И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Локазать, что: а) элементы группы О, перестановочиые с данной подгруппой Н (ио не обязательно с элементами из Н), образуют подгруппу И (Н) группы О (иормализатор подгруппы Н в 0), содержащую подгруппу Н в качестве нормального делителя; б) число подгрупп группы О. сопряженных с Н, равно индексу нормализатора И (Н) в О. 1678в. Доказать, что: а) число элементов группы О, сопряженных с данным элементом; б) число подгрупп группы О, сопряженных с данной подгруппой. делит порядок группы О. 1674.
Пользуясь задачами 1669 и 1671, найти число подстановок симметрической группы 8„, сопряженных с данной подстановкой а. 1676в. Локазать, что центр группы 0 порядка р", где р — число простое, содержит более одного элемента. 1678*. Доказать, что любой нормальный делитель Н знакоперемеииой группы А„ степени и ) 5, содержащий хотя бы один тройной цикл, совпадает с А„. 1877в. а) Найти все классы сопряженных элементов группы икосаэдра (задача 1639); б) доказать, что группа икосаэдра является простой (т. е. ие имеет нормальных делителей, отличных от самой группы и единичной подгруппы). 1678в.
Доказать, что знакоперемеииая группа пятой степени является простой. 1879. Доказать, что группа 0' тогда и только тогда является томоморфиым образом конечной циклической группы О, когда О' также циклическая и ее порядок делит порядок группы О. 1689. Локазать,' что если группа О гомоморфио отображена иа группу О', причем элемент а из 0 отображается иа а' из О', то: 1631 — 1685) Э 20. ГРУППЫ 221 а) порядок а делится на порядок о', б) порядок 0 делится на порядок 0'. 1681. Найти все гомоморфные отображения: а) циклической группы )а) порядка и в себя; б) циклической группы )а] порядка 6 в циклическую группу )Ь) порядка 18; в) циклической группы )а) порядка 18 в циклическую группу )Ь) порядка 6; г) циклической группы )а) порядка 12 в циклическую группу )Ь) порядка 15; д) циклической группы )а) порядка 6 в циклическую группу )Ь) порядка 25.
1682. Доказать, что алдитивную группу рациональных чисел нельзя гомоморфно отобразить на аддитивную группу целых чисел. 1688. Изоморфное отображение группы 0 на себя называется авлгомор(Ьизмолг, а гомоморфное отображение в себя — видоморфиз.ном этой группы. Автоморфизм Гр называется внутренних, если существует элемент х из 0 такой, что агр=х 'ах для любого а нз О, и внешним — в противном случае. Все автоморфизмы группы 0 сами образуют группу, если за произведение автоморфизмов принять их последовательное выполнение: а(~ф) =(аср)ф, Все эндоморфизмы абелевой группы 0 образую~ кольцо, если сложение эндоморфизмов определить равенством а(<р +ф) = игр+ аф, а умножение — так же, как для автоморфнзмов. Найти группу автоморфизмов циклической группы )о) порядка: а) 5; б) 6.
в) Доказать, что симметрическая группа 8з имеет шесть внутренних автоморфизмов и ни одного внешнего, причем группа автоморфизмов изоморфна оз, г) Четверная группа Ъ' (задача 1638) имеет один внутренний автоморфизм (тождественный) и пять внешних, причем группа автоморфизмов изоморфна Бз. Найти кольцо эндоморфизмов циклической группы [а) порядка: д) 5; е) 6; ж) и. !684. Доказать, что фактор-группа симметрической группы 8„ по знакопеременной группе А„ изоморфна фактор-группе аддитивной группы целых чисел по подгруппе четных чисел.
1685. Найти фактор-группы: а) адаптивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных данному натуральному числу л; б) алдитивной группы целых чисел. кратных 3, по подгруппе чисел. кратных 15; в) аддитивной группы целых чисел, кратных 4, по подгруппе чисел. кратных 24; г) мультипликативной группы действительных чисел. отличных от нуля, по подгруппе положительных чисел. 11686 — 1б89 дополнгнив 222 1686. Пусть О„ — аддитивная группа векторов и-мерного линейного пространства и Нь — подгруппа векторов к-мерного подпространства. О ~( Ф < п. Доказать, что фактор-группа О„/На изоморфна О„ю 1687. Пусть 0 — мультипликативная группа всех комплексных чисел, отличных от нуля, и Н вЂ” множество всех чисел из О.
лежащих на действительной и мнимой осях. а) Доказать, что Н вЂ” подгруппа группы О. б) Найти смежные классы группы О по подгруппе Н. в) Доказать. что фактор-группа 01Н изоморфна мультипликативной группе У всех комплексных чисел, равных по модулю единице. !688в. Пусть 0 — мультипликативная группа комплексных чисел, отличных от нуля, Н вЂ” множество чисел из О, лежащих на и лучах. выходящих из нуля под равными углами, причем один из этих лучей совпадает с положительной действительной полуосью, К в аддитивная группа всех действительных чисел, Š— адаптивная группа целых чисел, Й вЂ” мультипликативная группа положительных чисел. с'— мультипликативная группа комплексных чисел, равных по модулю единице. О„ — мультипликативная группа корней и-й степени из единицы.
Доказать. что: а) К/2 изоморфна У; б) О/;0» СУ; в) О~и» В; г) У/1У„» С/; ) оаэи"„» о; е) Н есть подгруппа группы 0 и 0)Н изоморфна У; ж) Н)В изоморфна О„; ) Н/О„» П. 1689. Для мультипликативных групп невырожденных квадратных матриц порядка и доказать утверждения: а) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппе матриц с определителем, равным 1, изоморфна мультипликативной группе действительных чисел, отличных от нуля; б) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппе матриц с определителем, равным +1. изоморфна мультипликативной группе положительных чисел; в) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппе матриц с положительными определителями является циклической группой второго порядка; г) фактор-группа группы комплексных матриц по подгруппе матриц с определителями, по модулю равными единице, изоморфна мультипликативной группе положительных чисел; д) фактор-группа группы комплексных матриц по подгруппе матриц с положительными определителями изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел, по модулю равных единице.
1690 — ПОО) э И. ГРУППЫ 1690. Пусть Π— группа всех движениЯ трехмерного пространства, Н вЂ” подгруппа параллельных переносов. К вЂ подгруп вращений вокруг данной точки О. Доказать. что: а) Н является нормальным делителем группы О, а К вЂ н; б) фактор-группа 01Н изоморфпа К. 1691. Доказать, что нормальный делитель Н группы О„имеющий конечный индекс у, содержит все элементы группы О, порядки которых взаимно просты с у. Показать на примере, что для подгруппы Н, не являющейся нормальным делителем, утверждение может быть неверным.
1692. Доказать, что фактор-группа О/Н тогда и только тогда коммутативна, когда Н содержит коммутант К группы 0 (задача 1665). 1698е„Доказать, что фактор-группа некоммутативной группы О по ее центру д (задача 1664) не может быть циклической. 1694е. Доказать, что если порядок конечной группы О делится на простое число р. то 0 содержит элемент порядка р (теорема Коши). 1696в. Пусть р — простое число. Группа 0 называется р-зруплой (в коммутативном случае — лримарной группой), если порядки всех ее элементов конечны и равны некоторым степеням числа р.
Доказать, что конечная группа О тогда и только тогда будет р-группой, когда ее порядок равен степени числа р. 1696. Доказать, что: а) аддитивная группа векторов п-мерного линейного пространства есть прямая сумма п подгрупп векторов одномерных подпространств, натянутых на векторы любой базы пространства; б) аддитнвная группа комплексных чисел есть прямая сумма подгрупп действительных и чисто мнимых чисел; в) мультипликативная группа действительных чисел есть прямое произведение подгруппы положительных чисел и подгруппы чисел + 1; г) мультипликативная группа комплексных чисел есть прямое произведение подгрупп положительных чисел и чисел, по модулю равных единице. 1697. Доказать.
что если О=А+В,=А+Вт — прямые разложения абелевой группы О и если В, содержит Вм то В,=В . 1698. Доказать. что подгруппа Н абелевой группы О тогда и только тогда будет слагаемым в прямом разложении 0= — Н+К, когда существует гомоморфное отображение 0 на Н, сохраняющее на месте все элементы из Н. 1699. Доказать, что если 0 = А+  — прямое разложение группы О, то фактор-группа 0(А изоморфна В. 1700. Пусть О = А, + Ат+ ... + А, — разложение абелевоа группы О в прямую сумму подгрупп и х — -- аг+аа+ ... +ан агЕАР 1= 1, 2, ..., а, дополнения 11701 — 17ьн — соответствующее рааложение элемента х в сумму компонент. Доказать, что: а) группа 0 тогда и только тогда имеет конечный порядок и, когда каждая подгруппа Аь имеет конечный порядок нь, 1= 1, 2, ..., г. причем п=а, ля ...
а,; б) элемент х тогда и только тогда имеет конечный порядок р, когда каждая его компонента аь имеет конечный порядок рн 1=1, 2, ..., з, причем р равно наименьшему общему кратному чисел Р!' Рм ' ' Рз' в) группа О тогла и только тогда является конечной циклической, когда все прямые слагаемые А, — конечные циклические группы, причем их порядки попарно взаимно просты. 1701. Разложить в прямую сумму примарных циклических полгрупп циклическую группу (а) порядка: а) б; б) 12; в) 00' г) 900. 1702э. Доказать неразложимость в прямую сумму двух ненулевых подгрупп: а) адаптивной группы целььх чисел; б) адаптивной группы рациональных чисел; в) примарььой циклической группы. 1703*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
