И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 31
Текст из файла (страница 31)
заданнык в некотором базисе матрицами." 1468. 1 — 3 3 — 2 — 6 13 — 1 — 4 8 отдел щ. ввктовныв пяоствднствд [!4И-!493 1470. 7 — 12 6 10 — 19 10 12 — 24 13 1471. 4 — 5 7 1472. 1 0 0 О ! — 4 9 0 0 0 Π— 4 0 5 0 0 0 0 1 0 0 1 3 — 1 0 0 1 1 0 0 3 0 5 — 3 1473. ! 0 0 0 0 0 0 О 1 0 О 0 1474.
!4 — 1 3 — 1 0 0 0 1 1480. 6 — 5 — 3 3 — 2 — 2 2 — 2 0 1479. — 1 3 — 1 — 3 5 — 1 — 3 3 1 1 ! 1 1 1 1 — 1 — 1 1 —,1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 — 3 1 2 — 8 5 4 1481. — 12.8 5 — 3 2 2 1475. Доказать, что собственные векторы линейного преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. 1476. Доказать, что любая квадратная матрица А. имеющая рззличные характеристические числа, подобна диагональной матрице !над полем.
содержащим как элементы матрицы, так и ее характеристические числа). 1477. Доказать. что если линейное преобразование гр пространства !9„ имеет л различных собственных значений, то любое линейное преобразование ф перестановочное с гр, обладает базисом сооственных векторов. причем любой собственный вектор ~р будет собственным н для ф. !478. Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе является диагональной тогда и только тогда, когда базис состоит из собственных векторов данного преобразования. Выяснить, какие из следующих матриц линейных преобразований можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису.
Найти этот базис и соответствующую ему матрицу: 1483 — !4901 % «к лннвпиыг пововолзовлння пвостолнств О О О 0010 0100 о о о 1483. о о ... о О 0...10 О 1 ... О О 1484в. Для матрицы А = порядка и найти не- 1 0...0 0 — 1 вырожденную матрицу Т.
для которой матрица В=Т АТ была бы диагональной, и найти эту матрицу В. 1485. Минимальным многочленом для веишора х относительно линейного преобразования ф называется многочлен я„(Х) со старшим коэффициентом 1. имеющий наименьшую степень среди всех аннулирующих многочленов для х относительно ф, т. е. многочлепов у ()!) со свойством у (ф) х=О, Аналогично определяется минимальный многочлен д(Х) относительно линейного преобразования «р для всего пространства. Дока- вать, что минимальный многочлен д(Х) линейного преобразования ф равен наименьшему общему краттюму минимальных многочленов для векторов любого базиса пространства относительно ф. 1488в. Найти условия.
при которых матрица А. имеющая на побочной диагонали числа а,, оэ .... а„, а на остальных местах нули, подобна диагоналы«ой матрице. 1487. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования. являющегося дифференцированием многочленов степени (и с вещественными коэффициентами. 1488. Пусть ф — линейное преобразование пространства )с„. Совокупность всех векторов !рх, где х — любой вектор иэ Я„. называется образом 11„при преобразовании ф нли областью значениб ф. Совокупность всех векторов х из Яю таких, что фх=О, называется полным прообразом нуля при преобразовании ф или ядром ф. Доказать, что: а) область значений ф является линейным подпространством 1т„.
размерность которого равна рангу ф; б) ядро ф есть линейное надпространство пространства Яю размерность которого равна аефекту ф. т. е. равности между п и рангом ф. 1489. Пусть ф — линейное преобразование и г. — надпространство пространства )св. Доказать, что: а) обраа фб и б) полный прообраз р Ч. надпространства г, при линейном преобразовании «р снова являются подпространствами. 1490. Доказать, что для невырожденного линейного преобразова«!«в !р пространства )с„ размерносты а) образа фб и б) полного 194 отдал «ю ввктопныв ппоатплнствл !!49! — !499 прообраза «р «Ь-любого линейного подпространства Ь равна размерности 7..
149!в. Обозначим через рази. 7. размерность линейного подпространства а, и через деф. «р дефект линейного преобразования «р. Доказать, что размерности образа и полного прообраза подпространства 7. пространства И„ при преобразовании «р удовлетворяют неравенствам: а) рази. Ь вЂ” деф. «р.:,раям. фй <рази.
Ь; б) раям. Е ~4разм. «р Ч, (раям. «.+деф. «р. 1492в. Пользуясь предыдущей задачей, доказать неравенства Сильвестера для ранга произведения двух квадратных матриц А и 8 порядка а: гл+гл — и агав~(щ1п(гл, гл) (см. задачу 931). !493. Доказать. что: а) ранг («р+ф)~(ранг «р+ранг ф; б) деф.
(«рф) «алеф ф+деф. ф для любых линейных преобразований «р и ф пространства Ю„. 1494. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования «р. заданного в базисе а„ ам аз, а матрицей 1 О 2 — 1 О 1 4 — 2 2 — 1 О 1 2 — 1 — 1 2 Показать. что подпространство, натянутое на векторы а« -1- 2а и аз+аз+2а«, является инвариантным относительно «р. 1496в.
Доказать, что число линейно независимых собственных векторов преобразования ф принадлежащих одному собственному значению !«в, не превосходит кратности Ха как корня характеристического многочлена преобразования ф. 1499. Доказать, что линейное подпространство, натянутое на любую систему собственных векторов преобразования «р, инвариантно относительно «р. 1497.
Доказать, что множество всех собственных векторов линейного преобразования «р, принадлежащих одному и тому же собственному значению Хв (вместе с нулевым вектором), является линейным подпространством, инвариантным относительно «р. 1498. Доказать, что все отличные от нуля векторы пространства тогда и только тогда являются собственными векторами линейного преобразования «р, когда «р — преобразование подобия, т. е. «рх=ах с одним и тем я«е и для любого вектора х. !499. Доказать, что любое подпространство Ь, инвариантное относительно невырожденного линейного преобразования «р, будет инвариантно и относительно обратного преобразования «р '.
1ййз — 1Зйв! ! ~з. лннвпныя ппяовглзовлния ппостплнств 1000. Доказать, что: а) образ <рЬ и б) полный прообраз ф Ч, линейного подпространства г., инвариантного относительно линейного преобразования ф, сами будут инвариантны относительно О. 1Б01. Найти все линейные подпространства пространства много- членов от одного неизвестного степени ~л с вещественными коэффициентами, инварнантные относительно преобразования ~р, переводящего любой многочлен в его производную. 1002.
Доказать. что матрица линейного преобразования ф и-мерного пространства в базисе ан ам .. а„ является клеточной полураспавшейся матрицей вида: ~А, В~ а) ~ ), где А,— квадратная матрица порядка л(л, тогда 2 и только тогда, когда линейное полпространство. натянутое на первые л векторов базиса ан ..., аю инвариантно относительно йв (АгО ! б) ~ ~, где А,— квадратная матрица порядка л(л, тогда 2 и только тогда, когда линейное подпространство, натянутое на последние л — л векторов базиса аа+и ..., а„, инвариантно относительно щ /АгО ! в) матрица будет клеточной распавшейся вида ~ /, где А,— 2 квадратная матрица порядка )!. тогда н только тогда, когда как подпространство, натянутое на векторы ан .. аю так и подпространство, натянутое на векторы аз+и ..., а„, инвариантны относительно ф.
1003в. Пусть линейное преобразование <р и-мерного пространства 1с„ в базисе ан .... а„ имеет диагональную матрицу с различными злементами на диагонали. Найти все линейные подпространства. инввриантные относительно гр, и определить их число. !004. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно линейного преобразования. заданного матрицей !ООБ. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные одновременно относительно двух линейных преобразований.
заданных матрицами: — 1 5 †! и 2 — 3 б Отдел Зъ'. ВектОРные пРОстРАнстВА 11Я٠— 1$19 1506. Доказать, что любые два перестановочных линейных преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор. 1607. Доказать, что лля любой (хотя бы и бесконечной) совокупности попарно перестановочных линейных преобразований комплексного пространства Я„ существует вектор, собственный для всех преобразований данной совокупности, 1503.
Доказать, что корневые векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. Найти собственные значения и корневые подпространства линейных преобразований, заданных в некотором базисе слелующнми матрицами: 1509. 4 — 5 2 1510. 1 — 3 4 5 — 7 3 4 — 7 8 6 — 9 4 6 — 7 7. 15!1. 2 б — 15 1612.
Π— 2 3 2 1 1 — 5 ! 1 — 1 — 1 1 2 — б О О 2 О 1 — 1 О 1 1513. Доказать, что линейное преоб!тазование комплексного пространства тогда и только тогда имеет диагональную матрицу в некотором базисе, когда все его корневые векторы являются собственными векторами. 1614. Доказать, что комплексное пространство тогда и только тогда состоит сплошь из корневых векторов линейного преобразования гр, когда все собственные значения этого преобразования равны межлу собой. 1515.
Пусть !7 в бесконечномерное пространство всех вещественных функций ~(х), определенных и имеющих производные любого порядка на всей числовой прямой, при обычных сложении функций и умножении функции на число. и ф — преобразование. переводящее любую функцию в ее производную. Найти: а) все собственные значения и собственные векторы, б) все корневые подпространства преобразования ф. 1616.
Пространство Я„называется циклическим относительно линейного преобразования ф, если 1г„обладает циклическим базисом, т. е, базисом ап а, .... а„. для которого йа» = аа+, (7г = 1, 2„..., и — 1). Доказать, что если !с„ — циклическое пространство относительно ~р и ап аз, ..., а„ вЂ” циклический базис, то: щ7 — 15231 % !8. линейные пРеОБРАВОВАния пРостРАнстВ 197 а) минимальный многочлен д(Х) преобразования ~р имеет степень л; б) минимальный многочлен всего пространства совпадает с минимальным многочленом вектора а,; в) если гра„=с,а,+-сааз+ ...
+«„а„, то минимальный много- член преобразования гр определяется равенством е' (),) = )." — «„) " ' — «„, й" 1817. Доказать, что если степень минимального многочлена е(й) линейного преобразования <р пространства 1?„равна л н 8'(Л) есть степень многочлена, непрнводимого над тем полем, над которым рассматривается пространство 1?„, т. е. в случае комплексного пространства д(Л)=(Л вЂ” а)', то: а) 1«„не разложимо в прямую сумму двух подпространств, инвариантных относительно ~р; б) )?„ является циклическим относительно гр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
