И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 40
Текст из файла (страница 40)
178бэ, Кольцом главных идеалов называется коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором каждый идеал— главный (см. задачу 1783). Доказать, что каждое из следующих колец является кольцом главных идеалов: а) кольцо 2' целых чисел; б) кольцо Р [х) многочленов от одного неизвестного х над полем Р; в) кольцо А целых гауссовых чисел. 1786. Суммой идеалов 1п 1г, ..., 1ь коммутативного кольца й называется множество 1 всех элементов х из гт.
представимых в виде х = х, + хг+ ... + хь„'х, ~ 1д ! = 1, 2, ..., Ф. Пишут 1=1!+1г+ ... +1ь. Если для любого х из 1 указанное представление единственно. то сумма 1 называется прямой суммой идеалов 1о В этом случае пишут 1=1,+1г+ ... +1ь. дополнвние [1787 — 1796 Доказать, что: а) сумма любого конечного числа идеалов есть идеал; б) сумма двух идеалов тогда и только тогда будет прямой суммой. когда пересечение их содержит только нуль. 1787. Доказать, что если 1=1,+1з — прямая сумма идеалов1н 1. то произведение любого элемента из 1, на любой элемент нз 1 равно нулю.
]788. Пусть К=1г+1а — разложение коммутативного кольца гс с единицей е в прямую сумму ненулевых идеалов 1п 1з. Доказать, что если е=е,+аз', е,~18 еа~1з. то ен ез будут единицами соответственно в 1н 1з, но не в )с. 1789. Доказать. что фактор-кольцо кольца 1)[х] многочленов с действительными коэффициентами по идеалу многочленов, делящихся на ха+1. изоморфно полю комплексных чисел а+Ы с операциями сложения н умножения, определяемыми по известным нз школы правилам. 1790. Доказать. что любое гомоморфное отображение поля Р в кольцо й является или изоморфным отображением на некоторое поле, вход)пцее в 11 как подколыю (так называемое вложение Р в гс), или отображением всех элементов нз Р в нуль из й. 1791. Пусть У в кольцо целых чисел и й †люб кольцо с единицей е.
Доказать, что отображение ф, для которого гр(п)= пе. есть гомоморфное отображение Е в )с. Найти образ ~р(Л) кольна Л прн этом гомоморфиаме. 1792. Пусть А — кольцо целых гауссовых чисел. 1 †множест всех чисел а+И с четными а и Ь. а) Показать. что 1 †иде в А; б) найти смежные классы А по 1; в) в фактор-кольце А/1 найти делители нуля и показать этим.
что А/1 не является полем. 1793. Доказать, что фактор-кольцо А/1 кольца целых гауссовых чисел по главному идеалу 1 = (3) есть поле из девяти„элементов. 1794. Доказать. что фактор-кольцо А[1 кольца целых гауссовых чисел по главному идеалу 1 = (и) тогда и только тогда будет полем. когда и†простое число, не равное сумме двух квадратов целых чисел. 1796. Пусть Р [х, у] — кольцо многочленов от двух неизвестных х, у над полем Р, 1 — множество всех многочленов этого кольца без свободного члена.
Доказать, что: а) 1 является идеалом. но не является главным идеалом; б) фактор-кольцо Р [х, у][1 нзоморфно полю Р. ]796. Пусть 1=(х, 2) — идеал, порожденный множеством из двух элементов х и 2, в кольце целочисленных многочленов 2[х] Доказать, что: а) идеал 1 состоит из всех многочленов с четными свободными членами; б) идеал 1 не является главным; в) фактор-кольцо Е[хД иаоморфно полю вычетов по модулю 2. 1797 — 17991 4 и. модкли 235 1797.
Пусть (и) — идеал, порожденный целым числом я ) 1 в кольце целочисленных многочленов Е[х). Докааать, что фактор- кольцо 2[хЦ(я) изоморфно кольцу ли [я[ многочленов над кольцом вычетов по модулю и. 1798. Пусть Р— кольцо всех действительных функций у (х), определенных на всей числовой прямой при обычных операциях сложения и умножения и с — действительное число. Доказать. что: а) отображение <р[у(х)) =у(с) есть гомоморфное отображение кольца Р на поле П действительных чисел; б) ядро гомоморфизма ~р, т.
е. множество г всех элементов кольца Р, отображаюшихся в число О. есть идеал в Р: в) фактор-кольцо Р[г иаоморфно полю действительных чисел й. 1799. Пусть ар — поле вычетов по простому модулю р, у(х)— многочлен степени и иэ кольца Хр[х)„неприводимый над полем лр (нз теории полей известно, что такой многочлен сушествует для любого простого р н любого натурального и), г — главный идеал, порожденный многочленом у(х) в кольце ле[х). Доказать, что фактор-кольцо Ер[х)Р есть конечное поле, и найти число его элементов. 9 22.
Модули Левым модулем иад зальцам Р называется абеаева группа М (обычно с адднтивной записью операции), для элементов которой определено умножение на элементы нз Р так, что Ла~М для любых Л~Р, а~М, причем выполнены следующне условия, аналогичные свойствам умножения вектора па число для линейного пространства: 1. Л(а+Ь)=Ла+ЛЬ, 2. (Л+р)а=да+па, 3. Л(ра)=(Лр)а, где Л, р~Р, а, Ь~М. Если, кроме того, кольцо Р обладает единицей г н 4. за=а, а~М, то М называется унитарным левым модулем иод Р.
Подмодулем левого модуля М иад кольцом Р называется подгруппа А группы М, для которой ЛаЕА для любых Л~Р, а~А. Отображение 9 левого модуля М на левый модуль М' над одним и тем же кольцом Р называется гомоморфиым, если ц(а+Ь) =ца+9Ь, ц(Ла) =)еуа для любых а, ЬЕМ, ЛЕР. Взапмпо однозначное и гомоморфное отображение модуля М на модуль М' (над тем же кольцом) называется изоморфным (илн изоморфизмом), а модули М и М' называются изоморфными.
Факюор-модулем МгА левого модуля М иад кольцом Р ио нодмодулю А пззывается фактор-группа М/А с естественным умножением на элементы кольца Р: Л(х+А) = Лх+А. Порядком 0(а) (яли аинулятором Апп(а)) элемента а левого мо.- дуля М яад ггольцом Р называется множество всех элементов Л~Р, для которых Ли= О. Если порядок элемента и содержит только нуль кольца Р, 11800 — 1807 ДОПОЛНЕНИЕ то а называется свободным влементом (или элементом порядка нуль).
В противном случае а называется периодическим элементом (или элементом ненулевого порндна). Аналогично определяются правые модули М над кольцом Й с умножением аЛ~М, а~М, ЛЕЙ, и связанные с ними понятия. Если в следующих задачах говорится просто о модуле М над кольцом Й„ то М рассматривается для определенности как левый модуль иад Й, хотя соответствующие свойства верны также и для правого модуля над Й.
Для упрощения некоторые задачи формулированы для случая коммута. тивного кольца, хотя они могут быть обобщены иа модули над некоммутативиыми кольцами. 1800. Привести примеры модуля М над пальцам Й, где существуют ЛчьО из Й и а ныл из М, причем Ха=О. 1801. Проверить, что любая абелева группа О (с аддитивной записью операции) является модулем над кольцом Д целых чисел. 1802. Левый модуль М нзд кольцом Й называется тривиальным„ если Ла=О для любых Л~Й, а ~М.
Доказать, что левый модуль М над кольцом Й с единицей е разлагается в пряму1о сумму подмодулей: М=Мг+Мг, где М, унитарен, а Мз тривиален, причем М, содержит все элементы а~М. для которых за=а, и Мг — все элементы а~М, для ноторых за=О. 1803. Проверить. что: а) если коммутативное кольцо Й рассматривать как левый модуль над самим собой, то подмодули этого модуля совпадают с идеалами кольца Й; б) если некоммутативное кольцо Й рассматривать кан левый (правый) модуль над самим собой. то подмодулн этого модуля совпадают с левыми (правыми) идеалами кольца Й. 1804з.
Показать, что примзрную но простому числу р абелеву группу О (задача 1696) можно рассматривать как унитарный модуль над кольцом Й рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на р. 1806. 1(иклическилг подлюдулем,, порожденным элементол~ а левого модуля М над кольцом Й, называется минимальный подмолуль [а). содержащий а.
Доказать. что лля любого а ~М цикличесний подмодуль [а) существует и состоит из всех элементов модуля М, имеющих вид: а) Ла, где Х~Й. если М вЂ” унитарный модуль; б) Ла+па, где Л ~ Й и п — целое число, если М вЂ” любой модуль. 1806. Доказать, что п-мерное линейное пространство над полем Р является (при тех же операциях) унитарным модулем над Р, причем этот модуль разлагается в прямую сумму п циклических подмодулей.
1807. Пусть М вЂ унитарн модуль над коммутативным кольцом Й с единицей е, [а) и [Ь) — циклические модули, О (а) и 0(Ь) — порядки соответственно, а и Ь. а) Доказать, что если [а) = [Ь), то 0 (а) = О (Ь); !808 †18! э аь модьли хо7 б) показать на примере, что условия 0(а)=0(Ь) недостаточно для равенства (а) =(Ь); в) доказать, что для равенства (а) = (Ь) необходимо и достаточно, чтобы было Ь =аа, а = ЬЬ, где и, б — некоторые элементы иа гг; г) доказать, что для равенства (а] = (Ь) необходимо и достаточно выполнения условий: Ь = оа. где а ~ й и обратим по модулю О (а), т. е. смежный класс а+ 0(а) есть обратимый элемент фактор- кольца й/О (а). 1808в. Доказать, что всякий подмодуль А циклического модуля М= (а) над кольцом главных идеалов Й сам будет циклическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
