И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Доказать, что лля подобия двух матриц необходимо (ио не достаточно), чтобы они имели одинаковые характеристический и минимальный многочлены. Привести пример двух не подобных матриц, у которых характеристический многочлен ф(Л) и минимальный многочлен ф(Л) однк и те же. 1137. Найти л-ю степень А" жордановой клетки а 1 0 0...0 0 0 а 1 0 ... 0 0 0 0 а 1 ... 0 0 порядка и. О 0 0 0 ... а 1 0 0 0 0 ;..
0 а 1168 И47! $1е пОдОБные млтпицы 151 1133е. Доказать, что значение многочлена у(х) от клетки Жордана А порядка и с числом а на главной диагонали а 1 0 ... 0 0 а 1 1 0 0 0 0 ... а определяется формулой у(л-1) ( ) у' (а) у" (а) у л (а) И 21 З! о у(() у'(а) г (а) (л — 1)! У(л а1 (в) (л — 2)! г (А)= 0 0 0 0 ... у(а) а 0 ! 0 ... 0 0 а О 1 ... О (О 0 0 0 ... а порядка Б~З. 1144е. Доказать, что любую квадратную матрицу можно представить в виде произведения двух симметрических матриц, одна из которых невырожденна.
1146е. Зная характеристические числа матрицы А, найти характеристические числа р-й ассоциированной с неи матрицы Ар (определение дано в задаче 969). 1146е. Зная характеристические числа двух квадратных матриц †порядка р и В порядка д, †най характеристические числа их кронекеровского проиаведения А )( В (определение дано в аадаче 968). ! 147е.
Пусть ф (Л) = (Л вЂ” Л,)'1 (Л вЂ” Л )" ... (Л вЂ” Л,)'» — миннмаль- ный многочлен матрицыА степени г=г,+га+ ... +г,. Здесыв— нратность Л„как корня минимального многочлена ф(Л). Если для функции у(Л) существуют числа У(ЛА). У'(Лв). У" (ЛА).
"" У('в ')(Лв) (й=! ° 9 ". ° «) (1) 1139. Решить задачу 1080, пользуясь жордановой формой матрицы А. !140. Найти жорданову форму квадрата жордановой клетки, ни диагонали которой стоит число а + О. 1И1е. Нанти жорданову форму квадрата жордановой клетки с нулем на главной диагонали (нильпотентная клетка Жордана). 1142.
Пусть Хг — жорданова форма матрицы Х. Доказать, что (А + аЕ)1 — — А1+ аЕ, где А — любая квадратная матрица и а — число 1143е. Найти жорданову форму матрицы Т62 Отдел 1и. мАтРицы и кВАдРАтичные ФОРмы 1!142 — 11з1 то говорят, что функция у(Л) определена на спектре матрицы А и систему чисел (1) называют системой значений функции /(Л) на спектре матрицы А.
Доказать. что значения многочленов и(Л) и й(Л) от матрицы А совпадают, т. е. 6(А)=й(А). тогда и только тогда, когда совпадают вначения этих многочленов на спектре матрицы А. 1148. Пусть функция у(Л) определена на спектре матрицы А (в смысле предыдущей задачи). Доказать, что если существует хоти бы один многочлен, значение которого на спектре матрицы А совпадает со значениями у(Л), то таких многочленов будет бесконечно много и среди них существует олин и только один. имеющий степень. меньшую степени минимального многочлена матрицы А.
Этот многочлен г(Л) называется интерполнционнмм многочленом Лагранжа — Сил»еестера функции у (Л) на спектре матрицы А. Его значение от матрицы А по определению принимается за значение функции ~(Л) от этой матрицы: Г (А) = г(А). 1149. Доказать.' что если функция /(Л) определена на спектре матрицы А и характеристический многочлен ~ А — ЛЕ~ не имеет кратных корней, то интерполянионный многочлен Лагранжа — Снльвестера г(Л) существует, и, значит, матрица г(А) имеет смысл. Найти внд г(Л) и ~(А).
!160. Доказать, что если функция /(Л) определена иа спектре матрицы А и минимальный многочлен втой матрицы ф (Л) = =(Л вЂ” Л,) ... (Л вЂ” Л,) не имеет кратных. корней, то интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестера г(Л) существует, и матрица ~(А) имеет смысл. Найти выражение для вычисления у(А). 1161Ф.
Доказать, что если функция у(Л) определена на спектре матрицы А, то определение матрицы у(А) (данное в задаче 1148) имеет смысл, т. е. существует интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестера г(Л). Пусть ф(Л)=(Л вЂ” Л1У~ ... (Л вЂ” Л,) х— минимальный многочлен матрицы А. где корни Л,, ..., Л, различны между собой, и ф»(Л)= ~~~~, (й=1, 2,.„, з) (Л вЂ” Л»)'» Показать, что г(Л) = ~~'.1 ~а» 1+-а я(Л вЂ” Л )+... +а, (Л вЂ” Л»)'» ~ . ф»(Л). (1) где числа а» определяются из равенств а»,)= — 1, à — л1 (/= 1. 2..., г»; й = 1, 2...., з). (2) у (Л) О-1> » т. е. выражение в квадратных скобках в равенстве (1) равно сумме первых г» членов разложения в ряд Тейлора по степеням разнрсти .Л вЂ” Л» для функции — . г (Л) )» (л) П52 — Пйа) $ ы.
Подювные млтгицы !53 1162. Пусть ф (Л) = (Л вЂ” Л,)т (Л вЂ” Лз)т (Л, Ф Хт) — минимальный многочлен матрицы А и у(Л) — функция, определенная на спектре этой матрицы. Написать выражение для матрицы у(А), пользуясь предыдущей задачей. 1163. Доказать. что если матрицы А и В подобны, причем В= Т ~АТ и для функции у(Л) матрица у(А) существует, то и матрица у(В) существует и подобна у(А). причем у(В)=Т у(А)Т с той же матрицей Т. 1!64е. Доказать, что если матрица А клеточно-диагональная 0' А, Ат 0 А, и функция ~(Л) определена на спектре матрицы А, то У(А) ,г(А ) 0 у (А,) 1166.
Найти интерполяционный многочлен Лагравжа — Сильвестера г(Л) н значение /(А) функции у (Л) для матрицы 0 1 О ... 0 0 0 1 ... 0 О О 0 ... 1 0 0 О ... О Для каких функций „г"(Л) значение у(А) имеет смысл? 1166. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для матрицы: а ! 0 ... О 0 0 и 1 ... 0 0 0 0 0 ... а 1 О 0 0 ... О а 154 ОТДЕЛ ПГ. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1187 — 1169 1157. Показать. что если матрица А подобна диагональной О! л А=Т' Т 0 Л„ н для функции у(Л) матрица У(А) существует, то и ('(А) подобна .Диагональной матрице, причем 1(Л ) У(ЛТ) ((А)=Т ' .((Л.) с той же матрнцей Т. 1158. Доказать, что если ('(Л) = й (Л)+Ь(Л) и'матрицы 8'(А) и л(А) существуют.
то и матрица ((А) существует, причем ((А)=д'(А)+Ь(А). 1159. Доказать, что если ((Л) = 8'(Л) Ь (Л) и матрицы й'(А) и й (А) существуют. то и матрица ((А) существует, причем ((А) = й'(А) й(А). 1 1!60». Показать, что функция у(Л)= — определена для всех не- Л вырожденных матриц А и только для них, причем ((А)=А 1161. Доказать. что если ЛР Л, ..., ˄— характеристические числа матрицы А и функция ((Л) имеет смысл при Л=А. то ( (Л,), У(Лз), .... ((Л„) будут характеристическими числами матрицы ((А) Вычислить следующие значения функций от матриц, пользуясь интерполяционным многочленон Лагранжа — Сильвестера и задачами 1148 — 1152 или находя матрицу. дающую преобразование подобия данной матрицы к ее жордановой форме и применяя задачи 1154, .1156, 1153: 0 21 ( 1 1~ !162.
А"'. где А= )г 1163. Аю. где А=~ 1164. у~А тле А=~ ). 1165г у'А. где А=,~ Т). (4 — 21 (3 — 1т 1166. РА, где А=~ ). 1167, ел, где А = ~ 4 2 — 5 4 — 18 6 .1168. е', где А'= 6 4 — 9 . 1169, !пА, где А= 1 — 4 2 5 3 — 7 1 — 53 1!70-! !уй) $ !6. Квьдрагицпып. ФОРмы /и — 1 1 1170. э!пА. где А=~ 117!а. Доказать. что равенство э)п2А=2з!пАсозА справедливо для любой квадратной матрицы А. 1172ь. Доказать, что матрица е'4 существует и невырощаенна длю любой квадратной матрицы А. 1173. Найти определитель матрицы ел, где А — квадратная матрица порядка и. 1174Ф. Пусть фуннцня у()~) имеет смысл при ),=А.
Доказать, что определитель матрицы у(А) удовлетворяет равенству !у (А)) = у (3,) у (Ц)... у (х„), где АР ля...., А„— характеристические числа матрицы А (с учетом их кратности). ф 1б. Квпдрптичпые формы а) В этом параграфе. кроме задач на квадратичные формы, гюмещены задачи на свойства симметрических и ортогональных мэтриэ2 связанные с теорией квадратичных форм. Здесь применяется следующая терминология: вод.
линейным иреобраэоеаиием понимается преобрааование неизвестных вида х, =йпу, + 4му*+ ". + 4~.У. хл=йл!У!+йюуэ+ "+4 УФ Матрица 4п йы "° Вл Е- 4 йл! 4лэ йлл составленная нэ коэффициентов преобразования (1) в соответственном порядке, называется матрнцей этого преобразования. Линейное преобразование.
нааывается нееырождеииым, если его матрица невырсэкденнк Две квадратичные формы называются экеиеалеиюимми, если одна нз инх переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования. гсаиолическим аидом данной квадратичной формы называется эквивалентная с ней форма, не содержащая произведений неизвестных, а нормальным видом — такой канонический внд, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны ~! дэя вещественной н +1 для комплексной области. Найти нормальный вид в области вещественных чисел следующих.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
