И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 26
Текст из файла (страница 26)
5. 5„ 2). аз =(1. — 1; — 1, О. 0). Найти системы линейных уравнений, задающие линейные подпространства, натянутые на следующие системы векторов: 1312. а,=(1. — 1. 1, 0). аз=(1, 1. О, 1). а,=(2. О, 1, 1). 1313. а,'=(1.' — 1.' !'. — '1,'1), а,'='(!', 1,'О,'О, З),' аз=(З, 1, 1, — 1. 7), а»=(0, 2. — 1. 1. 2).
1314. Доказать, что сумма и пересечение двух линейных подпространств пространства 17» сами являются линейными подпространствамм того же пространства. И15. Доказать, что сумма 8=ач+,5» двух линейных по»пространств пространства !с„равна пересечению всех линейных подпро-. странств из Я„, содержащих как А,, так и Ц. 1316.
Доказать, что сумма размерностей двух линейных подпространств пространства 1с„равна размерности суммы плюс размерность, пересечения этих подпространств. Найти размерность г суммы и размерность и' пересечения линейных подпространств: »ч. натянутого на векторы а,, ам .... а», и Ая. натянутого на векторы Ь,, Ь,..... Ь~.' 1317. а,=(1, 2, О. 1). аз=(1, 1. 1. 0) и Ь,=(1, О, 1, 0)„ Ь,=(1, З„О, 1). 1318. а,=(1, 1, 1, 1), аз=(1, — 1, 1, — 1), аз=(1.
3, 1, 3). Ь! =(1 2 0 2) Ьг=(1 2 1 2) Ьз=(З 1 3 1) 1319е. Пусть»ч — линейное подпространство -пространства Я„ с базисом а,. ам ..., а» и хя — линейное подпространство того же. пространства с базисом Ь„ Ьм ..., Ьп Доказать следующие правила построения базиса суммы 8= 1, + Ц. и базиса пересечения,0 = Е, П Ц: 1) Базисом суммы 8 служит максимальная линейно независимаи подсистема системы векторов а,, ..., а», Ь,. ... Ье Его построение. сводится к вычислению ранга матрицы из координат втой последней.
системы векторов. 2) Базис суммы 8 можно получить. добавляя к линейно независимым векторам ап .... а» некоторые из векторов Ьн .... Ь! (задача 659). Меняя, если потребуется. порядок последних векторов, можем считать, что векторы аи ..., а», Ь,...., Ь» образуюи базу 8. 171 4320 — 13251 $16. АФФннные ВектОРные пРОстРАнстВА Равенство х,а,+ ...
+х„аа — У,Ь,+ ... + У,Ь, (1) эквивалентно системе и однородных линейных уравнений с Ь+1 аеизвестными х,... ха, УР ... Уг Ранга ш Так как пеРвые а столбцов матрицы системы линейно независимы и, значит. хотя бы Один минор порядка з в этих столбцах отличен от нуля. то за свободные неизвестные можно принять последние А+ 1 — а= и' неизвестных у, а+Р ....
УР Поэтому можно найти фундаментальную систему решений хп, ха. °... хы Угп Угг' ' Ун (! = 1, 2, °... г1) (2) для системы уравнений (1) такую, что Уь а — А+г ° ° ° Уь г ФО; Уж з-а+г ° Уж г тогда базисом пересечения,0 является система векторов сг — — ~ у~ Ь (1=1. 2, .... Н).
(4) 1-1 Замечание. Так как О=А+1 — з. то этим дано второе решежие задачи 1316. (3) Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств, Натянутых на системы векторов ап ..., а„и Ь,, ..., Ьр 1320, а,=(1, 2, 1), аг=(1, 1. — 1). аз=(1, 3, 3); Ь, = (2, 3. — 1), Ьг = (1.
2, 2), Ьз = (1, 1, — 3). 1321. а, =(1. 2. 1, — 2), а,=(2, 3, 1. 0), а,=(1, 2„2, — 3); Ьг — †(1, 1, 1. 1), Ьг = (1. О, 1, — 1), Ьз — — (1, 3, О, — 4). !322. а, =- (1, 1, О. 0), а, = — (О, 1, 1, 0). а,= (О, О, 1, 1); .Ь, = (1, О, 1, О), Ьг = (О 2 1 1) Ьз = (1 2 1 2). 1323. Доказать. что если размерность суммы двух линейных подпространств пространства У1„ на единицу больше размерности их Пересечения, то сумма совпадает с одгим из этих подпространств.
а пересечение с другим. !324. Пусть а., ач, ат — линейные подпространства пространства 1г„. Доказать, что а. тогда и только тогда будет прямой суммой У.Р гг. когда выполняются условия; а) г. содержит Ц и .Ц; б) каждый вектор х ~ г однозначно представляется в виде Х = х, + хг, где х, ~ й,, хг Е уг. Иными словами, сумма а. = Ач + аг тогда и только тогда является прямой суммой, когда для любого вектора х ~ .(, представление х =х, + хг, где х, ~ гч.
хг ~ ут, однозначно. 1325. Доказать, что сумма 8 линейных подпространств Ц и г.г тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один отдел пл вектопные пгостялнствл [1326 — 133Ф вектор х~8 однозначно представляется в виде Х=х,+хм где х,б,б,. хяЕ~ 1326. Пусть линейное подпространство Е является прямой суммой линейных подпространств Е~ и бм Доказать, что размерность а.- равна сумме размерностей Е, и а.з, причем любые базисы Е, и Ц. дают вместе базис Ь.
!327. Доказать, что для любого линейного подпространства а. пространства Л„можно найти другое подпространство т.а такое, что все пространство Я„будет прямой суммой А, и Ц. 1328. Доказать, что пространство Ю„есть прямая сумма двух линейных подпространств: Е,, заданного уравнением х,+х + ...
... +х„=О, и Ц, заданного системой уравнений х,=ха= ... ... =х„. Найти проекции единичных векторов е,=(1, О, О..... 0), вя=(0, 1, О, ..., О), .... ел=(0, О. О, ..., 1) на А, параллельно уч и на уч параллельно ц. 1329. Доказать, что пространство всех квадратных матриц порядка и есть прямая сумма линейных подпространств А, †симметрических и Ц вЂ” кососимметрических матриц. Найти проекции А, и Аз. матрицы 1 1 ... 1 ) 0 1 ... 1 0 0 ..: 1 па аллельно .Е, и на Е па аллельно а. на „р т Р и 1330. Доказать, что решения любой совместной системы линейных уравнений с и неизвестными ранга г образуют линейное многообразие пространства )г„размерности д = и — г и, обратно, для любого.
И-мерного линейного многообразия Р пространства )с„существует система линейных уравнений с л неизвестными ранга г = л — 0, решения которой заполняют в точности данное многообразие Р. 1331. Пусть даны два линейных многообразия (см. введение) Р,=Ь,+х, и Рт=а.а+ха. где А,, Ц вЂ” линейные подпространства.
и хп хз — векторы пространства )г„. Доказать, что Р,=Р, тогда. и только тогда, когда тч=Ц и х,— ха~.бп Таким образом, линейное пространство, параллельным сдвигом которого получается данное. многообразие, определено однозначно. 1332. Доказать, что если Р= Е+~, где Š— линейное подпространство и хе в вектор пространства Яю то вектор хе принадлежит многообразию Р и после замены этого вектора любым вектором хЕР' получается то же самое многообразие Р. 1333. Доказать.
что если прямая имеет две общие точки с линейным многообразием, то вся она содержится в этом многообразии (при этом точка отождествляется с вектором, имеющим те же координаты.. т. е. идущим из начала координат в данную точку). 1334 — 13461 1 >о. АФФинные ВектОРные пяостРАнствА 173 1334в.
Доказать. что любые две прямые пространства И„(н,Р 3) содержатся в некотором трехмерном линейном многообразии, лежащем в Я„. 1336. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые х=ао+аф и х=бо+Ьф пространства Я„(и~ 1) лежали в одной плоскости. 1886. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы две прямые х=ао+а>Г и ос= Ьо+ Ьф проходили через одну точку, но не совпадали.
Укааать метод отыскания точки пересечения зтих прямых. Найти точку пересечения двух прямых ао+ аф и Ьо+6>1: 1337. ао=(2, 1, 1, 3. — 3). а,=(2. 3. 1. 1, — 1); Ьо — — (1, 1, 2, 1, 2), Ь,=(1, 2, 1, О, 1). 1338* ао — — (3. 1, 2, 1, 3), а, = (1, О, 1, 1, 2); Ь =(2. 2. — 1. — 1. — 2), Ь> — — (2, 1, О, 1, 1). 1339. Найти условия. необходимые и достаточные для то>о, чтобы через точку. заданную вектором с.
можно было провести единственнУю пРЯмУю, пеРесекающУю две данные пРЯмые Х = ао+ а>1 и х=Ьо+6>Г. Указать метод построения такой прямой и точек пересечения ее с данными прямыми. Найти прямую. проходящую через точку. заданную вектором с и пересекающую прямые х=ао+а>г, х=-Ьо+-Ьф, и найти точки пересечения искомой прямой с двумя дю>ными прямыми: 1340.
аз=(1. О, — 2. 1). а, =-(1. 2. — 1, — 5); Ьо =(О, 1, 1, — 1), Ь,=(2, 3, — 2, — 4); с=(3, 9, — 11, — 15), 1341. ао —— (1, 1, 1, 1). а,=(1, 2. 1. О); Ьо — — (2, 2„3, 1)„ Ь, =(1, О, 1. 3); с=(4, 5. 2, 7). 1342. Доказать, что любые две плоскости пространства И„ содержатся в линейном многообразии размерности (5. 1343. Доказать. что два линейных многообразия пространства 77„ размерностей Ь н 1 соответственно содержатся в линейном многооб- разии размерности ~(Ь-+1+1. 1344. Доказать, что если два линейных многообразия — Р раз- мерности Ь и 1Е размерности 1 — пространства 17о имеют общую точку. причем 6+1) л, то их пересечение есть линейное многообразие разо>ернбсти )~ и+1 — и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
