И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Какое свойство комплексных косоэрмитовых матриц отсюда вытекает? б) для любого кососимметрического преобразования ф евклидова пространства Ю„ существует ортонормированный базис, в котором матрица имеет следующий канонический вид: по глазной диагонали ( о 61 стоят клетки второго порядка вида /. где бчьО и нуле- 1 — 6 б/' вые клетки первого порядка (клетки одного из этих типов могут отсутствовать). Каков геометрический смысл преобразования, какое свойство вещественных кососимметрических матриц отсюда вытекает? 1612.

Доказать, что если ф — самосопряженное преобразование унитарного пространства, то преобразование ф =йр является косо- симметрическим. Обратно, если ф — кососимметрическое, то ф=гф— самосопряженное преобрззование. 1613. Доказать, что если ф — самосонряженное преобразование унитарного пространства, то преобразование ф = ٠— ге) '1ф + ге), где е — тождественное преобразование, существует и является унитарнь1м.

1614*. Доказать. что кососимметрические и унитарные преобразования унитарного пространства (и соответственно кососимметрические и ортогональные преобразования евклидова пространства) связаны следующим образом: если в равенстве 6=1 — фм+ф) ' (1) (где е — тождественное преобразование) ф — кососимметрическое преОбразование, то ф — унитарное преобразование, не имеющее собственным значением число — 1. Обратно, если в том же равенстве(1) ф — унитарное преобразование, не имеющее собственным значением число — 1, то ф — кососимметрическое преобразование.

Равенство (1) определяет взаимно однозначное отображение всех кососимметрических преобразований на все унитарные преобразования, не имеющие собственным значением число — 1. Аналогичная связь имеется между кососимметрическими и ортогональными преобразованиями евклидова пространства. Какие свойства матриц отсюда вытекают? 212 отдел щ. всктоиныв пиостплнстал (1615 1623 1616. Показать, что равенство (1) предыдущей залачи определяет взаимно однозначное соответствие, во-первых, между всеми невырожденными кососимметрическими преобразованиями и всеми унитарными (соответственно ортогональными) преобразованиями.

не имеющими собственных значений +1. и, во-вторых, между всеми вырожденными кососимметрическими преобразованиями и всеми унитарными (ортогональными) преобразованиями, имеющими собственные значения +1, но не имеющими собственного значения — 1. 1616. Доказать, что если ф — кососимметрическое преобразование унитарного (или евклидова) пространства, то преобразование еФ является унитарным (соответственно ортогональным).

Какое свойство матриц отсюда вытекает"г 1617*. Доказать, что функция еч вызывает взаимно однозначное отображение всех самосопряженных преобразований унитарного (или евклидова) пространства на все положительно определенные (т. е. самосопряженные с положительными собственными значениями) преобразования. 1618. Линейное преобразование ф унитарного (или евклидова) пространства называется нормальным, если оно перестановочно с сопряженным ему преобразованием фь.

Проверить. что самосопряженные, кососимметрические и унитарные (или ортогональные) преобразования нормальны. 1619. Доказать, что нормальное преобразование унитарного (или евклидова) пространства тогда и только тогда является самосопряженным, когда все его собственные значения (соответственно все корни его характеристического уравнения) вещественны. 1620. Доказать.

что нормальное преобразование унитарного (или евклидова) пространства тогда и только тогда является унитарным (соответственно ортогональным), когда все его собственные значения (соответственно все корин его характеристического уравнения) по молулю равны единице. 1621. Доказать, что нормальное преобразование унитарного (или евклидова) пространства тогда и только тогда является кососимл~етрическим, когда все его собственные значения (соответственно все корни его характеристического уравнения) чисто мнимы. 1622. Доказать, что линейное преобразование ф унитарного пространства тогда и только тогда является нормальным, когда <р= фй. где ф — самосопряженное и т — унитарное преобразования, перестановочные между собой.

!623. Доказать, что: а) каждое линейное преобразование ф однозначно представляется в виде ф=ф, + фз, где ф, — самосопражеиное и фа в кососимметрическое преобразовании; б) лля того чтобы преобразование ф было нормальным, необходимо и достаточно; чтобы преобразования ф, и фз в вышеуказанном представлении были перестановочны. 1624 — !6631 % ~9. линейные пиговглзовлния пгостплнств 213 1624.

Доказать, что: а) каждое линейное преобразование <р унитарного пространства однозначно представляется в виде <р = ~р, +-гггз, где <р, и ~рз — само- сопряженные преобразования; б) для того чтобы преобразование ~р было нормальным, необходимо и достаточно, чтобы преобразования <р, и ~р в вын~еуказанном представлении были перестановочны. 1625е.

доказать. что для любой (конечной или бесконечной) совокупности попарно перестановочных нормальных преобразований унитарного пространства )с„ су)пествует ортонормированный базис, векторы которого являются собственными для всех преобразований данной совокупности. !626. Доказать, что из любого нормального преобразования гр унитарного пространства )с„ можно в области нормальных преобразований извлечь корень й-й степени для любого натурального числа й.

Найти число различных нормальных преобразований ф таких, что фь = <р. 1627*. Доказать, что если х — собственный вектор нормального преобразования ~р унитарного (или евклидова) пространства, принадлежащий собственному значению )., то х является собственным вектором для сопряженного преобразования ~рь, принадлежащим сопряженному (соответственно тому же самому) числу Х. 1628в. Доказать, что собственные векторы нормального преобразования, принадлежащие двум различным собственным значениям, ортогональны. 1629в.

Пусть е — собственный вектор нормального преобразования гр. Доказать, что подпространство Е. состоящее из всех векторов пространства, ортогональных е, инвариантно относительно чь 1630ь. Доказать, что для нормальности линейного преобразования ~р унитарного пространства необходимо и достаточно. чтобы каждый собственный вектор ьр был собственным и для ~рь. 163!ь. Доказать, что любое подпространство А унитарного пространства )с„, инвариантное относительно нормалььюго преобразования вь обладае~ ортонормированным базисом, состоящим из собственных векторов преобразования <р.

1632в. Говорят, что линейное преобразование <р унитарного (или евклидова) пространства 1сь обладает нормальным свойством, если ортогональное дополнение д.ь для каждого подпространства Ь. инвариантного относительно ~р, само инвариантно относительно ~р. Доказать утверждение: для того чтобы линейное преобразование ~р унитарного (или евклидова) пространства было нормальным, необходимо и достаточно. чтобы ~р обладало нормальным свойством. 1633Я.

Доказать, что для нормальности линейного преобразования <р унитарного (или евклидова) пространства необходимо и достаточно, чтобы каждое полпространство. инвариантное относительно ьр, было инвариантно и относительно ~рь. ДОПОЛНЕНИЕ $20. Группы 1034. Выяснить, образует лн группу каждое из следующих множеств при указанной операции над элементами: 1) целые числа относительно сложения; 2) четные числа относительно сложения; 3) целые числа, кратные данному натуральному числу и, относительно сложения; 4) степени данного действительного числа а, а чь О, + 1.

с целыми показателями относительно умножения; 5) неотрицательные целые числа относительно сложения; б) нечетные целые числа относительно сложения; 7) целые числа относительно вычитания; 8) рациональные числа относительно сложения; 9) рациональные числа относительно умножения; 10) рациональные числа, отличные от нуля, относительно умножения; 11) положительные рациональные числа относительно умножения; 12) положительные рациональные числа относительно деления; 13) двоична-рациональные числа, т.

е. рациональные числа. знаменатели которых в степени числа 2 с целыми неотрицательными показателями, относительно сложения; 14) все рациональные числа, знаменатели которых равны произведениям простых чисел из данного множества М (конечного нлп бесконечного) с целыми неотрицательными показателями (лишь конечное число которых может быть отлично от нуля), относительно сложения; 15) корни а-й степени из единицы (как действительные, так н комплексные) относительно умножения: 16) корни всех целых положительных степеней из единицы относительно умножения; 17) матрицы порядка п с действительными элементами относи» тельно умножения; 216 !6341 % Ю. ГРУППЫ 18) невырожденные матрицы порядка и с действительными элементами относительно умножения; 19) матрицы порядка и с целыми элементами относительно умножения; 20) матрицы порядка п с целыми элементами и определителем.

Характеристики

Список файлов книги