и контраварнантным метрическими тенэорамн. Эти теизоры соответственно типа (2, О) и (О, 2).
Кроме того, той же функции Е(х, у) соответствует третий тензор типа (1, 1), координаты которого определяются формуламн (8) и не зависят от выбора базиса ес. Значения метрической функции Е(х, у) определяются любой из трек формул: Е(, у)=ЕЕ уЕ. (13) Е (х, У) ЕЕЕХЕУЕ. (14) Е(х, У)=хсУ'. (15) В частности, в евклидовом пространстве аналогично вычисляется скалярное произведение (х, у). Пусть в евклидовом пространстве рассматриваются только ортонормнроваииые базисы. Тогда матрица С нз коэффициентов формул (1) ортогональна, нз равенства (3) получаем О = С, матрицы иэ коэффициентов формул (1) и (2) будут взаимно транспонированнымн, взаимный базис совпадает с исходным, ковариантные координаты совпадают с контравариантными и матрицы метрических тенэоров ЕО н йлс превращаются в единичную матркцу. В этом случае все тенэоры типов (р, о), соответствующие данной полилниейиой функции от р+(с аргументов, совпадают.
Отличие ковариаитиых и контравариантиых валентностей тензора теряет значение. Поэтому все индексы можно пясать снизу, сохраняя нужные знаки суммирования. Пусть в евклидовом пространстве Е„ дан любой базкс еь ег,..., ел, обозначим через Е определитель матрицй О = (ЕО) ковариантного метрйческого тенэора в данном базисе. Так как Е (х, х) — положителько определенная квадратичная функция, то Е > О.
Дискримикомтным теилором (ковариакткым) евклидова пространства Е„называется такое соответствие, при котором каждому базису соответствует система чисел (координат тензора), заданных формулами: вс с."с =( — 1)*) Е. с г"" л (16) где з — число инверсий в перестановке сь Еь ..., Е„ н вс с ...с —— О, если с 2 е хотя бы два из индексов одинаковы. В частности, вж,.„— — )СЕ > О. Координаты дискриминантного тензора прн переходе к новому базису с той же ориентацией меняются как у и раз кавариантного тензора, а ~рн переходе к базису с противоположной ориентацией дополнительно меняют знак Аналогично определяется коитравариантный дискрнминантный тензор в се"' л сс" с Ориентированным обаемом иараллелеиииеда О, настроенного ка векторах хь хь ..., х„пространства Е называется число, определенное в данном базисе ес формулой (17) Уе(хс, хг, ..., хв) =)с Е ° йе!е(хс, хг, ..., хл), В частности, метрической функции Е(х, у) соответствуют дна тензора с координатами ДОПОЛНЕНИЕ 1, 1, е) е! ...
е! е'е' ...ел, ! ! в гле все индексы изменяются от 1 до р, составляют базис пространства Т. Вектор в нз Т выражается через этот базис в виде в= а '.' ...(ве е ...е е 'е ' ... е л. )/" ° ! ! ! 1!!в "'1л в! )! тв (20) где )!й > 0 и бе! (хь хв, ..., х„) — опрелелитель из координат векторов хь х„..., х„в данном базисе. С помощью дискриминантного тензора орьиеитирова!!ный объем выражается формулой )гв(хь хв, ..., хв) =в . х !х'а х в, 1 ! ! в ''' !в 1 2 " и где х! — в-я координата вектора хв в данном базисе, Ориентированный объем обращается в нуль тогда н только тогда, когда векторы х1 линейно зависимы. Лля линейно независимых х! его абсолютная величина равна объему параллелепипеда О и он положителен или отрицателен, смотря по тому, является ли система векторов хь хь ..., х„ оланаково илн протии!положно ориентированной с базисом еь ет, ..., ен.
Тензорное произведение Пусть У и У' — два линейных пространства иал одним н тем же полем Р. Рассмотрим упорядоченные пары хк' векторов, где к~У, х'~У', н формальные конечные суммы таких пар ! х,х, +... +хзх„. Определим отношение эквивалентности этих сумм по правилам: 1) две суммы, отличающиеся лишь порндком слагаемых, эквивалентны; 2) пары (ах) х' и х)ал'), где аЕР, эквивалентны; 3) пара (к+у) х' эквивалентна сумме пар хх +ух' н пара х(х'+у') эквивалентна сумме пар хх'+ху'.
Две суммы эквивалентны, если от одной из них можно перейти к другой путем применения указанных правил ко всей сумме или ее части в конечном числе. Это отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично н транзитивно. Поэтому все суммы разбиваются на классы эквивалентных сумм. Пусть Т вЂ” множество этих классов Введем в Т операции сложения н умножения на элементы поля Р через операции нал прелставителями классов. Суммой двух сумм называется сумма, полученная припиской к первой сумме слагаемых второй суммы. Улнонвенив суммы на абР определим как умяоженне на а первых элементов всех пар данной суммы.
Например, а (хх'+уу') = (ах) х'+ (ау) у'. Множество Т при зтих операциях является линейным пространством иал полем Р. Оио называется тензорнмх ироизввденивлв пространств У н У' и обозначается через У)( У'. Если У и У' конечномерны, то и У)( У' конечномерно и его размерность равна произведению размерностей У и Ъ".
/ ! в / Если е, е, ..., е„ вЂ баз У и еи е, ..., е„, — базис У, то система классов эквивалентных сумм, содержащих упорядоченные пары ее (1=1, 2, ..., и; 2=1, 2,..., и), (19) является базисом пространства У )( У' (см. задачу 1918). Аналогично определяется тенаорное произведение любою конечного множества линейных пространств. Тензоры типа (р, е), заданные иа пространстве У, можно рассматривать иак векторы пространства Т, являющегося тензорным произведением е пространств У„и р сопряженных пространств У„.
Для этого берем базис е1, еъ ..., е„в У„и сопРаженный базис е1, еэ, . ° ., е" в У„. Тогда УпоРЯ- доченные системы 257 1900-!9001 $Ж ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА Его координаты, т. е. числа а~ ~ ...,л, будут координатами тензора типа УА" 7 ! г р (р, в) в базисе ео еь ..., е„в смысле первого определения тензора. !900. Доказать, что для любого базиса е„..., ел и-мерного линейного пространства Ул существует единственный сопряженный 1 л Э базис е, .... и сопряженного пространства У„, т.
е. базис. связанный с данным базисом условиями е~(в,)=0~(1, 1=1, 2, ..., л). т где б~ — символ Кронекера. 7 1901. Линейная функция ф(х) на л-мерном линейном пространстве Ул является коварнантным тензором, т. е. тензором типа (1, О). в) Йайти его координаты а, в данном базисе е,.
б) Показать, что числа аг являются координатами ф(х) как век- Э г тора сопряженного пространства У„в базисе е, сопряженном базису е, пространства Ул. !902. Координаты вектора х в данном базисе и-мерного линейного пространства У„определяют контраваривнтный тензор, т.
е. тензор типа (О, 1). Записать этот тензор в виде полилинейной функции. 1903. ПУсть <Р(х) = а,х' +атхт.+ ... +а„х" — линейнаЯ фоРма от координат вектора х~ Ул в базисе ен Показать, что коэффициенты а,а (0 / л= 1, 2...., л) квадрата этой формы дают дважды ковариантнйй тензор. 1904. Назовем матрнцей дважды ковариантного тензора агу в данном базисе матрицу пы ны ° ° ° п1л ла овт ° ° ° пвл а„, а, ... алл Найти аакон изменения матрицы А при переходе к новому базису. 1906. Назовем матрицей дважды контравариантного тензора а'7 ПН П12 П!л атг авт атл . Найти аакон изме- в данном базисе матрицу А= ал' алт ... алл к новом базис А зепия матрицы при переходе У У 1906.
Пусть а~г — тензор типа (1, 1) в и-мерном линейном пространстве У„. Считая 1 номером столбца, а у — номером строки. !!997 — !912 дополнение получим матрицу из координат этого тензора 1 ! 1 а! а2 ° ° ° ал 2 2 2 а! ая...а, л ' л л а! ая ал Найти закон изменения матрицы А при переходе к новому базису. 1907. а) Показать, что символ Кронекера 01~ дает во всех базисах н-мерного линейного пространства тензор типа (1, 1). б) Записать этот тензор в виде полилннейной функции. 1908е.
Пусть а!1 — лважды ковариантный тензор в а-мерном пространстве. Доказать, что: а) если матрица А тенаора а!1 е одном базисе невырождена, то она и я любом базисе неяырождена; б) элементы а!! матрицы. обратной для матрицы А тенаора а, (в случае, когда А невырождена). обраауют дважды контравариантный тенаор. 1909. Пусть Ах †линейн преобразование и !р(х) — линейная функция на а-мерном линейном пространстве т'„. Показать, что функция Р (х; !р) =!р(Ах) есть тенаор типа (!. 1), матрица которого в любом бааисе совпадает с матрицей линейного преобразования Ах в том же базисе.
!9!О. Докааать, что элементы матрицы билинейной функции Р(х, у) в а-мерном линейном пространстве образуют тенаор типа (2, О), т. е. дважды ковариантный. 1911. Докааать, что элементы матрицы линейного преобразования в данном базисе образуют тензор типа (1, 1). !9!2. Пусть в а-мерном линейном пространстве !Рл даны р векторов хн хя.....
х . Выпишем координаты этих векторов в некото- 1 2 л а! а! ...а! 1 2 л ром базисе по строкам матрицы а2 ая ° ат 1 2 л ар а„ ... ар а) Показать. что числа а' ал ...ар ! 1 1 1 ''' 1 1 ! а, ая...ар а!е"' р— !с " ! (11, 22, .... !р — — 1, 2, ..., а) 1! . !2 ар ар ар $ж тензоэндя АЯГеБРА 1913 — 19151 являются координатами р раз контравариантного тенаора, т. е. тензора типа (О. р) в данном базисе. Этот тенаор называется р-векглором (при р=1 — вектор. при р=2 — бизектор). б) Доказать. что р-вектор тогда и только тогда равен нулю, когда данные векторы хн хм ..., хр линейно зависимы (в частности, при р) п все р-векторы равны нулю). з) Доказать, что две линейно независимые системы из р-векторов каждая тогда и только тогда эквивалентны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
