И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 36
Текст из файла (страница 36)
равным единице, относительно умножения; 21) матрицы порядка и с целыми элементами и определителем.. равным + !. относительно умножения; 22) матрицы порядка и с действительными элементами относительно сложения; 23) подстановки чисел 1, 2, .... а относительно умножения; 24) четные подстановки чисел 1. 2, ..., п относительно умножения; -25) нечетные подстановки чисел 1, 2, ..., и относительно умножения; 26) взаимно однозначные отображения множества И = (1. 2.
3, ... ) натуральных чисел на себя, каждое из которых перемещает лишь конечное число чисел. если за произведение отображений а и 1 принято отображение з1, которое получается при последовательном выполнении отображений а и 1; 27) преобразования множества М, т. е. взаимно однозначные- отображения этого множества на себя, если за произведение преобразований г и ! принято преобразование Ф, которое получается при последовательном выполнении преобразований а и 1; 28) векторы и-мерного линейного пространства Я„ относительно сложения: 29) параллельные переносы трехмерного пространства Я, если за. произведение переносов а и 1 принято их последовательное выполнение; ЗО) повороты трехмерного пространства Я вокруг даннзй точки О. если за произведение поворотов а и г принято их последовательное выполнение; 31) все движения трехмерного пространства Я, если за произведение движений а и ! принято движение а1, получающееся при последовательном выполнении движений а и 1; 32) положительные действительные числа.
если операция определяется так: а ч Ь = а; ь. ЗЗ) положительные действительные числа, если операция определена так: а ч Ь = ааЬа; 34) действительные многочлены степени ~(п (включая нуль) ог неизвестного х относительно сложения; 35) действительные многочлены степени и от неизвестного х относительно сложения; 36) действительные многочлены любых степеней 1включая нуль). от неизвестного х относительно сложения. 216 дополнении 1!б35 — !647 1636. Доказать, что конечное множество О, в котором определена ассоциативная алгебраическая операция и каждое из уравнений ах = Ь, уа = Ь для любых а и Ь из О имеет в О не более одного решения, будет группой.
1636. Доказать, что если па= е для любого элемента а группы О, то эта группа абелева. 1637в. Доказать. что группа корней а-й степени из единицы является единственной мультипликативной группой и-го порядка с числовыми элементами. 1638*. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка: а) 3; б) 4; в) 6. Написать таблицы умножения этих групп н представить эти группы в виде групп подстановок. 1639в. Показать, что вращения каждого из пяти правильных многогранников вокруг центра, совмегцающие многогранник с самим собой, образуют группу.
если за умножение двух вращений принять их последовательное выполнение. Найти порядки этих групп. !640. Доказать, что группы 1) — 4) задачи 1634 изоморфны между собой. !64!. Доказать, что: а) все бесконечные циклические группы изоморфны между собой; б) все конечные циклические группы данного порядка л изоморфны между собой. 1642.
Доказать. что: а) группа положительных действительных чисел по умножению изоморфна группе всех действительных чисел по сложению; б) группа положительных рациональных чисел по умножению не изоморфна группе всех рациональных чисел по сложению. 1643в. Доказать, что: а) любая конечная группа порядка л нзоморфна некоторой группе подстановок и элементов; б) любая группа изоморфна группе некоторых взаимно однозначных отображений множества элементов этой группы на себя. 1644. Доказать. что для любых элементов а, Ь, с группы О: а) элементы аЬ и Ьа имеют одинаковый порядок; б) элементы аЬс.
Ьса и саЬ имеют одинаковый порядок. 1646. Доказать, что если е — единица и а †элеме порядка и группы О, то ал = е тогда и только тогда. когда Й делится на л. 1646. Найти все образующие элементы аддитивной группы целых чисел. 1647. Пусть О=(а) — циклическая группа порялка л и Ь=а~. Доказать, что: а! элемент Ь тогла и только тогда будет образующим группы О, когда числа а и А взаимно просты; 217 1648 — 16511 1 аь ГРуппы л б) порядок элемента Ь равен —, тле Г1 — наибольший общий ле- И' литель л и Ь; в) если и и А взаимно просты, то в О существует корень у' а. т.
е. а является А-й степенью некоторого элемента из О и обратно; г) в группе нечетного порядка все элементы являются квадратными. 1648в. Доказать утверждению а) если элементы а и Ь группы О перестановочны, т. е. и имеют конечные взаимно простые порядки г и г. то их произвеление аЬ имеет порядок га; б) если элементы а и Ь группы 0 перестановочны, имеют конечные порядки г и а и пересечение их циклических подгрупп содержит лишь единицу е, т. е.
(а) П (Ь) = (е), (2) то порядок произведения аЬ равен наименьшему общему кратному г и а. Показать на примерах, что лля справедливости последнего утверждения каждого из условий (1) и (2) в отдельности недостаточно и что условие (1) не является слелствием условия (2), даже для взаимно простых порядков элементов а и Ь; в) если порялки г и а элементов а и Ь взаимно просты. то условие (2) выполняется; г) показать на примере, что без условия (2) порядок произведения аЬ не определяется однозначно порядками сомножителей а и Ь.
1649. Какие из групп задачи 1634 являются подгруппами других из этих групп? 1650. Доказать, что: а) если Н вЂ” конечное множество элементов группы О и произвеление двух любых элементов из Н снова лежит в Н, то Н булет подгруппой группы О; б) если все элементы множества Н группы О имеют конечные порядки и произведение двух любых элементов из Н снова лежит в Н, то Н будет подгруппой группы О. 166!. Доказать. что в любой группе полстановок.
содержащей хотя бы одну нечетную подстановку: а) чисао четных подстановок равно числу нечетных; б) четные подстановки образуют нормальный делитель; в) все простые группы полстановок л элементов (где л,Р 2) содержатся в анакопеременной группе А„ (простой называется группа. не имеющая нормальных делителей, кроме себя самой и единичной подгруппы). 11852 — 1бзэ дополняння 218 !652. Доказать, что любая бесконечная группа имеет бесконечное число подгрупп.
1663. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы, каждая мз которых изоморфна любой своей неединичной подгруппе. !654. Найти все подгруппы: а) циклической группы порядка 6; б) циклической группы порядка 24; в) четверной группы (задача 1638); г) симметрической группы оз, д) какие из подгрупп группы Бз являются нормальными делителями? е) доказать, что знакопеременная группа четвертой степени А4 яе имеет подгруппы шестого порядка. Таким образом, группа О порядка и для некоторых й. делящих в, может не иметь подгрупп порядка й. 1655. Найти все подгруппы группы О порядка 8, все элементы которой. кроме единицы е, имеют порядок 2. 1656.
Пусть 0 = (а) — конечная циклическая группа порядка и. Доказать утверждения: а) порядок любой подгруппы группы 0 делит порядок л этой группы; б) для любого делителя И числа а существует единственная подгруппа гт' группы О, имеющая порядок г(; в) подгруппа Н порядка и содержит в качестве образующих все п) .элементы порядка И группы О. В частности, Н = (а " 1 . 1657е. Найти все подгруппы примарной циклической группы, т. е.
циклической группы 0 = (а) порядка р, где р — простое число. 1658э. Доказать утверждения: а) симметрическая группа 5„ при л > 1 порождается множеством всех транспозиций (5 г); б) симметрическая группа 3„ при и > 1 порождается транспозициямн: (1. 2), (1, 3)... (1, в); в) знакопеременная группа А„при и > 2 порождается множеством всех тройных циклов (1 Г л); г) знакопеременная группа А„прн и > 2 порождается тройными циклами: (1 2 3), (1 2 4), ..., (1 2 и). !659. Найти смежные классы: а) аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел.
кратных . данному натуральному числу л; б) аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел; в) аддитивной группы комплексных чисел по подгруппе целых гауссовых чисел, т. е. чисел а +Ы с целыми а и Ь; 219 1660 — 16671 % Щ ГРУППЫ г) аддитивной группы векторов плоскости (выходящих нз начала координат) по подгруппе векторов, лежащих ка оси абсцисс Олп д) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе чисел, равных по модулю единице; е) мультипликативной группы комплексных чисел отличных от нуля, по подгруппе положительных действительных чисел; ж) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля„ по подгруппе действительных чисел; з) симметрической группы З„по подгруппе подстановок, оставляющих число а на месте.
1666*. Доказать. что: а) подгруппа Н порядка Ь конечной группы О порядка 2м содержит квадраты всех элементов группы 0; б) подгруппа Н индекса два любой группы 0 содержит квадраты всех элементов группы О. 1661е. Доказать, что при л > 1 знакопеременная группа А„ является единственной подгруппой индекса два (т. е. содержащей половину всех элементов) в симметрической группе 8„.
Привести пример конечной группы, содержащей несколько подгрупп индекса два. 1662в. Доказать, что: а) группа тетраэдра изоморфна группе четных подстановок четырех элементов; б) группы куба и октаэдра изоморфны группе, всех подстановок четырех элементов; в) группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны группе четных подстановок пяти элементов. Определение групп многогранников см. в задаче 1639. 1663. Доказать, что любая подгруппа индекса два является нормальным делителем. 1664.
Доказать, что множество Л всех элементов группы 0„ каждый из которых перестановочен со всеми элементами этой группы, является нормальным делителем (центр группы О). 1665. Элемент аЬа ~Ь ~ называется коммутатором злемгитоа а и Ь группы О. Доказать, что все коммутаторы и их произведения (с любым конечным числом сомножителей) образуют нормальный делитель К группы 0 (коммутант данной группы). 1666. Доказать, что в группе всех движений трехмерного' пространства элемент х 'ах, сопряженный с поворотом а вокруг точки Р, является поворотом вокруг той точки Я, в которую переходит точка Р при движении х.
1667. Доказать, что подстановка х 'ах. сопряженная в группе подстановок подстановке а, получается путем применения трансформирующей подстановки х ко всем числам в разложении подстановки а. на независимые циклы. дополнении ! 1668 — 1680 1688". Доказать. что: а) четверная группа $" (задача 1638) является нормальным делителем симметрической группы 8; б) фактор-группа Ю,/Ъ' изоморфиа симметрической группе 8з.
1669в. Пользуясь задачей 1667, найти число подстановок симметрической группы 5„, перестановочных с данной подстановкой а. 1676в. Доказать, что если пересечение двух нормальных делителей Н, и Нз группы О содержит лишь единицу е. то любой элемент л, ЕН, перестановочеи с любым элементом лз ~ Н,. 1671. Доказать, что: а) элементы группы О, перестаиовочиые с данным элементом а, образуют подгруппу И(и) группы 0 (иормализатор а в О), содержащую циклическую подгруппу (а) в качестве нормального делителя; б) число элементов группы О, сопряженных с а, равно индексу >юрмализатора Ж(а) в О. 16?2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
